Gegenbauer átalakulás

A Gegenbauer-transzformáció a függvény integrált transzformációja : $T\left\{F(t)\right\}$ $F(t)$

T\left\{F(t)\right\}=\int \limits _{{-1}}^{{+1}}(1-t^{2})^{{\rho -1/2 }}C_{n}^{\rho }(t)F(t)dt=f_{n}^{\rho },

\rho >-1/2,~n=0,~1,~2,~\ldots ,

hol vannak a Gegenbauer-polinomok . Ha a függvényt kiterjesztjük egy általánosított Fourier -sorra Gegenbauer-polinomokban, akkor az inverziós képlet érvényes $C_{n}^{\rho }(t)$

F(t)=\sum _{{n=0}}^{{\mathcal {1}}}{{n!(n+\rho )\Gamma ^{2}(\rho )2^{{2\ rho -1}}} \over {\pi \Gamma (n+2\rho )))C_{n}^{\rho }(t)f_{n}^{\rho }(t),~-1 <t<1

A Gegenbauer transzformáció csökkenti a differenciálműködést

R\left[F(t)\right]=(1-t^{2})F^{{\prime \prime }}-(2\rho +1)tF^{{\prime }}

T\left\{R\left[F(t)\right]\right\}=-n(n+2\rho )f_{n}^{\rho }

Nevét Leopold Gegenbauer (1849-1903) osztrák matematikusról kapta.

Irodalom

Ditkin V. A., Prudnikov A. P. , gyűjteményben: A tudomány eredménye. Ser. Matematika. Matematikai elemzés. 1966, M., 1967, p. 7-82.

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul