Laplace-Beltrami operátor

A Laplace-Beltrami operátor (néha Beltrami-Laplace operátornak vagy egyszerűen csak Beltrami operátornak nevezik ) egy másodrendű differenciáloperátor, amely a Riemann-féle sokaság sima (vagy analitikus) függvényeinek terében működik . $M$

Koordinátákban , ahol a Laplace-Beltrami operátor a következőképpen van megadva. Legyen a Riemann-sokaság metrikus tenzorának mátrixa , legyen az inverz mátrix és , akkor a Laplace-Beltrami operátor alakja $x_{1},\ldots ,x_{n},$ $n=\dimM,$ $(g_{{ij}})$ $(g^{{ij}})$ $g=\det(g_{{ij}})$

-\sum _{{i,j}}{\frac {1}{{\sqrt {g}}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggl (}g^ {{ij}}{\sqrt {g}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\biggr )}.\qquad (*)

Példák

Abban az esetben, ha - egy tartomány az euklideszi térben szabványos metrikával - egy identitásmátrix, a Laplace-Beltrami operátor (*) átváltozik (egy előjelig) Laplace operátorrá . $M$ $(g_{{ij}})=(\delta _{{ij}})$

Legyen a metrikus tenzornak is alakja, akkor a (*) képlet felveszi a formát $\dim M=2$ $ds^{2}=E(x,y)\,dx^{2}+2F(x,y)\,dxdy+G(x,y)\,dy^{2},$ ${\frac {\partial }{\partial x)){\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial y))-G{\frac {\partial }{\partial x} }}{{\sqrt {EG-F^{2}}}}}{\biggr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial x}}-E{\frac {\partial }{\partial y}}}{{\sqrt {EG-F^{2}}}}}{\biggr )}.\qquad (**)$

Egy másodrendű parciális differenciálegyenlet, ahol az operátor a (**) képlettel van megadva, akkor megoldható, ha a függvények analitikusak vagy kellően simaak. Ezt a tényt arra használják, hogy bizonyítsák a lokális izometrikus (konformális) koordináták létezését a felületen , azaz annak bizonyítására, hogy minden kétdimenziós Riemann-sokaság lokálisan konforman ekvivalens az euklideszi síkkal. [egy] $Lf=0,$ $L$ $E, F, G$ $M$

Irodalom

Rozenblyum GV, Solomyak MZ, Shubin MA Differenciáloperátorok spektrális elmélete, – Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. irányok, 64, VINITI, M., 1989.
Trev F. Bevezetés az áldifferenciális operátorok és a Fourier integrál operátorok elméletébe, - M., Mir, 1984.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria (módszerek és alkalmazások), - Bármelyik kiadás.

Jegyzetek

↑ Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria (módszerek és alkalmazások), ch. 2. cikk (13) bekezdése.

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák