Homogén tér

A homogén teret informálisan úgy írhatjuk le, mint egy olyan teret, amelyben minden pont egyforma , vagyis van egy térszimmetria , amely bármely pontot átvisz a másikba. A meghatározás meglehetősen általános, és többféle változata van. A homogén tér olyan klasszikus geometriájú tereket foglal magában , mint az euklideszi tér , a Lobacsevszkij-tér , az affin tér , a projektív tér és mások.

Definíció

A homogén tér egy X halmaz , amely a G csoport megkülönböztetett tranzitív hatásával rendelkezik .

X elemeit a homogén tér pontjainak nevezzük .
G elemeit térszimmetriáknak , magát a G csoportot pedig mozgáscsoportnak vagy egy homogén tér alapcsoportjának nevezzük .
Egy elemet rögzítő alcsoportot stabilizátornak nevezünk . $H_{x}<G$ $x\X-ben$ $x$
Ha egy X halmaz egy további struktúrával, például metrikával , topológiával vagy sima struktúrával van felruházva, akkor általában feltételezzük, hogy G művelete megőrzi ezt a struktúrát. Például egy metrika esetében a műveletet izometrikusnak tekintjük . Hasonlóképpen, ha X egy sima sokaság , akkor a csoport elemei diffeomorfizmusok .

Minden stabilizátor konjugált alcsoport.
A G báziscsoporttal rendelkező homogén teret a H stabilizátor bal oldali kosetjaival azonosíthatjuk . Ebben az esetben G bal oldali művelete önmagára generál egy műveletet a G/H kosettéren .

Metrikus terek

Euklideszi tér izometria csoportos akcióval; ennek a cselekvésnek a stabilizátora az ortogonális transzformációk csoportja. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathrm {O} (n)$
Normál gömb a következő műveletekkel: ${\mathbb {S}}^{n}$
- Ortogonális transzformációk csoportjai ; ennek a hatásnak a stabilizátora izomorf a csoporttal . $\mathrm {O} (n)$ $\mathrm {O} (n-1)$
- Csoportok - speciális ortogonális csoport; ennek a hatásnak a stabilizátora izomorf a csoporttal . ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {SO} (n-1)$
Lobacsevszkij tér a Lorentz-csoport akciójával .
Grassmannian : . $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (nr))$

Egyéb

Affin tér ( affin csoporthoz , a teljes lineáris csoport pontstabilizátora ): . $\mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)$
Topológiai vektorterek (topológiai értelemben).
Antisitter tér : . $\mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)$

A metrikus teret pontonként homogénnek mondjuk, ha az in -pontos részhalmazainak izometrikus leképezése kiterjeszthető izometriára $x$ $n$ $n$ $K\X részhalmaz$ $x$ $x$
Hasonlóan definiálják a véges homogén, megszámlálhatóan homogén, tömören homogén tereket stb.
A kettős hányados tér a csoportnak a jobb és bal oldalon ható alcsoport hányadosa. $G/\!/H$ $G$ $H<G\times G$ $G$
A prehomogén vektorterek egy véges dimenziós V vektortér , amelynek G algebrai csoporthatása van úgy, hogy létezik egy G pálya, amely a Zariski topológiában nyitott (és ezért sűrű). Példa erre az egydimenziós térben működő GL(1) csoport . A prehomogén vektorterek ötletét Mikio Sato javasolta .

L. D. Landau, E. M. Lifshits. Elméleti fizika. 10 kötetben. - M . : "Nauka", 1988. - T. 2. - ISBN 5-02-014420-7 .
Steve Weinberg . Gravitáció és kozmológia (angol) . – John Wiley és fiai, 1972.
John Milnor , James D. Stasheff. Jellegzetesosztályok . - Princeton University Press , 1974. - ISBN 0-691-08122-0 .
Takashi Koda. Bevezetés a homogén terek geometriájába . — Kyungpook Nemzeti Egyetem.
Menelaos Zikidis. Homogén terek . — Heidelbergi Egyetem.
Shoshichi Kobayashi , Katsumi Nomizu . X. fejezet // A differenciálgeometriaalapjai . - Wiley Classics Library, 1969. - Vol. 2.