A spektrális tétel a lineáris operátormátrixokra vonatkozó tételek osztálya , amelyek megadják azokat a feltételeket, amelyek mellett az ilyen mátrixok diagonalizálhatók , azaz valamilyen alapon átlós mátrixként ábrázolhatók . Ezek a tételek a diagonalizálható mátrixokat tartalmazó számításokat sokkal egyszerűbb számításokra redukálják a megfelelő átlós mátrixok használatával.
A diagonalizáció fogalma, amely a véges dimenziós vektorterek esetében meglehetősen egyszerű , némi pontosítást igényel a végtelen dimenziós vektorterekre való átlépéskor. .
Általánosságban elmondható, hogy a spektrális tétel a lineáris operátorok egy osztályát választja ki , amelyek modellezhetők szorzási operátorokkal – a lehető legegyszerűbb operátorokkal. Elvontabban, a spektrális tétel egy állítás a kommutatív -algebrákról .
Példák azokra az operátorokra, amelyekre a spektrális tétel alkalmazható, az önadjungált operátorok vagy általánosabban a Hilbert-terek normál operátorai .
A spektrális tétel a környezeti vektortér kanonikus dekompozícióját is megadja, amelyet spektrális vagy sajátérték-dekompozíciónak nevezünk .
Egy véges dimenziós vektortér bármely hermitikus mátrixára [ 1] :
|
1. lemma : bármely vektorra és igaz:
Az 1. lemma bizonyítéka:
Definíció szerint:
Következésképpen:
Nyilatkozat igazolása 1 . Bizonyítsuk be, hogy a mátrix minden sajátértéke valós.
Tekintsük - a mátrix sajátértékét .
Ekkor egy sajátérték definíciója szerint létezik egy vektor , amelyre .
Ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát skalárisan megszorozzuk a következővel:
A ponttermék meghatározása szerint:
Másrészt, ha az 1-es lemmát a -ra alkalmazzuk , a következőt kapjuk:
Az egyenlőségekből következik :
Mivel bármelyikre igaz , akkor:
ami azt jelenti .
Az állítás bizonyítása 2 . Bizonyítsuk be, hogy a különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok ortogonálisak.
Tekintsünk két különböző sajátértéket . Akkor:
ahol és vannak sajátvektorok.
Szorozzuk meg az első egyenlőséget -vel, és alkalmazzuk az 1-es lemmát és a fent bizonyított tényt, hogy a sajátértékek valósak, . Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
A -ból kiindulva azt kapjuk, hogy , vagyis más szóval a és vektorok merőlegesek.
Az állítás bizonyítása 3 . Bizonyítsuk be, hogy a sajátvektorok a teljes tér alapját képezik
Legyen , a mátrix sajátértéke és a hozzá tartozó sajátvektor .
Tekintsük - az összes vektor halmaza -tól , merőleges -ig .
Mivel bármelyikre igaz, hogy , akkor az 1. lemma szerint:
Ezért ,.
A lineáris operátor , amelyet a halmaz határol , szintén hermitikus, sajátértéke és megfelelő sajátvektora van .
Definíció szerint ortogonális .
Tekintsünk egy halmazt - vektorok halmazát, amelyek egyidejűleg merőlegesek és . Hasonlóképpen a lineáris operátor önmagára képezi le magát.
Így folytatva megtalálhatjuk a , sorozatot , valamint a vektorokat tartalmazó és egyben ortogonális altereket . A sorozat a lépésnél ér véget , mert .
Így a sajátvektorok a teljes tér ortogonális alapot képeznek
Egy véges dimenziós vektortér bármely unitér mátrixára igaz [1] :
|
2. lemma : Egy egységes mátrixra a következő igaz:
honnan és tetszőleges vektorok
A 2. lemma bizonyítéka:
Az 1. állítás bizonyítása : Minden mátrix sajátérték abszolút értéke egyenlő .
Tekintsük - a mátrix sajátértékét .
Ekkor egy sajátérték definíciója szerint létezik egy vektor , amelyre:
.A 2. Lemma alkalmazásával a következőket kapjuk:
Azóta , akkor és ezért:
2. A 2. igénypont bizonyítása : A különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok ortogonálisak.
Tekintsünk két különböző sajátértéket . Akkor:
ahol és vannak sajátvektorok.
Szorozzuk meg ezt a két egyenletet:
Mint fentebb látható, . Tehát honnan:
Mivel a feltevés e fölött történt , a következőt kapjuk:
Vagyis a és vektorok merőlegesek.
3. állítás bizonyítása : A sajátvektorok a teljes tér ortogonális alapot képeznek .
Legyen , a mátrix sajátértéke és a hozzá tartozó sajátvektor .
Tekintsük - az összes vektor halmaza -tól , merőleges -ig .
Bizonyítsuk be, hogy bármely vektorra igaz .
A 2. lemma azt jelenti, hogy . Ezt a tényt felhasználva a következőket kapjuk:
Így a térdimenzió megfelelő altere .
Mivel a halmaz által határolt lineáris operátor is hermitikus, sajátértéke és ennek megfelelő sajátvektora van .
Így folytatva megtalálhatjuk a , sorozatot , valamint a vektorokat tartalmazó és egyben ortogonális altereket . A sorozat a lépésnél ér véget , mert .
Így a sajátvektorok a teljes tér ortogonális alapot képeznek
A spektrumtétel kiterjeszthető a mátrixok valamivel szélesebb osztályára. Legyen operátor egy véges dimenziós téren skaláris szorzattal. normálnak nevezzük, ha . Ezt akkor és csak akkor lehet bebizonyítani, ha egységesen átlósítható. Valóban, a Schur-felbontás szerint van , ahol egy unitér operátor és egy felső háromszög. Mert akkor normális . Ezért átlós. A fordítottja sem kevésbé nyilvánvaló.
Más szóval, akkor és csak akkor normális, ha létezik olyan unitárius mátrix , ahol , ahol egy átlós mátrix . Ráadásul a Λ mátrix átlós elemei sajátértékek, a mátrix oszlopvektorai pedig sajátvektorok (természetesen egységnyi hosszúságúak és páronként ortogonálisak). A Hermitian esettel ellentétben a mátrixelemek nem feltétlenül valósak.
A végtelen dimenziós Hilbert-terekben a spektrális tétel állítása kompakt önadjungált operátorokra lényegében ugyanúgy néz ki, mint a véges dimenziós esetben.
Tétel |
Csakúgy, mint a hermitiánus mátrixok esetében, itt is az a legfontosabb, hogy bizonyítsuk legalább egy sajátvektor létezését. A végtelen dimenziós esetben nem lehet determinánsokat használni a sajátvektorok létezésének bizonyítására, de a sajátértékek variációs jellemzéséhez hasonló maximalizálási megfontolások alkalmazhatók. A fenti spektrális tétel valós és komplex Hilbert-terekre egyaránt érvényes.
A tömörség feltételezése nélkül hamis lesz az az állítás, hogy minden önadjungált operátornak van sajátvektora.
A következő általánosítás a Hilbert-terek korlátos önadjungált operátoraira vonatkozik. Az ilyen operátoroknak nem lehet sajátértékük (például ilyen a független térbeli változóval való szorzás operátora , azaz .
Tétel |
Ezzel a tétellel kezdődik a funkcionális elemzés kutatásának hatalmas területe, az úgynevezett operátorelmélet .
Hasonló spektrális tétel érvényes a Hilbert-terek korlátos normáloperátoraira is. Az egyetlen különbség az, hogy most már komplex értékű lehet.
A spektrális tétel egy alternatív megfogalmazása lehetővé teszi , hogy az operátort a koordinátafüggvény integráljaként írjuk fel, átvéve az operátor spektrumát a vetületi mérték felett . Abban az esetben, ha a vizsgált normáloperátor kompakt, a spektrális tételnek ez a változata a fenti véges dimenziós spektrumtételre redukálódik (azzal a megkötéssel, hogy a lineáris kombináció most végtelen sok vetítőt tartalmazhat).
Számos fontos lineáris operátor, amely a számításban felmerül, nincs korlátozva. Például ezek differenciális operátorok . Létezik egy spektrális tétel az önadjungált operátorokra, amely a korlátlan operátorokra is működik. Például bármely állandó együtthatójú differenciáloperátor unitárisan ekvivalens egy szorzóoperátorral (a megfelelő unitér operátor a Fourier-transzformáció , a megfelelő szorzóoperátor pedig a Fourier-szorzó ).