Kép módszer

A képmódszer (tükörkép-módszer) a matematikai fizika egyik módszere , amelyet a Helmholtz -egyenlet , a Poisson-egyenlet , a hullámegyenlet és néhány más határérték-problémák megoldására használnak.

A képmódszer lényege, hogy az adott (külső) források mezejének megtalálásának eredeti problémája határfelületek jelenlétében redukálódik ugyanazon és néhány további (fiktív) forrás mezőjének kiszámítására végtelen környezetben, amelyek az eredeti probléma területének megtalálásának területén kívül helyezkedik el. Ezeket a további forrásokat képforrásoknak nevezzük . Felépítésük szabályai teljesen hasonlóak azokhoz, amelyeket az optikában a pontforrások képeinek tükörrendszerben való megalkotásához használnak (itt a tükrök megismétlik a határfelületek alakját). A képforrások értékeit a peremfeltételek határozzák megfelületeken, valamint a valós forrás- és felületrendszer, valamint a valós források és fiktív források-képek által alkotott mező egységességének követelményei a valós források közelében lévő térben.

A képmódszer segítségével általában olyan problémákat oldanak meg, amelyekben minden adott pontforrás hozzárendelhető azonos típusú pontforrás-képek véges rendszeréhez (esetenként végtelen diszkrét sorozatához). Ezért a képmódszert leginkább az elektrosztatikában alkalmazzák. Valamint a képmódszer kiterjeszthető a határok és peremfeltételek szélesebb osztályára a geometriai optika módszerének keretein belül kellően kis hullámhosszon és néhány, azt finomító rövid hullámhossz közelítésnél. Ebben az esetben a sugarak és a geometriai-optikai képek mintájának megalkotására redukálódik.

1. példa: Ponttöltés és vezető sík

Legyen a ponttöltés a vezető síktól távol . Meg kell határozni azt az erőt, amellyel a sík hat a töltésre. $q$ $a$

Vezessünk be egy egyenlő és ellentétes töltésképet a sík másik oldalán, azonos távolságra. A valódi töltés és a képi töltés közötti vonzás erejét a Coulomb-törvény határozza meg :

F=k{\frac {q^{2}}{4a^{2}}}

2. példa: Ponttöltés két dielektrikum közötti interfész közelében

Legyen egy ponttöltés olyan távolságra , amely két és áteresztőképességű dielektrikum közötti sík határfelülettől van . Meg kell határozni a töltésre ható erőt. $q$ $a$ $\varepszilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$

Vezessünk be egy töltésképet a sík másik oldaláról azonos távolságra. A fénytörés törvényéből meghatározzuk ennek a töltésnek a nagyságát: ${\displaystyle q^{\prime ))$

{\frac {q-|q^{\prime }|}{q+|q^{\prime }|}}={\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}} }

A valódi töltés és a képi töltés közötti vonzás erejét a Coulomb-törvény határozza meg :

F=k{\frac {q\cdot |q^{\prime }|}{(2a)^{2}}}=k{\frac {q^{2}}{4a^{2} }}{\frac {\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}

A tükörképi módszer érvényességét a megfelelő differenciálegyenlet ( elektrostatika esetén Poisson -egyenlet) megoldására vonatkozó egyediségtétel segítségével bizonyítjuk bizonyos peremfeltételek mellett .

Az elektrosztatikában a módszer segítségével könnyen kiszámítható az elektromos tér térbeli eloszlása az elektromos töltések halmaza és egy bizonyos alakú vezető felület között, valamint az elektromos töltések és a dielektromos felületek között. A legegyszerűbb esetben, ha egy elektromos töltés egy vezető sík felett helyezkedik el (1. ábra), a töltés és a felület közötti elektromos tér megegyezik a töltés és az ellentétes töltésű tükörképe közötti térrel. Az ilyen csere érvényessége abból a feltételből következik, hogy az elektromos térerősség-vektor tangenciális komponense hiányzik a vezető felületén, vagy más szóval abból, hogy a térpotenciál bármely ponton azonos. a vezető felület [1] . Innentől az is nyilvánvaló, hogy a töltés és a sík közötti kölcsönhatás ereje egyenlő a tényleges töltés és annak tükörképe közötti kölcsönhatás erejével, és az is, hogy ez a kölcsönhatási erő a vonzóerő.

Hasonlóképpen, a tükörképes módszer lehetővé teszi a vezető vagy dielektromos sík felett elhelyezkedő egyenáramok mágneses terejének kiszámítását.

Ezenkívül a magnetosztatikában a módszer lehetővé teszi a mágneses mező kiszámítását a mágneses dipólusok halmaza (vagy egy külső mágneses tér valamilyen forrása) és az ideális szupravezető felülete közötti térfogatban (lásd a Meissner-effektust ). Itt a szupravezető sík feletti mágneses dipólus legegyszerűbb esetben (2. ábra) a szupravezetőn kívüli árnyékolt szupravezető áramok mezője megegyezik a visszavert dipólus mezőjével. Az érvényesség abból a feltételből következik, hogy a szupravezető felületén nincs a mágneses tér normálkomponense . A mágnes és az ideális szupravezető közötti kölcsönhatás visszataszító. A módszernek van egy általánosítása is – a kimerevített tükörképek módszere , amely erős rögzítésű szupravezetőkre is alkalmazható .

A módszert gyakran használják más mezők, például folyadék- vagy hőáram kiszámítására. [2]

Jegyzetek

↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. 5. kötet: Elektromosság és mágnesesség. Fordítás angolból (3. kötet). — Szerkesztői URSS. — ISBN 5-354-00703-8
↑ Elektrosztatikus analógiák (elérhetetlen link)

Irodalom

Kupalyan SD Az elektrotechnika elméleti alapjai. 3. rész, Elektromágneses tér. - M., 1970.
Bessonov L. A. Az elektrotechnika elméleti alapjai. - M .: "Felsőiskola", 1967.

Linkek

Képalkotó módszer - cikk az Encyclopedia of Physics -ből
(downlink 2017. 02. 10. óta [2072 nap ) Képmódszer az elektrosztatikában]
http://iatephysics.narod.ru/lecture4/lecture4.htm
Oktatóvideó "Tükörkép módszer"