Csoportbővítés

A csoportkiterjesztés egy olyan csoport , amely az adott csoportot normál alcsoportként tartalmazza . A kiterjesztési feladatban általában egy normál részcsoportot és egy hányadoscsoportot adunk meg , és olyan kiterjesztést keresünk , hogy , vagy ezzel egyenértékűen olyan legyen , hogy létezik egy rövid pontos sorozat : $N$ $K$ $G\supset N$ $G/N\cong Q$ $G$

1\to N\to G\to Q\to 1

Ebben az esetben azt mondják, hogy az [1] kiterjesztése (néha más megfogalmazást is használnak: a csoport a [2] [3] kiterjesztése ). $G$ $K$ $N$ $G$ $N$ $K$

Egy kiterjesztést központi kiterjesztésnek nevezünk , ha az alcsoport a csoport közepén helyezkedik el . $N$ $G$

Példák

A csoportok a következővel is bővíthetők . $\mathbb {Z} _{4}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2))$ ${\mathbb {Z}}_{2}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

Nyilvánvaló kiterjesztése a közvetlen szorzat : if , akkor a és a kiterjesztése is . Ha a csoportok és ( ) félig közvetlen szorzata , akkor egy kiterjesztése -val . $G=K\times H$ $G$ $H$ $K$ $G$ $K$ $H$ $G=K\rtimes H$ $G$ $H$ $K$

csoportok koszorútermékei további példákat adnak a kiterjesztésekre.

Tulajdonságok

Ha megköveteljük, hogy és Abel-csoportok , akkor egy csoport adott (Abeli) csoporttal való kiterjesztésének izomorfizmusosztályainak halmaza valójában egy olyan csoport, amely izomorf a következővel: $G$ $K$ $K$ $N$

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)

( Külső függvény ). A kiterjesztések más általános osztályai is ismertek, de nincs olyan elmélet, amely az összes lehetséges kiterjesztést egyidejűleg figyelembe venné, ebben az értelemben a csoportkiterjesztés problémáját általában nehéznek tartják.

Mivel minden véges csoportnak van egy maximális normális részcsoportja egy egyszerű faktorcsoporttal , ezért minden véges csoport összeállítási sorozatként szerkeszthető , ahol minden csoport egy egyszerű csoport kiterjesztése . Ez a tény az egyik fontos ösztönzővé vált az egyszerű véges csoportok osztályozási problémájának megoldásában . $G$ $N$ $G/N$ $\{A_{i}\}$ $A_{{i+1}}$ $A_{i}$

A kiterjesztések osztályozása

A kiterjesztési probléma megoldása azt jelenti, hogy egy csoport összes kiterjesztését osztályozzuk a -val , vagy pontosabban az összes ilyen kiterjesztést valamilyen értelemben egyszerűbb (könnyen kiszámítható vagy jól érthető) matematikai entitásokkal fejezzük ki. Általánosságban elmondható, hogy ez a feladat nagyon nehéz, és a leghasznosabb eredmények osztályozzák azokat a bővítményeket, amelyek megfelelnek néhány további feltételnek. $H$ $K$

Az osztályozási probléma szempontjából fontos fogalom a kiterjesztések ekvivalenciája; a kiterjesztések állítólag a következők:

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1

és

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

ekvivalensek (vagy kongruensek), ha létezik olyan csoportizomorfizmus, amelya diagramot kommutatívvá teszi: $T:G\to G'$

Valójában elég egy homomorfizmus csoport. A diagram feltételezett kommutativitása miatt a leképezést izomorfizmussá kényszeríti az öt homomorfizmusra vonatkozó rövid lemma .

Előfordulhat, hogy a és kiterjesztések nem ekvivalensek, hanem csoportként izomorfak . Például a Klein-négyes csoportnak vannak nem ekvivalens kiterjesztései [4] használatával , de az izomorfizmusig csak négy 8-as rendű csoport tartalmaz egy normál rendű alcsoportot a Klein-négyes csoporttal izomorf hányadoscsoporttal . $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $G$ $G'$ $nyolc$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ $2$

Triviális kiterjesztések

A triviális kiterjesztés egy kiterjesztés:

1\to K\to G\to H\to 1

ami egyenértékű a kiterjesztéssel:

1\to K\to K\times H\to H\to 1

ahol a balra és a jobbra mutató nyíl az egyes tényezők szerepeltetését és vetületét jelzi . $K\times H$

Az osztott kiterjesztések osztályozása

Az osztott kiterjesztés egy kiterjesztés:

1\to K\to G\to H\to 1

olyan homomorfizmussal , hogy egy rövid egzakt sorozat faktorleképezése által a -ból -be , majd vissza -be való átlépés az azonosságleképezést generálja a -n , azaz . Ebben a helyzetben általában azt mondják, hogy felosztja a fenti sorrendet . $s\colon H\to G$ $H$ $G$ $s$ $H$ $H$ $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $s$

A felosztott kiterjesztéseket nagyon könnyű besorolni, mivel egy kiterjesztést akkor és csak akkor osztanak fel, ha a csoport a és félig közvetlen szorzata . A Semidirect termékek önmagukban könnyen osztályozhatók, mivel egytől egyig megfelelnek a homomorfizmusoknak , ahol az automorfizmus csoport . $G$ $K$ $H$ $H\to \operatorname {Aut} (K)$ $\operatorname {Aut} (K)$ $K$

Központi bővítés

Egy csoport központi bővítése a csoportokrövid , pontos sorozata $G$

1\to A\to E\to G\to 1

olyan, amely a ( a csoport közepén ) fekszik. A központi csoportkiterjesztések izomorfizmusosztályainak halmaza -val (ahol triviálisan hat a -n ) egy az egyhez megfelelés a kohomológia csoporttal . $A$ $Z(E)$ $E$ $G$ $A$ $G$ $A$ $H^{2}(G,A)$

Példák a központi kiterjesztésekre bármely csoport és tetszőleges Abel-csoport figyelembevételével készíthető, és értéke egyenlő . Ez a fajta osztott példa (hasított kiterjesztés a kiterjesztési probléma értelmében, mivel ez egy részcsoportja ) kevéssé érdekes, mivel a fenti megfelelés szerint egy in elemnek felel meg. Komolyabb példákat találunk a projektív reprezentációk elméletében azokban az esetekben, amikor a projektív reprezentációkat nem lehet közönséges lineáris reprezentációkká emelni . $G$ $A$ $E$ $A\times G$ $G$ $E$ $0$ $H^{2}(G,A)$

Véges tökéletes csoportok esetén létezik egy univerzális tökéletes központi kiterjesztés .

Hasonlóképpen, a Lie algebra központi kiterjesztése a pontos sorozat $\mathfrak{g}$

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,

amelyik a közepén van . $\mathfrak{a}$ ${\mathfrak {e))$

Van egy általános elmélet a központi kiterjesztésekről a Maltsev fajtákban [5] .

Hazugságcsoportok

A Lie csoportelméletben az algebrai topológiával kapcsolatban merülnek fel központi kiterjesztések . Nagyjából a Lie-csoportok diszkrét csoportok általi központi kiterjesztései megegyeznek a csoportok lefedésével . Pontosabban, egy összefüggő Lie-csoport összefüggő fedőtere a csoport természetes központi kiterjesztése, a vetülettel ${\displaystyle G^{\ast ))$ $G$ $G$

\pi \colon G^{*}\to G

egy homomorfizmus csoport és szürjektív. (A csoport felépítése attól függ, hogy az identitáselemet az identitáselemre leképezzük-e .) Például amikor a csoport univerzális borítója , akkor a rendszermag a csoport alapvető csoportja , amelyről ismert, hogy Abel-féle. ( H-szóköz ). Ezzel szemben, ha egy Lie-csoport és egy diszkrét központi részcsoport adott , akkor a hányadoscsoport egy Lie-csoport, és a fedőtere. ${\displaystyle G^{\star ))$ $G$ ${\displaystyle G^{\star ))$ $G$ $\pi$ $G$ $G$ $Z$ $G/Z$ $G$

Általánosabban fogalmazva, ha a , és a középső kiterjesztésben lévő csoportok Lie csoportok és a köztük lévő leképezések Lie csoport homomorfizmusok, akkor ha a csoport Lie algebrája , az algebra , az algebra pedig , akkor a középső kiterjesztése a Lie algebra by . Az elméleti fizika terminológiájában az algebragenerátorokat központi töltéseknek nevezik . Ezek a generátorok az algebra középpontjában helyezkednek el . Noether tétele szerint a szimmetriacsoportok generátorai konzervált mennyiségeknek felelnek meg, és töltéseknek nevezik őket . $A$ $E$ $G$ $G$ $\mathfrak g$ $A$ ${\mathfrak a}$ $E$ ${\mathfrak {e))$ ${\mathfrak {e))$ $\mathfrak g$ $\mathbf {a}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak {e))$

Alapvető példák a központi bővítményekre, mint lefedő csoportokra:

spinor csoportok , amelyek kétszeresen lefedik a speciális ortogonális csoportokat , amelyek (páros dimenzióban) kétszeresen lefedik a projektív ortogonális csoportot ;
metaplektikus csoportok , amelyek kétszer fedik le a szimplektikus csoportokat .

Az eset magában foglalja az alapcsoportot, amely egy végtelen ciklikus csoport ; itt a központi kiterjesztés jól ismert a moduláris formák elméletéből a súlyú formák esetében . A megfelelő projektív reprezentáció a Weyl-reprezentáció , amely a Fourier-transzformációból épül fel , ebben az esetben a valós tengelyen . A metalektikus csoportok a kvantummechanikában is megjelennek . $SL_{2}(\mathbf {R} )$ ${\tfrac {1}{2))$

Lásd még

Lie Algebra Extension
Csengetés kiterjesztés
Algebra Virasoro
HNN kiterjesztés
Topológiai csoport kiterjesztése

Jegyzetek

↑ Az általános algebrában leggyakrabban struktúrabővítésről olyan struktúrát szoktak feltételezni, amelyben egy részstruktúra van, így különösen egy mezőbővítést definiálnak ; de a csoportelméletben (esetleg a jelölés miatt ) más terminológiát alakítottak ki, és nem a , hanem a hányadoscsoporton van a hangsúly , így vélhetően a segítségével bővül . $K$ $L\feldúlt K$ $K$ $\operatorname {Ext} (Q,N)$ $N\subset G$ $K$ $K$ $N$
↑ Megjegyzés 2.2. . Letöltve: 2019. március 15. Az eredetiből archiválva : 2019. május 26. (határozatlan)
↑ Brown, Porter, 1996 , p. 213–227.
↑ Dummit, Foote, 2004 , p. 830.
↑ Janelidze, Kelly, 2000 .

Irodalom

David S. Dummit, Richard M. Foote. absztrakt algebra. - harmadik kiadás. - Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .
McLane S. Homológia. - M .: Mir, 1966.
Taylor RL Nem kapcsolódó topológiai csoportok csoportjainak lefedése // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1954. - T. 5 . – S. 753–768 .
Brown R., Mucuk O. Nem kapcsolódó topológiai csoportok újralátott csoportjai // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1994. - T. 115 . – 97–110 .
Brown R., Porter T. A nem-abeli kiterjesztések Schreier-elméletéről: általánosítások és számítások // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1996. - T. 96A . – S. 213–227 .
Janelidze G., Kelly GM Central extensions in Malt'sev varieties // Theory and Applications of Categories. - 2000. - T. 7 . – S. 219–226 .
Morandi PJ Group Extensions és $H^{3}$ .
Csoportbővítmények . Csoportnevek . Hozzáférés időpontja: 2019. június 14. (határozatlan)