Noéteri tér

A Noether-tér ( Emmy Noetherről kapta a nevét ) egy X topológiai tér , amely teljesíti a zárt részhalmazok leszálló láncainak befejeződésének feltételét [1] [2] . Vagyis az X tér zárt részhalmazainak minden sorozatára úgy, hogy: $Y_i$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

van olyan r egész szám $Y_s = Y_r ~ \forall s>r.$

Ez a feltétel megegyezik azzal, hogy minden részhalmaz kompakt legyen . $x$

Egyenértékű definíciók

Egy topológiai teret Noether-nek nevezünk, ha az alábbi ekvivalens állítások egyike teljesül: $x$

$x$ teljesíti a zárt részhalmazok leszálló láncainak befejezési feltételét [1] [2] ;
$x$ kielégíti a nyitott részhalmazok növekvő láncainak megszakításának feltételét [3] ;
-ban található zárt részhalmazok minden nem üres családja, amelyek szerepeltetés szerint vannak rendezve, rendelkezik egy minimális elemmel [1] [3] ; $x$
a -ban lévő nyitott részhalmazok minden nem üres családjához, befogadás szerint rendezve, van egy maximális eleme [3] ; $x$
minden részhalmaz kompakt ( altér topológiával ); $x$
minden nyitott részhalmaz kompakt [1] . $x$

Tulajdonságok

Egy Hausdorff-tér akkor és csak akkor noetheri, ha véges (és egyben diszkrét is ) [3] .
A Noether tér minden altere ismét Noether tér [1] [3] .
Ha egy teret lefedhet véges számú noetheri altér, akkor maga is noetheri [1] . $x$ $x$
Egy Noether-teret az irreducibilis összetevőinek véges számú uniójaként ábrázolhatunk [1] [2] . $x$

Példák

Noether-terek gyakran előfordulnak az algebrai geometriában .

A Zariski topológiájú tér ( affin n-dimenziós tér egy k mező felett ) topológiai Noether tér [2] . A Zariski topológia definíciója szerint, ha: $\mathbb {A} ^ n_k$ $\mathbb {A} ^ n_k$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

zárt halmazok csökkenő sorozata, akkor:

I (Y_1) \subseteq I (Y_2) \subseteq I (Y_3) \subseteq \cdots

az ideálok növekvő sorozata ( a minden pontban eltűnő polinomiális függvények ideálját jelöli ). Mivel egy Noether-gyűrű, van egy olyan egész szám , amely: $k[x_1, \lpontok, x_n]$ $én (Y_i)$ $(Y_i)$ $k[x_1, \lpontok, x_n]$ $m$

I (Y_m) = I (Y_ {m + 1}) = I (Y_ {m + 2}) \cdots.

Tekintettel a radikális ideálok és a zárt (a Zariski topológiában) halmazok közötti egy-egy megfeleltetésre , ez minden i -re érvényes . Ezért: $k[x_1, \lpontok, x_n]$ $\mathbb {A} ^ n_k$ $V(I(Y_i)) = Y_i$ $Y_m = Y_{m +1} = Y_{m + 2} = \cdots$

A Noether-terekre példák a kommutatív gyűrűk spektrumai . Ha egy Noether-gyűrű , akkor a tér (spektrum ) Noether-gyűrű [1] . $R$ $\operátornév{Spec}(R)$ $R$

Lásd még

semmiség

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kuzmin, 1982 .
↑ 1 2 3 4 Hartshorne, 1981 , p. 21.
↑ 1 2 3 4 5 Hartshorne, 1981 , p. 25.

Irodalom

Kuzmin L. V. . Möbius sorozat // Mathematical Encyclopedia. Vol. 3 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szov. enciklopédia , 1982. - 1184 stb. - Stb. 1028.
Hartshorne R. . Algebrai geometria. — M .: Mir , 1981. — 597 p.

Linkek

Drozd, Jurij. Bevezetés az algebrai geometriába (nem elérhető link)