Projektív geometria

A projektív geometria a geometriának  egy olyan ága , amely a projektív síkokat és tereket vizsgálja . A projektív geometria fő jellemzője a kettősség elve , amely kecses szimmetriát ad sok tervnek.

A projektív geometria tanulmányozható tisztán geometriai szempontból és analitikusan ( homogén koordináták segítségével ) és algebraiból is, a projektív síkot egy mező feletti szerkezetnek tekintve . Gyakran és történelmileg a valódi projektív síkot euklideszi síkként kezelik egy "végtelen vonallal" kiegészítve.

Míg az ábrák tulajdonságai, amelyekkel az euklideszi geometria foglalkozik, metrikusak ( szögek, szakaszok, területek specifikus értékei), az ábrák ekvivalenciája pedig ekvivalens a kongruenciájukkal (vagyis amikor az ábrák egymásra fordíthatók mozgás a metrikus tulajdonságok megtartása mellett), a geometriai alakzatoknak több "mélyen fekvő" tulajdonsága van, amelyeket a mozgásnál általánosabb típusú transzformációk őriznek meg . A projektív geometria a projektív transzformációk osztályában invariáns alakzatok tulajdonságainak, valamint maguknak a transzformációknak a vizsgálatával foglalkozik.

A projektív geometria kiegészíti az euklideszi elméletet azzal, hogy gyönyörű és egyszerű megoldásokat kínál számos olyan problémára, amelyet a párhuzamos vonalak jelenléte bonyolít. A kúpszelvények projektív elmélete különösen egyszerű és elegáns .

Történelem

Bár a ma projektív geometriának nevezett eredmények egy része az ókori görög geometriák, például az alexandriai Pappus munkáira nyúlik vissza, a projektív geometria mint olyan a 17. században született meg a festészet és az építészeti rajz közvetlen perspektívájából . A végtelenül távoli pontok ötlete, ahol a párhuzamos vonalak metszik egymást, Gerard Desargues francia építésztől és Johannes Kepler német csillagásztól függetlenül jelent meg . Desargues még azt is felvetette, hogy létezhet olyan egyenes, amely kizárólag a végtelenben lévő pontokból áll.

A 19. században Jean-Victor Poncelet és Michel Chall írásai révén feléledt a terület iránti érdeklődés . Poncelet az euklideszi projektív teret úgy vezette le, hogy hozzáadott egy végtelenben lévő egyenest, amelyen minden, az adott sík párhuzamos síkja metszi egymást, és bebizonyította a dualitás elvét. Shall folytatta és jelentősen elmélyítette Poncelet munkáját. Később von Staudt egy tisztán szintetikus axiomatizációt hozott létre, amely ezeket a sorokat ötvözi a többivel.

A 19. század végén Felix Klein javasolta a homogén koordináták használatát a projektív geometriában , amelyet korábban Möbius , Plücker és Feuerbach vezetett be .

Terminológia

A projektív geometria alapfogalmai, amelyeket a standard axiomatizálásban nem definiáltak, a pont és az egyenes . A vonalon lévő pontok halmazát sornak , a ponton áthaladó vonalak halmazát kötegnek nevezzük . Az A ceruza BC egyenessel metsző pontjainak halmaza határozza meg az ABC síkot . A kettősség elve kimondja, hogy a projektív geometria bármely konstrukciója n -dimenziós térben igaz marad, ha a ( k )-dimenziós konstrukciókat minden esetben ( n - k -1)-dimenziósra cseréljük . Így a projektív síkban bármely konstrukció igaz marad, ha a pontokat egyenesekkel, a vonalakat pedig pontokkal helyettesítjük.

Ha az X vonal egy sorát olyan x pont ceruzájává alakítjuk , amely nem ebben a sorban van, vagy fordítva, a sorozat minden pontját azonosítja a ceruzából származó egyenessel, amely metszi, és X ⌅ x . Több ilyen transzformáció sorozatát (sorozatból kéve, majd vissza sorozatba és így tovább) projektivitásnak nevezzük . A perspektíva  két projektivitás sorozata (írt X ⌆ X ′). Két egyenes perspektívája az O középponton , két pont perspektívája pedig az o tengelyen megy keresztül . Egy pont invariáns a projektivitás alatt, ha a projektivitás azonos ponttá alakítja át.

A háromszög  három olyan pont, amelyeket páronként egyenesek kötnek össze. A teljes négyszög  négy olyan pont (csúcs) egy síkban, amelyek egyike sem kollineáris , és páronként egyenes vonalak kötik össze. Ezen egyenesek közül két olyan metszéspontját, amely nem csúcs, átlós pontnak nevezzük. A teljes tetraédert hasonlóan definiálják, de vonalak helyett pontok, pontok helyett pedig vonalak. Hasonlóképpen definiálhatunk egy teljes n - szöget és egy teljes n -arcot .

Két háromszög perspektivikus , ha perspektívával összekapcsolhatók, azaz lapjaik kollineáris pontokban metszik egymást (perspektíva egy egyenesen keresztül), vagy csúcsaikat versengő vonalak kötik össze (ponton keresztüli perspektíva).

Alapvető megközelítések

A projektív geometriának három fő megközelítése létezik: a független axiomatizálás , az euklideszi geometria kiegészítése és a mező feletti struktúra.

Axiomatizálás

Egy projektív teret más axiómakészlettel is meghatározhatunk. A Coxeter a következőket nyújtja:

  1. Van egy vonal, és egy pont nincs rajta.
  2. Minden vonalnak legalább három pontja van.
  3. Két ponton keresztül pontosan egy vonal húzható.
  4. Ha , , , és  különböző pontok és és metszik egymást, akkor és metszik.
  5. Ha  egy sík, akkor legalább egy pont nincs a síkban .
  6. Két különböző sík legalább két pontban metszi egymást.
  7. Egy teljes négyszög három átlós pontja nem kollineáris.
  8. Ha az egyenes három pontja invariáns a projektivitás alatt , akkor az egyenes minden pontja invariáns alatta .

A projektív síkot (a harmadik dimenzió nélkül) némileg eltérő axiómák határozzák meg:

  1. Két ponton keresztül pontosan egy vonal húzható.
  2. Bármely két egyenes metszi egymást.
  3. Négy pont van, amelyek közül nincs három egyvonalas.
  4. A teljes négyszögek három átlós pontja nem kollineáris.
  5. Ha az egyenes három pontja invariáns a projektivitás alatt , akkor az egyenes minden pontja invariáns alatta .
  6. Desargues-tétel : Ha két háromszög egy ponton keresztül perspektivikus, akkor egy egyenesen keresztül perspektivikus.

Egy harmadik dimenzió jelenlétében Desargues tétele az ideális pont és egyenes bevezetése nélkül is bebizonyítható.

Az euklideszi geometria kiegészítése

Történelmileg a projektív teret először az euklideszi tér kiegészítéseként határozták meg egy ideális elemmel, egy végtelen síkkal. Ezen a síkon minden pont egy térbeli iránynak felel meg, és az ezen irányvonal összes vonalának metszéspontja.

Struktúra mező felett

- A mező feletti dimenziós projektív teret homogén koordinátarendszerrel határozzuk meg , azaz nem nulla elemvektorok halmazával . A pontot és az egyenest olyan vektorok halmazaként definiáljuk, amelyek egy állandóval való szorzásban különböznek egymástól. Egy pont akkor van egy egyenesen, ha a pontszorzat . Így a vonal ismeretében definiálhatunk egy lineáris egyenletet , amely egy pontsorozatot határoz meg a -n . Ebből az következik, hogy a , és pontok kollineárisak, ha valamelyik egyenesre .

Fontos tételek

Irodalom