Hilbert tizenegyedik problémája
Hilbert tizenegyedik problémája egyike David Hilbert 23 problémájának , amelyet az 1900-as párizsi második nemzetközi matematikuskongresszuson mutatott be. Folytatva a másodfokú forma elméletét , Hilbert a következőképpen fogalmazta meg a problémát:
A másodfokú számmezők elméletének ismerete lehetővé teszi, hogy sikeresen tanulmányozzuk a másodfokú alakok elméletét tetszőleges számú változóval és tetszőleges algebrai numerikus együtthatóval. Ez különösen érdekes problémához vezet: meg kell oldani egy adott másodfokú egyenletet algebrai numerikus együtthatókkal, tetszőleges számú változóval, integrál- vagy törtszámmal, amelyek a racionális számok algebrai halmazához kapcsolódnak, és amelyeket az együtthatók határoznak meg.
Eredeti szöveg (angol)[ showelrejt] A másodfokú számmezők elméletének jelenlegi ismereteink olyan helyzetbe hoznak bennünket, hogy sikeresen megtámadjuk a másodfokú alakok elméletét tetszőleges számú változóval és tetszőleges algebrai numerikus együtthatóval. Ez különösen az érdekes problémához vezet: meg kell oldani egy adott másodfokú egyenletet algebrai numerikus együtthatókkal tetszőleges számú változóban az együtthatók által meghatározott algebrai racionalitási területhez tartozó integrál- vagy törtszámokkal.Ahogy Irving Kaplansky amerikai és kanadai matematikus kijelentette : "A 11. probléma egyszerűen ez: osztályozd a másodfokú formákat algebrai számmezőkből." Pontosan ezt tette Hermann Minkowski német matematikus egy törtegyütthatós másodfokú alakzattal. A másodfokú forma (nem másodfokú egyenlet) minden olyan polinom , amelyben minden tagnak vannak olyan változói , amelyek pontosan kétszer fordulnak elő. Egy ilyen egyenlet általános formája: (minden együtthatónak egész számnak kell lennie ).
Egy adott másodfokú alakot természetes számnak tekintjük , ha adott számokat helyettesítő változók helyett ezt a számot adjuk meg. Karl Gauss német matematikus és fizikus és követői felfedezték, hogy ha a változókat bizonyos módon megváltoztatjuk, akkor az új másodfokú alak ugyanazok a természetes számok lesznek, mint az előzőek, de más, érthetőbb formában. Az ekvivalens másodfokú formák elméletét használta az egész számok elméletének eredményeinek bizonyítására. Joseph Lagrange francia csillagász és matematikus például kimutatta, hogy bármely természetes szám kifejezhető négy négyzet összegével. Gauss ezt az ekvivalenciarelációk elméletével bizonyította , megmutatva, hogy a másodfokú képlet minden természetes számra leképez. Mint korábban említettük, Minkowski hasonló elméletet hozott létre és bizonyított a másodfokú formákra, amelyek törteket használtak együtthatóként. Gilbert tizenegyedik problémája hasonló elméletet kínál. Más szóval, ez egy olyan osztályozási módszer, amelyben meg tudjuk határozni, hogy az egyik forma ekvivalens-e a másikkal, de ha az együtthatók algebrai számok . Helmut Hasse német matematikus ezt az elvével igazoltaés az a tény, hogy az elmélet viszonylag egyszerű p-adikus rendszerekre 1920 októberében. Munkáját 1923-ban és 1924-ben adta ki. A lokális-globális elv azt mondja, hogy egy racionális számra vagy akár az összes racionális számra vonatkozó általános eredményt gyakran úgy kaphatjuk meg, ha ellenőrizzük, hogy az eredmény igaz-e az egyes p-adikus számrendszerekre.
Lásd még
| Hilbert problémák | |
|---|---|