Chern-Weil elmélet

A karakterisztikus osztályok az elemi geometria olyan kvantitatív fogalmainak messzemenő általánosításai, mint a sík algebrai görbe foka vagy egy felületen lévő vektormező szinguláris pontjainak indexeinek összege . Ezeket részletesebben a megfelelő cikkben ismertetjük. A Chern - Weil elmélet lehetővé teszi, hogy néhány jellemző osztályt görbületi kifejezésként ábrázoljunk .

Beágyazás lineáris rendszerrel

Az algebrai görbék néhány multiplicitással rendelkező ponthalmazait osztónak nevezzük . Ha például egy görbét a komplex projektív síkon (vagy általánosabban komplex projektív téren ) adunk meg, akkor azon pontok halmaza, amelyek mentén valamilyen egyenes metszi, a metszés multiplicitásaival egyenlő multiplicitásokkal ( vagy ha a görbe a térben fekszik, valamilyen hipersík) osztó. Az algebrai geometriában nem az egyes osztókat szokták figyelembe venni, hanem azok osztályait. Például egy síkgörbe társítható osztók osztályához, amely a görbére minden lehetséges egyenes (minden lehetséges hipersík) által kivágott osztókból áll. Az adott beágyazásnak megfelelő lineáris osztórendszernek nevezik (általában egyszerűen "lineáris rendszernek" nevezik). $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Kérdés. Legyen adott egy sehova nem ágyazott absztrakt görbe, és egy valamilyen zárványnak megfelelő lineáris rendszer. Lehetséges-e visszaállítani belőle ezt a beágyazást (a környezeti tér projektív átalakulásáig)?

Kiderült, hogy ez lehetséges. Ehhez azonban jobban meg kell értenünk, mi az a hipersík egy projektív térben. Egy affin térben egy hipersíkot egy lineáris függvény magjaként (nullák halmazaként) lehet megadni (és egy ilyen függvény egy nem nulla számmal való szorzásig egyedi lesz). A projektív téren azonban nincsenek lineáris függvények: egy kompakt komplex sokaságon minden holomorf függvény állandó. Ha egy vektortér, akkor a projektivizációs pontjai a vonalak , ha pedig egy lineáris függvény -on , akkor a pontban lévő „érték” egy lineáris függvény a megfelelő lineáris térben , vagyis egy vektor a duális lineáris térben . Sőt, azok a sorok, amelyeken ez a függvény azonosan nulla, pontosan azok a sorok, amelyek a kernelben vannak ; a projektivizálás megfelelő pontjai egy projektív hipersíkot alkotnak. $V$ $\mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\varphi$ $V$ $\varphi$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\ell ^{*}$ $\varphi$

Ezt a következőképpen formalizáljuk: a projektivizálás tautologikus vonalköteget enged be maga fölé , amelynek egy pont feletti szála maga a vonal , amelyet lineáris térnek tekintünk. Ezt a köteget a szimbólum jelöli . A hozzá konjugált vonalköteget (azaz olyat, amelynek minden pontjában a rétegei duálisak az eredeti köteg ugyanazokon a pontokon lévő rétegeivel) -vel jelöljük ; szakaszai egy vektortéren lévő lineáris funkcionálisoknak felelnek meg . Ennek megfelelően a szakaszok nullák halmazai hipersíkok. Tehát, ha egy projektív görbe, akkor a rajta lévő megfelelő lineáris rendszer a köteg szakaszainak nullák osztóiból áll . $\mathrm {P} (V)$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ ${\mathfrak {O}}(-1)$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $V$ $C\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $L={\mathfrak {O}}(1)|_{C}$

Ha van egy absztrakt görbe, akkor a rajta lévő vonalköteg a különböző szakaszainak nullakészleteiből rekonstruálható (feltéve, hogy kellően sok különböző szakasz van). Így egy absztrakt görbén egy lineáris osztórendszerrel rekonstruálható egy olyan vonalköteg, amelynél ezek az osztók a szakaszainak nulla szintjei. Ezért a kérdést a következőképpen lehet újrafogalmazni.

Kérdés. Legyen egy algebrai görbe beágyazása , és legyen a köteg korlátozása rá . Csak tudva , megtérülhet a befektetés ? $f\colon C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $f^{*}{\mathfrak {O}}(1)=L\to C$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $f$

Ne feledje, hogy a köteg a következő tulajdonsággal rendelkezik: bármely ponthoz van olyan szakasz , hogy . Ez például igaz, mert a térgörbe bármely pontjához kiválaszthatunk egy szakaszt egy hipersík által, amely nem halad át azon a ponton, és a megfelelő szakaszt a görbére korlátozzuk. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező kötegeket generált globális szakaszoknak nevezzük . A fészekrakás ma már nagyon egyszerű. Vegye figyelembe a szakaszteret . Minden pont egy számítási leképezést határoz meg . Így a görbe egy pontja egy vektort határoz meg a térben , jól definiálva az arányosságig - vagyis egy pontot a projektív térben . Ez határozza meg a beágyazást , amely egybeesik az eredetivel egészen a projektív megfeleltetésig. $L$ $x\in C$ $s\in \Gamma (L)$ $s(x)\neq 0$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\Gamma (L)$ $x\in C$ ${\displaystyle \Gamma (L)\to L_{x))$ $s\mapsto s(x)$ $\Gamma (L)^{*}$ $\mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$ $C\to \mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$

Mit mutattunk valójában? A globális szakaszok által generált görbén bármely vonalköteg megkapható a köteg inverz képeként valamilyen algebrai leképezéshez képest . Ebben az esetben a köteg mértéke (a nullák száma a közös szakaszán) megegyezik a görbe képének fokával egy ilyen beágyazás alatt. Felfogható a hipersíkkal való metszéspontok számaként - vagyis a homológiaosztályok metszésponti indexeként és , vagy egy integrálként: a Fubini-tanulmány alakja a Poincaré duális a hipersík metszetosztályhoz képest (maximum szorzásig ) , így az osztó foka így számítható ki . Vegye figyelembe, hogy a Fubini-Study forma egy görbületi forma a kötegen . Így a globális szakaszok által generált algebrai görbén egy vonalköteg foka kifejezhető valamely rajta lévő kapcsolat görbületi integráljaként. A Chern-Weil elmélet sokkal többet állít: konkrétan bármely vonalköteg foka egy algebrai görbén (és általában bármely valódi kétdimenziós, kompakt orientálható sokaságon) egyenlő a benne lévő bármely kapcsolat görbületi integráljával (osztva ) . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $[f(C)]$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $\omega$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $2\pi$ ${\frac {1}{2\pi }}\int _{f(C)}\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f^{*} \omega$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $2\pi$

Leképezések osztályozása vonalkötegekhez

A vonalkötegek lineáris rendszeren keresztüli leképezéseket használó megvalósítása jelentős hátrányokkal jár: például előfordulhat, hogy egy kötegnek egyáltalán nincsenek szakaszai. Görbe esetén ez mesterségesen korrigálható, mert akkor a kettős kötegnek vannak szakaszai, és néha az antiholomorf leképezés mentén visszahúzásként megkaphatjuk az eredeti köteget. De egy összetett felületen egy vonalköteg lehet az egyik irányban "pozitív", a másikban "negatív", és egy ilyen trükktől már nem lehet eltekinteni. Ugyanakkor a lineáris rendszer feletti leképezések adnak némi intuíciót, ami sokkal többet tesz lehetővé, ha nem algebrai vagy holomorf leképezéseket adunk, hanem tetszőleges folytonosakat. ${\mathfrak {O}}(1)$

Térjünk vissza a köteghez , és feltételezzük, hogy a tér hermitikus metrikával van felszerelve. Ezután a köteget Hermitikus metrikával látják el. Egy egységnyi hosszúságú vektorköteget emelünk ki benne: egységes csoport hat rá , ráadásul minden rétegben szabadon és tranzitívan. Ennek a kötegnek a teljes tere az egységgömbbel azonosítható . A rostkörű rost a jól ismert Hopf -szál . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathrm {P} (V)$ $V$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\mathrm {U} (1)$ $S^{2n+1}$ $V$ $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Az egyesülési topológiával a zárványok határaként megvalósuló hermitikus (nem teljes) tér tartalmazza az egységgömböt , amelyre a fentiek ugyanilyen mértékben érvényesek. A cselekvési hányados egy végtelen dimenziós projektív tér , amelynek véges dimenziós alterei egyesülésének topológiája valamilyen teljes zászlót alkot. A véges dimenziós társaitól eltérően azonban a következő tulajdonságokban különbözik: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty ))$ $\mathbb {C} \subset \mathbb {C} ^{2}\subset \mathbb {C} ^{3}\subset \dots$ ${\displaystyle S^{\infty ))$ $S^{\infty }$ $\mathrm {U} (1)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$

Egy végtelen dimenziós Hopf-köteg teljes tere (azaz ) összehúzható . $S^{\infty }$
Ha egy főköteg rosttal , azaz egy körköteg, amely egységes csoportműködéssel van felszerelve , amely szabad és tranzitív minden szálon, akkor létezik olyan leképezés , amely izomorf a végtelen dimenziós Hopf-köteg inverz képével. . $P\to X$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$ ${\displaystyle f_{P}\colon X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $P$ ${\displaystyle f_{P))$
Egy adott főköteg esetében az összes ilyen térkép homotopikus egymáshoz. Ezek bármelyikét osztályozó leképezésnek nevezzük . $P\to X$ ${\displaystyle f_{P))$

Bár egy végtelen dimenziós Hopf-köteg teljes tere összehúzható, bázisának topológiája nem triviális: minden páros szám esetén az egész kohomológiája egydimenziós. Osztályos algebraként izomorfak a polinomgyűrűvel , ahol . A generatrix visszahúzása a leképezés mentén, a fenti lista harmadik tulajdonsága miatt, a fő köteg jól definiált invariánsa. Ez a Chern osztály. ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $2k$ ${\displaystyle H^{2k))$ $\mathbb {Z} [t]$ $\deg t=2$ $t\in H^{2}$

Megjegyzendő, hogy a véges dimenziós osztályok mindegyikére vonatkozó megszorításban a de Rham-kohomológiában a Fubini-tanulmány alakjának osztályaként ábrázolható, osztva -val . Másrészt a Fubini-tanulmány alakja egy invariáns kapcsolat görbülete -ben , vagyis a szélessége a főköteg valamely -ekvivalens kapcsolatának görbülete . Ha ellenőrizzük, hogy egy fő -kötegben az -ekvivalens kapcsolatok görbületei zárt 2-formák, amelyek ugyanabba a de Rham-kohomológiai osztályba tartoznak, akkor azonnal megkapjuk a Chern-Weyl elmélet állítását a vonalkötegekre: ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $t$ $2\pi$ ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$ ${\displaystyle f_{P))$ $\mathrm {U} (1)$ $P$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$

Tétel. Legyen egy hermitikus vonalköteg, és legyen valamilyen egységes kapcsolat görbületi formája -ben . Akkor . $L\to X$ $\omega$ $L$ ${\frac {1}{2\pi }}[\omega ]=c_{1}(L)\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

Ebből például rögtön következik a Gauss-Bonnet tétel .

Szóközök osztályozása

A lineáris kötegektől eltérő kötegekhez más csoportokhoz is társíthatunk fő -kötegeket : például egy hermitikus rangú köteghez egy fő köteg kapcsolódik a szerkezeti csoporthoz , amelynek szálai egy adott szálban ortonormális kereteket paraméterező terek. a vektorköteg. Ezzel szemben a vektorköteget a fő-kötegből és a csoportreprezentációból rekonstruáljuk . Ha egy fő -köteg egy -ekvivalens kapcsolattal volt felruházva , akkor a kapott vektorköteg is struktúramegőrző kapcsolattal lesz felruházva . $G$ $G$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $G$ $G$ $G$ $G$ $G$

Kiderült, hogy egy tetszőleges Lie-csoporthoz (vagy általánosabban egy topológiai csoporthoz) létezik a Hopf-fibráció analógja. Ez néhány fő - köteg; jelöljük , alapját pedig osztályozó térnek nevezzük . A homotópia egyenértékűségéig egyedülálló, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $G$ $G$ $EG\to BG$

A teljes tér minden homotópiacsoportja triviális. $EG$
Minden fő - köteghez létezik egy osztályozási térkép , amely a köteg inverz képeként kapja meg a mentén . $G$ $P\to X$ $f_{P}\colon X\to BG$ $P$ $EG\to BG$ ${\displaystyle f_{P))$
Minden osztályozó leképezés homotopikus egymáshoz.

Például, ha , akkor a kör választható körnek, univerzális fedője pedig a valódi egyenes. A legtöbb esetben azonban az osztályozó tér nem rendelkezik a kompakt sokaság homotópiájával: így ugyanis már végtelen dimenziós gömbként újra felbukkan, amelyre az antipodális leképezés hat, és felette egy tényező, azaz . Ebből a konstrukcióból a fent leírthoz hasonlóan megkapjuk a valódi vonalköteg első Stiefel-Whitney osztályát . $G=\mathbb {Z}$ $BG$ $EG$ $G=\mathbb {Z} /2$ $EG$ $\mathbb {Z} /2$ $BG$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty ))$

Weyl algebra

Ha egy csoportra ki lehet számítani egy kohomológiai algebra (amely már jól definiált algebra, mivel az összes osztályozó tér homotóp egymáshoz), akkor az osztályozási leképezések mentén onnan az osztályok visszahúzódásai a főkötegek invariánsai lesznek. Ez a probléma azonban nagyon nehéz, legalábbis ha a kohemológia algebrát egész együtthatókkal vesszük. $G$ $H(BG)$

Sokaság esetén a valós együtthatókkal való kohomológia kiszámításának problémáját leegyszerűsíti az a tény, hogy ezek de Rham-kohomológiának tekinthetők . A terek osztályozása azonban nem sokrétű. A de Rham-féle kohomológiai megközelítés megvalósításának ötlete az úgynevezett Chevalley-Eilenberg komplexumból származik . Ha Lie csoport, akkor annak differenciálformáinak komplexe bal-invariáns differenciálformák részkomplexumát tartalmazza. A bal-invariáns differenciálformát az egységben lévő érintőtérben lévő értéke határozza meg , azaz egy ferde-szimmetrikus többlineáris forma a Lie algebrán . Így, mint ferde-szimmetrikus szorzású algebra, a bal-invariáns differenciálformák tere izomorf a külső algebrával . A differenciál ezen az algebrán, amint a de Rham-differenciál standard képletéből könnyen levezethető, a kifejezésben van egy leképezés, amely duális a zárójellel (pontosabban mínuszjellel), majd a következő szerint folytatódik: a fokozatos Leibniz-szabály , azzal a ténnyel, hogy a külső algebrát az első kalibrációs komponens generálja. Létezik tehát egy véges dimenziós részkomplexum , amely a geometriai motiváció ellenére algebrailag is definiálható a Lie algebra segítségével. Kohomológiáját Lie algebra kohomológiának nevezik ; természetesen a Lie-csoport de Rham-kohomológiájában rejlenek, sőt, ha kompaktak, akkor megegyeznek a Lie-csoport összes de Rham-kohomológiájával . $BG$ $G$ $e\in G$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}\ to \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$ $[\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $\Lambda {\mathfrak {g}}^{*}\subset \Omega (G)$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ $G$

Ez arra késztet bennünket, hogy megpróbáljuk formálisan , egyedül a Lie algebrával meghatározni, hogy mi az osztályozó tér de Rham-algebrája – pontosabban a tér de Rham-algebrája . Hadd emlékeztesselek arra, hogy két dologra van szükség: ez egy összehúzható tér, amelyen szabadon hat. A megfelelő algebrai követelmények a következők: van egy differenciálisan fokozatos nulla kohemológiájú algebra (kivéve a nulla fokozatot, ahol egydimenziósak), amelyre a Lie algebra levezetésekkel hat , és a természetes térkép szürjektív. $\mathfrak{g}$ $EG$ $EG$ $G$ $\Omega (EG)$ $\mathfrak{g}$ $\Omega (EG)\to \Lambda {\mathfrak {g}}^{*}$

A szükséges tulajdonságokkal rendelkező algebrát meglehetősen könnyű megszerkeszteni, ezt Weil algebrának hívják, és jelöli . Ez ugyanis egy fokozatos külső algebra – vagyis két példánya , amelyek közül az egyik páros, a másik pedig páratlan. Ezzel egyenértékűen ez egy tenzorszorzat , ahol a külső algebra generátorainak 1, a szimmetrikus algebra 2-es fokozata van. A következő bikomplex teljes komplexeként is ábrázolható: $W({\mathfrak {g)))$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}[1])$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$

$k$	$\nak nek$	$\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\nak nek$	$\Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\nak nek$	$\Lambda ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\to \dots$
		$\lefele nyíl$		$\lefele nyíl$		$\lefele nyíl$
		$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\nak nek$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\nak nek$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{})$	$\to \dots$
				$\lefele nyíl$		$\lefele nyíl$
				$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\nak nek$	$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\to \dots$
						$\lefele nyíl$
						$\mathrm {Sym} ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\to \dots$

Az itt lévő sorokban lévő differenciálok Chevalley-Eulenberg komplexek, amelyek hozzáadott művelettel vannak a -modulokon (különös tekintettel arra, hogy bármely sorban az első differenciál egy elemet képez le a , operátorhoz ), és minden oszlop egy Koszul komplex , amely nem kapcsolható össze. csak a Lie algebrához, hanem tetszőleges vektortérrel is. Aciklicitásából arra következtethetünk, hogy a Weil-komplexumnak sincs kohomológiája, kivéve a nullákat. $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $m\in M=\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g))^{*})$ ${\mathfrak {g}}\to M$ $v\mapsto [m,v]$ $\Lambda ^{k}(V)\to V\otimes \Lambda ^{k-1}(V)\to \mathrm {Sym} ^{2}(V)\otimes \Lambda ^{k- 2}(V)\to \dots \to \mathrm {Sym} ^{k-1}(V)\otimes V\to \mathrm {Sym} ^{k}(V)$

Ha a Weil-bikomplex a térbeli differenciálformák közelítése, a nulla sora, a Chevalley-Eilenberg algebra pedig a -n lévő bal-invariáns differenciálformák algebrája , akkor a differenciálalakok alapból felszálló analógja – azaz , a "de Rham-algebra" – a bikomplex átlójának elemei, a szimmetrikus függvények algebrája a -n . Ebben az esetben a zárt alakok pontosan azok lesznek, amelyek a Weyl-algebrában a differenciálhoz képest zártak. Abból, ahogyan az átlós elemeken működik (amelyet az előző bekezdésben jeleztünk), az következik, hogy ezek egyszerűen polinomiális függvények -on , amelyek invariánsak a csoport Lie algebráján lévő adjunkt hatása alatt. $W({\mathfrak {g}}^{*})$ $EG$ $G$ $BG$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $G$

Chern-Weil homomorfizmus

Legyen egy hazugság csoport és egy fő -köteg. Válasszunk benne egy kapcsolatot, vagyis egy olyan részköteget , hogy a vetület ennek az alkötegnek a szálait képezi le a k érintőterekre izomorf módon, és ezt az alköteget a cselekvés megőrzi . Kódolható egy -invariáns vetítéssel egy függőleges alkötegre (vagyis a -pályák érintőtereinek kötegére). Egy Lie csoport szabad cselekvésének pályájának érintőtere kanonikusan izomorf a Lie algebrával , így ez az alak megadható 1- es alakként . A kapcsolat másik invariánsa a görbülete, amelyet jelen esetben két vízszintes vektormező (vagyis szakaszok ) kommutátorának a rétegek érintőtereire vetítve kapunk. Ez egy 2-forma együtthatókkal . $G$ $P\to X$ $G$ $Hor\subset TP$ $x$ $G$ $G$ $G$ $G$ $\mathfrak{g}$ $\theta \colon TP\to {\mathfrak {g))$ $Hor$ $\Phi$ $\mathfrak{g}$

Ez lehetővé teszi, hogy a kapcsolathoz differenciálisan osztályozott algebrák homomorfizmusát társítsuk , amely helyettesíti az osztályozó leképezést. Ebben az esetben kényelmesebbnek bizonyul a teljes terek között meghatározni, és nem az alapok között. Elegendő a generátorokon definiálni, azaz és . Mindkét tér egyszerűen funkcionális a Lie algebrán; de az elsőnek a teljes téren 1-formákra, a másodiknak pedig 2-formákra kell leképeznie. Küldjük el a funkcionálist az 1- es, a funkcionálist pedig a 2-es formákba . Ezt a leképezést Chern-Weil homomorfizmusnak nevezik , és ellenőrizhető, hogy ez valóban differenciálisan osztályozott algebrák -ekvivaráns homomorfizmusa . Konkrétan a Weyl-bikomplex átlójából képezi le az elemeket -invariáns alakokba , azaz a differenciálformák visszahúzódásaiba . Mivel a Weil-differenciálhoz képest zárt elemek zárt alakokba mennek át, a Lie algebrán lévő invariáns polinomok a főköteg alapján zárt alakokat adnak. Ezeket jellegzetes formáknak nevezzük . Kifejezetten így is írhatók $W({\mathfrak {g}})\to \Omega (P)$ $\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $P$ $\varphi \in \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\mapsto \varphi (\theta (v))$ $\psi \in \mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\wedge w\mapsto \psi (\Phi (v,w))$ $G$ $W({\mathfrak {g}})\to \Omega (P)$ $G$ $P$ $x$

$\psi (\Theta )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in S_{2k}} (-1)^{\sigma }\psi (\Theta (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Theta (v_{\sigma (2k-1)} ,v_{\sigma (2k)})))$

Itt egy invariáns polinom, és a görbület. A főkötegben egy másik kapcsolat kiválasztásakor a görbület és a karakterisztikus formák megváltoznak, de kohomológiai osztályaik ugyanazok maradnak. $\psi \in \mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\Theta$

Példák

Egy csoport esetében invariáns függvényeket definiálhatunk a Lie algebrán a feltétellel . Az eredményül kapott osztályok a Chern osztályok . Egy hasonló képlet határozza meg az osztályokat, amelyeket Pontryagin osztályoknak neveznek (csak el kell távolítanunk a nevezőt). $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\psi _{i}$ ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$ $\det \left(\mathrm {Id} -t{\frac {x}{2\pi {\sqrt {-1}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n }\psi _{i}(x)t^{i}$ $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$

Általános lineáris csoportok esetén az invariáns polinomok algebráját polinomok generálják . Általánosságban elmondható, hogy nem ez a helyzet: például egy speciális ortogonális Lie algebrán van egy fokú Pfaffi - polinom . A megfelelő osztályt (osztva -val ) Euler-osztálynak nevezzük . $A\mapsto \mathrm {Tr} (A^{k})$ ${\mathfrak {so}}(2n)$ $n$ ${\displaystyle (2\pi )^{n))$

A fizikában

A Chern-Weil elmélet a karakterisztikus osztályok meghatározásának sok egyenértékű módja egyike. Matematikai szempontból számos hátránya van: a de Rham-kohomológiához hasonlóan csak abban az esetben működik, ha az alap sokaság, nem fogja meg a torziós alcsoporthoz tartozó osztályokat a kohomológiában, illetve az osztályok integritását. Egyes differenciálkifejezések integrálásával kapott eredmény korántsem nyilvánvaló (míg más módon egész számot kapunk automatikusan).

De ennek az integritásnak, legalábbis a vonalkötegek esetében, váratlan alkalmazása van a fizikában. Az elektromágneses tér tenzor egy 2-forma a téridőben, ami tulajdonképpen a hermitikus vonalköteg valamilyen kapcsolatának görbületi formája. Általában fizikailag ésszerűnek tartják azt a feltételezést, hogy ez a köteg triviális. Dirac megjegyezte, hogy feltételezve, hogy ez a köteg nem triviális lehet, akkor a Chern osztálya megegyezik a mágneses töltéssel . A Chern-osztályok integritásából tehát az következik, hogy ha egyetlen mágneses tér még létezik, akkor annak töltése valamilyen elemi mágneses töltés integrál többszöröse.

Figyelemre méltó, hogy Dirac tétele a mágneses töltés kvantálásáról 1931-ben jelent meg, vagyis több mint 10 évvel a Chern-Weyl elmélet megjelenése előtt.

Történelem

A görbület és a topológia közötti kapcsolatot először valószínűleg Lhuillier vette észre . A Gauss-Bonnet tételt , amely fontos lépésként szolgált a Chern-Weil elmélet felé, először von Dyck fogalmazta meg modern formájában (kompakt tájolható felületekre) 1888-ban .

A Gauss-Bonnet-tétel többdimenziós analógját 1925-ben javasolta Hopf : figyelembe vette a térbeli hiperfelületeket , és bevezette rajtuk a Gauss-görbület analógját az egységgömb térfogatának inverz képeként a Gauss-leképezéshez képest . Ezt a formát sikerült lokális görbületekben polinomként kifejeznie, hasonlóan a karakterisztikus alak képletéhez (lásd fent). Az 1-nél nagyobb kóddimenziójú euklideszi tér páros dimenziós alsokaságaira a Gauss–Bonnet-tétel analógjait egymástól függetlenül Allendorfer és Fenchel hozta létre 1940-ben. Bizonyításuk a problémát egy részsokaság egy kis csőszerű szomszédságának határára redukálta, amely a Hopf-tétel által lefedett hiperfelület. A határ modern szóhasználattal az egységgömbköteg a normál hiperfelületi kötegben, és a fenti lokális görbületek lehetővé teszik ennek az alsokaságnak az Euler-osztályának képletét. $\R^{2n+1}$

Chern Weil javaslatára hasonló eredményt kezdett keresni tetszőleges Riemann-sokaságokra, amelyek nincsenek beágyazva sehova, és arra a következtetésre jutott, hogy az absztrakt Riemann-sokaság Gauss-leképezésének analógja az egységgömbök kötege a érintő köteg. 1944-es végeredménye, amelyet általánosított Gauss-Bonnet képletként ismernek, kijelenti, hogy egy páros dimenziós Riemann-sokaság Euler-karakterisztikája megegyezik a görbületének Pfaffi-integráljával. Ezt a tételt Weil és Allendorfer korábban bebizonyította, de a bizonyításuk Weil szerint nem volt kielégítő (a sokaság euklideszi térben történő helyi beágyazásán és az azt követő ragasztáson alapult, ami nem ad kellően megérteni a képlet mögött rejlő geometriát). Ezt követően Chernnek sikerült kifejezést találnia nemcsak az Euler osztályra, hanem a Chern osztályokra is. Megpróbálta meghatározni őket egy tetszőleges, páros dimenziós Riemann-sokaságra, de kiderült, hogy ez csak a hermiti sokaságra lehetséges. Ez a megértés fontos lépés volt a komplex geometria fejlődésében.

Ugyanakkor Pontrjagin megpróbált jellegzetes osztályokat építeni differenciális formák révén ; ben csak részsokaságokat vett figyelembe , de a csőszerű környék határának Gauss-féle leképezése helyett egy grassmann-i leképezést vett fontolóra, és 1944-ben sikerült helyes képleteket kiírnia a jellemző formákra. Az absztrakt Riemann-féle sokaságok esetét azonban nem vette figyelembe, és úgy tűnik, Chern legújabb munkája nem volt ismert számára. $\mathbb {R} ^{n}$

A Chern-féle bizonyítás mögött meghúzódó homológiai algebrát Henri Cartan tisztázta egy 1951-es jegyzetében, amely Weyl kiadatlan szövegén alapult. Különösen bevezette a Weyl-algebra fogalmát.

A különféle Gauss-leképezések differenciálgeometriája és az algebrai geometriában lineáris rendszerekkel történő beágyazások közötti kapcsolat, amelyeket az olasz iskola geometriai kutatói Veronese óta vettek figyelembe, csak Kodaira munkája után vált világossá .

Linkek

Cartan, Henri (1951), "Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, 1950, Georges Thone, Liege, pp. 15–27., MR 0042426
Wu Hung Hsi. A Gauss-Bonnet-tétel történeti fejlődése a Science in China sorozat A matematikában, 2008. április