Poincaré vektormező tétele

A Poincaré vektormező tétel (más néven Poincaré-Hopf tétel és indextétel ) a differenciáltopológia és a dinamikus rendszerek elméletének klasszikus tétele ; a sündisznó fésülködési tétel általánosítása és pontosítása .

Ebből különösen az következik, hogy szinguláris pontok nélküli sima vektormező nem létezik egy kétdimenziós gömbön, de létezhet egy kétdimenziós tóruszon .

Megfogalmazás

Legyen egy sima vektormező egy sima zárt sokaságon , amelynek véges számú izolált szinguláris pontja van . Akkor $M$ $V$ $A_{1},A_{2},\pontok ,A_{n}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}J_{{A_{i}}}(V)=\chi (M),

itt van a pont indexe a mezőre vonatkoztatva, a szám pedig a sokaság Euler-karakterisztikája . $J_{{A_{i}}}(V)$ $A_{i}$ $V$ $\chi (M)$ $M$

Történelem

A kétdimenziós sokaságok esetében a tételt Poincaré igazolta 1885-ben. Tetszőleges méretű sokaságokra az eredményt Hopf kapta 1926-ban [1] .

Változatok és általánosítások

Hasonló tételeket bizonyítottak nem izolált szinguláris pontokat tartalmazó vektormezőkre és szingularitású sokaságokra [2] [3] .

Jegyzetek

↑ Ennek a tételnek a kétdimenziós változatát Poincaré bizonyította 1885-ben. A teljes tételt Hopf bizonyította 1926-ban, Brouwer és Hadamard részeredményei nyomán . // Milnor J., Wallace A. Differenciál topológia. Kezdő tanfolyam. M: Mir, 1972 (223. o.).
↑ Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa . Vector fields on Singular Varieties archiválva 2018. június 12-én a Wayback Machine -nél . Springer, 2009.
↑ Pavao Mardesic . Valós vektormezők szingularitási indexe szinguláris hiperfelületeken Archiválva : 2022. június 18. a Wayback Machine -nél . Journal of the Singularities , 9. kötet (2014), 111-121.

Irodalom

Milnor J., Wallace A. , Differenciál topológia. Kezdő tanfolyam. M: Mir, 1972.
Arnold V.I. , Közönséges differenciálegyenletek . Bármelyik kiadás.