Octamino

Oktamino  - nyolcsejtű poliominók , azaz lapos figurák, amelyek nyolc egyenlő négyzetből állnak, amelyeket oldalak kapcsolnak össze. Az oktamino figurákkal, mint minden poliominóval, sok probléma merül fel a matematikai szórakoztatásban.

Ha nem számoljuk a forgások és tükörreflexiók során egybeeső különböző alakzatokat, akkor az oktaminónak 369 különböző ("szabad") formája van (lásd az ábrát) [1] . Az "egyoldali" oktaminónak 704 típusa van (ha a tükörreflexiókat különböző figuráknak tekintjük) és 2725 típusú "fix" oktaminót (a fordulatokat is különbözőnek tekintik) [2] .

Az oktamino-figurák osztályozása szimmetriatulajdonságaik szerint

A 369 szabad oktamino figura szimmetriatulajdonságaik szerint 8 kategóriába sorolható:

• 316 oktamino figura (az ábrán szürkével látható) aszimmetrikus;
• 23 oktamino (pirossal ábrázolva) szimmetriatengelye párhuzamos a négyzetrács vonalaival;
• 5 oktamino (zöld színnel) átlós szimmetriatengelyű;
• A 18 oktamino (kék színnel ábrázolva) másodrendű központi (forgási) szimmetriával rendelkezik;
• 1 oktamino (sárgával ábrázolva) negyedrendű központi (forgási) szimmetriával rendelkezik;
• A 4 oktaminónak (lilával ábrázolva) két szimmetriatengelye van a rácsvonalakkal párhuzamosan;
• Az 1 oktaminónak (narancssárga színű) két átlós szimmetriatengelye van.
• Az 1 oktaminónak (kék-zöld színnel) négy szimmetriatengelye van – kettő párhuzamos a rácsvonalakkal, kettő pedig átlós.

Az oktamino a legkisebb poliomino-rend, amelyben mind a nyolc lehetséges szimmetriatípus megvalósul. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező poliominók következő sorrendje a dodekamino (tizenkét sejtes poliominó).

Ha az ábrák tükörképeit eltérőnek tekintjük, akkor az első, negyedik és ötödik kategóriák száma megduplázódik, ami további 335 oktaminót, azaz összesen 704 egyoldalú oktaminót ad.

Ha a forgatásokat is különböző számoknak tekintjük, akkor

• az első kategória figurái nyolc különböző módon tájolhatók;
• számadatok a másodiktól a negyedik kategóriáig - négy;
• számadatok az ötöstől a hétig – kettőig;
• az utolsó kategória egyetlen figurája egyedi módon tájolható.

Ez fix oktaminót ad.

Figurák rajzolása octaminoból

A 369 szabad oktaminó között 6 lyukas figura található ("nem egyszerűen csatlakoztatva"). Ebből következik, hogy egy négyzetterületű téglalap teljes lefedése egy teljes oktamino-készlettel lehetetlen. Azonban néhány téglalapba rakhatók, amelyek területe 2958 négyzet, hat egycellás lyukkal. Mivel a 2958-as szám a 2×3×17×29 prímtényezők szorzata, felvethetjük a 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 és 51×58 téglalapok elkészítésének kérdését.

Egy 51×58-as téglalaphoz létezik szimmetrikus furatok elrendezésű megoldás, az ábrán látható. Van egy halmozott oktamino is három 29x34-es téglalapban, mindegyiknek két lyuk van a közepén. Különböző módon kombinálva 34x87 vagy 29x102-es téglalapot kaphat három pár lyuk szimmetrikus elrendezésével. A 6×493 és 17×174 téglalapok megoldása még nem ismert.

Térbeli oktamino

369 térbeli oktaminóból, amelyeket szabályos "lapos" oktaminó alakúak, egy 8  ×  9  ×  41 méretű téglatestet lehet összeállítani. Az egyik megoldás az egyenes oktamino kivételével az összes oktaminot felhasználja nyolc különálló 1  ×  9  ×  41 réteg összeállításához; a közvetlen oktamino mind a nyolc réteg középpontján áthalad [3] .

Pseudooctamino

A pszeudopoliomino a poliomino általánosítása, egy végtelen sakktábla mezőinek halmaza, amelyet a király megkerülhet [1] . 18 770 szabad (kétoldalas) [4] , 37 196 egyoldalas [5] és 147 941 rögzített [6] pszeudo-oktamino van.

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Octomino  (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
3. ↑ Ed Pegg, Jr. 2001. március 11-én hozzáadott anyag . Patrick Hamlyn lenyűgözően csomagolta a tömör oktominókat egy három színnel! . MathPuzzle.com . Letöltve: 2015. november 20. Az eredetiből archiválva : 2016. január 26.. (határozatlan)
4. ↑ OEIS szekvencia A030222 _
5. ↑ OEIS szekvencia A030233 _
6. ↑ OEIS szekvencia A006770 _

Irodalom

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Per. angolról. V. Firsova. Előszó és szerk. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 p.