Bose-Einstein statisztika

A Bose-Einstein statisztika olyan kvantumstatisztika, amelyet azonos bozonokból álló rendszerekre alkalmaznak (nulla vagy egész spinű részecskék ), amelyek például fotonokat és hélium-4 atomokat tartalmaznak . Meghatározza az adott energiájú állapotú bozonok átlagos számát egy termodinamikai egyensúlyi rendszerben : $n_{i}$ $\varepsilon_i$

n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)-1}}

ahol a degenerációs multiplicitás (egy energiájú részecske állapotainak száma ), a kémiai potenciál , a Boltzmann-állandó , az abszolút hőmérséklet . Ha , akkor a részecskék kitöltési szintjei számának függvényét Bose-Einstein függvénynek nevezzük : $GI$ $\varepsilon_i$ $\mu$ $k$ $T$ $g_i=1$

F(\varepsilon ,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -\mu }{kT))\right)-1))

Shatyendranath Bose javasolta 1924-ben a fotonok leírására. 1924-1925-ben. Albert Einstein egész spinű atomrendszerekre általánosította.

A Bose-Einstein statisztika tulajdonságai

A Bose-Einstein függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

méret nélküli;
csak a ; $\varepsilon$ $\mu$
valós értékeket vesz fel 0-tól ig ; $+\infty$
energiával csökken;
a csökkenés a hőmérséklet csökkenésével élesebbé válik;
magas hőmérsékleten és/vagy alacsony koncentrációjú részecskéknél bekerül a Maxwell-Boltzmann statisztikába ;
a limitben a Rayleigh-eloszlásba kerül . $kT\gg \varepsilon -\mu$ $F=kT/(\varepsilon -\mu )$

Összehasonlítás a Fermi-Dirac statisztikákkal

A Bose-Einstein-függvény hasonló a Fermi-Dirac függvényhez , amelyet azonos fermionok rendszerének leírására használnak – fél-egész spinű részecskék, amelyek megfelelnek a Pauli-elvnek (egy kvantumállapotot egynél több részecske nem foglalhat el).

A különbség az egység kivonásában rejlik a nevezőben, míg a Fermi-Dirac képletben ezen a helyen egy plusz jel található. Ennek eredményeként a két statisztika formája a kémiai potenciál közelében és alatti energiáknál lényegesen eltérő. Nagy energiáknál azonban mindkét statisztika közel áll a klasszikus Maxwell-statisztikához, és egybeesik . $F(\varepsilon ,T)$ $\varepsilon$ $F=\exp[(\mu -\varepsilon )/kT]$

Matematikai és fizikai jelentés

A Bose-Einstein függvény beállítja a kvantumállapotok elfoglaltsági számát ( eng. ocupancy factor ). Gyakran "eloszlásnak" nevezik, de a valószínűségszámítás apparátusa szempontjából ez sem nem eloszlásfüggvény , sem nem eloszlássűrűség . Ezenkívül nem értelmezhető bizonyos valószínűségként. $F(\varepsilon ,T)$

Az állapotok elfoglaltságáról információt adva a funkció nem mond semmit ezen állapotok jelenlétéről. A diszkrét energiájú rendszerek esetében a lehetséges értékek halmazát a lista adja meg stb ., a folyamatos energiaspektrumú rendszerek esetében pedig az állapotokat az „ állapotok sűrűsége ” (J -1 vagy J - 1 m -3 ). $F(\varepsilon ,T)$ $\varepszilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ $\rho (\varepsilon )$

Bose-Einstein statisztika alkalmazása

A Fermi-Dirac és Bose-Einstein statisztikát azonos részecskékből álló rendszerek alkotják, amelyekben a kvantumhatások nem elhanyagolhatók. A kvantumhatások a részecskekoncentrációknál mutatkoznak meg , ahol az úgynevezett kvantumkoncentráció , amelynél a részecskék közötti átlagos távolság egyenlő az átlagos de Broglie-hullámmal egy ideális gáz adott hőmérsékleten. Koncentrációnál a részecskék hullámfüggvényei "érintik" egymást, de gyakorlatilag nem fedik egymást. ${\displaystyle (N/V)\geq n_{q))$ $n_q$ $n_q$

A Bose-Einstein statisztika alkalmazásának feltételei a rendszerben a részecskék közötti kölcsönhatás gyengesége ( ideális kvantumgáz esete) és a degenerációs hőmérséklet feletti hőmérséklet .

A Bose-Einstein statisztika (valamint a Fermi-Dirac statisztika ) az azonos részecskék megkülönböztethetetlenségének kvantummechanikai elvéhez kapcsolódik. Azonban a fermionok (részecskék, amelyekre a Pauli-kizárási elv érvényes) engedelmeskednek a Fermi-Dirac statisztikának , a bozonok pedig a Bose-Einstein statisztikának . Mivel a kvantumkoncentráció a hőmérséklet növekedésével növekszik, a legtöbb magas hőmérsékletű fizikai rendszer megfelel a klasszikus Maxwell-Boltzmann statisztikának . Ez alól kivételt képeznek a nagyon nagy sűrűségű rendszerek, például a fehér törpék .

A fermionokkal ellentétben a bozonok nem engedelmeskednek a Pauli-féle kizárási elvnek – tetszőleges számú részecske lehet egyidejűleg ugyanabban az állapotban. Emiatt viselkedésük nagyon különbözik a fermionok viselkedésétől alacsony hőmérsékleten. A bozonok esetében a hőmérséklet csökkenésével az összes részecske egy, a legalacsonyabb energiájú halmazállapotba áll össze, és az úgynevezett Bose-Einstein kondenzátum jön létre .

Következtetés és leírás

Egy nem kölcsönható részecskék rendszerének Hamilton -rendszere egyenlő az egyes részecskék Hamilton-rendszerének összegével. A rendszer Hamilton-féle sajátfüggvényeit az egyes részecskék Hamilton-féle sajátfüggvényeinek szorzataként ábrázoljuk. És a rendszer Hamiltoni (energiájának) sajátértékei megegyeznek az egyes részecskék energiáinak (a Hamiltonok sajátértékei) összegével. Ha egy adott energiaszinten vannak részecskék, akkor a rendszer energiája súlyozott összeg , és a rendszer hullámfüggvénye a szorzat $\varepsilon_i$ $n_{i}$ $E=\sum^{\infty}_{i=0}n_i \varepsilon_i$

\psi(r)=\psi(r_1,r_2,...,r_n)=\psi_{i_1}(r_1)\psi_{i_2}(r_2)...\psi_{i_n}(r_n)

ahol az energiaszint hullámfüggvénye . $\psi_{i_k}$ $\varepsilon_{i_k}$

Egy adott energiaszintű rendszer állapotának valószínűségére vonatkozó általános képlet a következőképpen definiálható ( nagy kanonikus együttes ):

W(E)=e^{\frac {\Omega +\mu nE}{\Theta }}g(E),

ahol az adott energiaszint degenerációs multiplicitása. $g(E)$

A fent leírt hullámfüggvénynél a koordináták permutálása megváltoztatja a hullámfüggvényt, azaz a koordináták permutálása új mikroállapotot hoz létre. Vagyis egy ilyen hullámfüggvény kiválasztása magában foglalja a részecskék mikroszkopikus megkülönböztethetőségét. Makroszkóposan azonban azonos állapotnak felelnek meg. Ezért egy ilyen hullámfüggvényhez a makroállapotok jellemzésekor a fenti képletet el kell osztani azzal, hogy kizárjuk ugyanazon makroállapot többszörös figyelembevételét a statisztikai összegben. $n!$

Figyelembe kell azonban venni, hogy, mint ismeretes, a hullámfüggvények tetszőleges lineáris kombinációja a Schrödinger-egyenlet megoldása is. A részecskék azonossága, azaz mikroszkopikus megkülönböztethetetlensége miatt olyan lineáris kombinációt kell választani, hogy a koordináták permutációja ne változtassa meg a hullámfüggvényt, azaz

\psi =\sum _{P}P\psi ,

ahol a részecskekoordináták permutációjának művelete. Ráadásul a bozonokra vonatkozó Pauli-tétel szerint a hullámfüggvények szimmetrikusak, vagyis a mínusz egységkoordinátákkal való szorzás szintén nem változtat a hullámfüggvényen. Az ilyen hullámfüggvények nem degenerált állapotokat írnak le, ezért . Ezenkívül a fenti -vel való osztási igény megszűnik , mivel a permutációk nem vezetnek új mikroállapotokhoz a választott hullámfüggvényhez. Így végül a kitöltési számokon keresztül a következőképpen fejezhető ki egy adott állapot valószínűsége : $P$ $g(E)=1$ $n!$ $n_l$

W(n_{0},n_{1},...)=e^{\frac {\Omega +\sum _{l=0}^{\infty }n_{i}(\mu - \varepsilon _{i})}{\Theta )).

Innentől meg lehet mutatni

\Omega =\Theta \sum _{i=0}^{\infty }\ln(1-e^{(\mu -\varepsilon _{i})/\Theta }).

Egy adott állapotban lévő részecskék átlagos száma kifejezhető ezzel a mennyiséggel a részleges deriváltjaként (ellentétes előjellel), ha hagyományosan feltételezzük, hogy mindegyik esetében különböznek . Ekkor egy adott állapotú részecskék átlagos számára Bose-Einstein statisztikája szerint kapjuk $\mu _{i}$ $\mu$ $én$

{\overline {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1)),

ahol , az állapotban lévő részecskék száma , az állapot energiája . $\varepsilon_i > \mu$ $n_{i}$ $én$ $\varepsilon_i$ $én$

Változatok és általánosítások

Ha a negatív binomiális eloszlás paramétere egy egész szám, az utóbbi eloszlásból lesz az általánosított Bose-Einstein eloszlás [1] . $r$
Ha a paraméter negatív binomiális eloszlásban van , akkor a negatív binomiális eloszlásból lesz geometriai eloszlás . Az utolsó eloszlás a Bose-Einstein eloszlás egyetlen forráshoz [1] . $r=1$

Lásd még

Irodalom

Bose-Einstein statisztikák // Bari-karkötő. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1970. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 kötetben] / főszerkesztő A. M. Prohorov ; 1969-1978, 3. köt.).
Bose-Einstein statisztika / A. G. Bashkirov // "Banquet Campaign" 1904 - Big Irgiz. - M .: Great Russian Encyclopedia, 2005. - S. 674. - ( Great Russian Encyclopedia : [35 kötetben] / főszerkesztő Yu. S. Osipov ; 2004-2017, 3. v.). — ISBN 5-85270-331-1 .
Bose-Einstein eloszlás // Kazahsztán. Nemzeti Enciklopédia . - Almati: Kazah enciklopédiák , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (Orosz) (CC BY SA 3.0)

Linkek

↑ 1 2 Schopper H. (Szerk.) // Electron - Positron Interactions Archivált : 2021. május 10., a Wayback Machine -nél . Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. 133. o

A cikk írásakor a „ Kazahsztán. National Encyclopedia " (1998-2007), amelyet a "Kazakh Encyclopedia" szerkesztői biztosítottak a Creative Commons BY-SA 3.0 Unported licenc alatt .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Nagy orosz Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4146391-2