Kepler törvényei

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A Kepler-törvények három empirikus összefüggés, amelyeket Johannes Kepler állapított meg Tycho Brahe hosszú távú csillagászati megfigyelései alapján [1] . Kepler fejtette ki az 1609 [2] és 1619 [3] év között megjelent cikkeiben. Ismertesse a bolygó idealizált heliocentrikus pályáját !

Kepler kapcsolatai lehetővé tették Newtonnak , hogy kifejtse az egyetemes gravitáció törvényét , amely alapvetővé vált a klasszikus mechanikában. Ennek keretein belül a Kepler-törvények megoldást jelentenek a kéttest-problémára a bolygó elhanyagolhatóan kis tömege esetén, vagyis a határátmenetben , ahol , a bolygó, illetve a csillag tömege. $m_{p}/m_{s}\rightarrow 0$ $m_{p}$ $Kisasszony}$

Formulációk

Kepler első törvénye (az ellipszisek törvénye)

A Naprendszer minden bolygója ellipszisben mozog, egyik gócában a Nap .

Az ellipszis alakját és a körhöz való hasonlóságának mértékét az aránnyal jellemezzük , ahol az ellipszis középpontjától a fókuszig mért távolság (gyújtótávolság), a fél- főtengely . A mennyiséget az ellipszis excentricitásának nevezzük . Amikor , és ezért az ellipszis körré változik. $e=\frac{c}{a}$ $c$ ${a}$ $e$ $c=0$ $e=0,$

Kepler második törvénye (a területek törvénye)

Minden bolygó a Nap középpontján áthaladó síkban mozog, és egyenlő ideig a Napot és a bolygót összekötő sugárvektor egyenlő területeket ír le.

Naprendszerünkkel kapcsolatban két fogalom kapcsolódik ehhez a törvényhez: a perihélium - a pálya Naphoz legközelebbi pontja, és az aphelion - a pálya legtávolabbi pontja. Így Kepler második törvényéből az következik, hogy a bolygó egyenetlenül mozog a Nap körül, és nagyobb a lineáris sebessége a perihéliumban, mint az aphelionban.

Minden év január elején a Föld gyorsabban mozog, ahogy áthalad a perihéliumon, így a Nap látszólagos keleti mozgása az ekliptika mentén is gyorsabb az éves átlagnál. Július elején az apheliont áthaladó Föld lassabban mozog, ezért a Nap mozgása az ekliptika mentén lelassul. A területek törvénye azt is jelzi, hogy a bolygók keringési mozgását irányító erő a Nap felé irányul.

Kepler harmadik törvénye (harmonikus törvény)

A bolygók Nap körüli forgási periódusainak négyzetei a bolygók keringési pályáinak fél-főtengelyeinek kockáiként viszonyulnak egymáshoz .

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}$

ahol és a két bolygó Nap körüli forgási periódusai, és és a pályájuk fél-főtengelyeinek hossza. Az állítás a műholdakra is igaz. $T_{1}$ $T_{2}$ $a_{1}$ $a_{2}$

Newton azt találta, hogy egy bizonyos tömegű bolygó gravitációs ereje csak a távolságától függ, és nem az egyéb tulajdonságoktól, például az összetételtől vagy a hőmérséklettől. Azt is megmutatta, hogy Kepler harmadik törvénye nem teljesen pontos – valójában a bolygó tömegét is magában foglalja:

\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

hol van a Nap és és a bolygók tömege. $M$ $m_1$ $m_2$

Mivel a mozgás és a tömeg összefügg, a Kepler-féle harmonikus törvény és a Newton-féle gravitációs törvény kombinációját használják a bolygók és műholdak tömegének meghatározására, ha ismert a pályájuk és keringési periódusuk.

Kepler törvényeinek levezetése a klasszikus mechanika törvényeiből

Kepler első törvényének levezetése

Tekintsük a poláris koordinátákban való mozgást , amelynek középpontja egybeesik a rendszer tömegközéppontjával (körülbelül egybeesik a Nappal). $(r,\théta)$

Legyen a bolygó sugárvektora, jelöljük az irányát jelző egységvektort. Hasonlóképpen bevezetünk egy -re merőleges egységvektort, amely a polárszög növekedésének irányába irányul . Az idő deriváltjait pontokkal jelöljük: $\mathbf {r}$ ${\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta ))))$ $\mathbf {r}$ $\theta$

{\pont {\mathbf {r} }}={\pont {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\pont {\theta }}{\hat {\boldsymbol { \theta }}}

{\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\pont {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+ (r{\dpont {\theta }}+2{\pont {r}}{\pont {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}

Newton egyetemes gravitációs törvénye kimondja, hogy "az univerzumban minden tárgy vonz minden más tárgyat a tárgyak tömegközéppontjait összekötő vonal mentén, amely arányos az egyes objektumok tömegével, és fordítottan arányos a tárgyak közötti távolság négyzetével". Tehát a gyorsulás így néz ki:

\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.

Vagy koordináta formában:

{\begin{cases}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),\\r{\ddot {\theta }}+2{ \pont {r}}{\pont {\theta }}=0;\end{cases}}

A második egyenletbe írjuk és : ${\ddot {\theta ))$ $\pont-r$

r { d \pont\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,

Megszabadulva az időtől és elválasztva a változókat, kapjuk:

\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.

Aminek az integrálása a következőket eredményezi:

\ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+C,

Feltételezve és leegyszerűsítve a logaritmusokat végre megvan $C=\ln \ell$

r^{2}{\pont {\theta }}=\ell

Az állandó jelentése a fajlagos szögimpulzus ( ). Megmutattuk, hogy a központi erők területén ez megmarad. $\ell$ $\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$

Az első egyenlettel való munkához kényelmes a helyettesítés:

r = \frac{1}{u},

És írd át a származékokat, ezzel egyidejűleg megszabadulva az időtől

{\pont {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\pont {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{ \frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}= -\ell {\frac {du}{d\theta )),

{\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {d^{2}u }{dt\,d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{d\theta }}=-\ell {\pont {\theta }}{\frac {d^{2}u}{ d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.

Ekkor felírjuk az irányú mozgás egyenletét : $\hat{\mathbf{r}}$

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).

Newton egyetemes gravitációs törvénye az egységnyi tömegre eső erőt as távolsághoz viszonyítja

f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2

hol van az egyetemes gravitációs állandó és a csillag tömege. $G$ $M$

Ennek eredményeként:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.

Ez a differenciálegyenlet átírható teljes deriváltra:

{\frac {d}{du}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+{ \frac {1}{2}}u^{2}\right)={\frac {d}{du}}\left({\frac {GM}{\ell ^{2}}}u\right)

Megszabadulva amitől kapunk:

\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+u^{2}-{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u=C

És végül:

{\frac {du}{d\theta }}=\pm {\sqrt {C+{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}uu^{2}}}

A változókat felosztva és elemi integrációt végrehajtva az általános megoldást kapjuk:

u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .

az integrációs állandókhoz és a kezdeti feltételektől függően. $e$ $\theta _{0}$

Az 1/ -re cserélve és bemutatva végre a következőket kaptuk: $u$ $r$ $p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}$

p=r\,(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))

Megkaptuk egy paraméteres és excentricitású kúpszelet egyenletét, valamint a koordinátarendszer origóját az egyik fókuszban. Így Kepler első törvénye közvetlenül következik Newton egyetemes gravitációs törvényéből és Newton második törvényéből. $p$ $e$

Kepler második törvényének levezetése

Definíció szerint a tömegű és sebességű ponttest impulzusimpulzusát a következőképpen írjuk fel: $\mathbf{L}$ $m$ $\mathbf{v}$

\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )

hol van a test sugárvektora és lendülete. A sugárvektor által az idő alatt mért terület geometriai megfontolásból egyenlő $\mathbf {r}$ $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $dt$

dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\ frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt={\frac {\ell }{2}}dt

hol van a vektorok és a közötti szög . $\phi$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{v}$

Az első törvény levezetésekor kimutatták, hogy . Ugyanezt megkaphatjuk a szögimpulzus egyszerű differenciálásával: $\ell =const$

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac {d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0

Az utolsó átmenetet a kollineáris vektorok vektorszorzatának nullával való egyenlősége magyarázza. Valójában az erő itt mindig a sugárvektor mentén, míg az impulzus definíció szerint a sebesség mentén irányul.

Megértettük, hogy nem az időtől függ. Ez azt jelenti , hogy állandó, ezért a vele arányos terület söprésének sebessége állandó. $\mathbf L$ $|\mathbf{L}|$ $\frac{dS}{dt}$

Kepler harmadik törvényének levezetése

Kepler második törvénye kimondja, hogy a keringő test sugárvektora egyenlő időközönként egyenlő területeket söpör ki. Ha most nagyon kis időszakokat veszünk fel abban a pillanatban, amikor a bolygó a ( perihélium ) és ( aphelion ) pontokban van, akkor a területet a bolygó és a Nap távolságával megegyező magasságú háromszögekkel közelíthetjük. bázis egyenlő a bolygó sebességének és idejének szorzatával. $P$ $A$

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepszilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{mátrix}{\frac {1}{2}}\end{mátrix}}\cdot (1+\varepszilon )a\cdot V_{B}\,dt

(1-\varepszilon )\cdot V_{A}=(1+\varepszilon )\cdot V_{B}

V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}

Az energiamegmaradás törvényét felhasználva a bolygó teljes energiájára a és pontokban írjuk $A$ $B$

\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepszilon)a }

\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepszilon)a }

{\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{( 1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepszilon )))\jobbra)

\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepszilon-1+\varepszilon}{(1-\varepszilon)(1+\varepszilon)} \jobbra )

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac { 2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))\right)

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepszilon )^{2}-(1-\varepszilon )^{2}}{(1-\varepszilon )^{2} }}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1- \varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+ \varepsilon)}}

V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepszilon )}{a\cdot (1+\varepszilon )}}}.

Most, hogy megtaláltuk , megtaláljuk a szektor sebességét. Mivel állandó, az ellipszis bármelyik pontját kiválaszthatjuk: például a B pontra kapjuk $V_B$

\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1} {2}\end{mátrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B

={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{mátrix}}\cdot (1+\varepszilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1- \varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{mátrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot ( 1-\varepszilon )(1+\varepszilon )}}

Az ellipszis teljes területe azonban (ami egyenlő a mert ). A teljes forradalom ideje tehát $\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ $\pi ab$ $b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$

T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2}})))a

T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{mátrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepszilon )(1+\varepszilon )} }=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}

T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2 \pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}

T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.

Vegye figyelembe, hogy ha a tömeg nem elhanyagolható a -hoz képest , akkor a bolygó ugyanolyan sebességgel és ugyanazon a pályán kering a Nap körül, mint egy anyagi pont, amely a tömeg körül kering (lásd csökkentett tömeg ). Ebben az esetben az utolsó képletben szereplő tömeget a következőre kell cserélni : $m$ $M$ $M+m$ $M$ $M+m$

T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.

Alternatív számítás Tekintsük a bolygót olyan tömegpontnak , amely elliptikus pályán két pozícióban forog:

m

perihélium sugárvektorral , sebesség ; $r_{1}=ac$ $V_{1}$
aphelion sugárvektorral , sebességgel . $r_{2}=c+a$ $V_{2}$

Írjuk fel a szögimpulzus megmaradásának törvényét

{\displaystyle mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2))

és az energia megmaradás törvénye

{\displaystyle {\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2 ))-{\frac {GmM}{r_{2)))

ahol M a Nap tömege.

A rendszer megoldásával könnyen megkaphatjuk a bolygó sebességének arányát a „perihélium” pontban:

V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}

Kifejezzük a szektorsebességet (ami Kepler második törvénye szerint állandó érték):

V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{ 2})}}}}

Számítsuk ki az ellipszis területét, amely mentén a bolygó mozog. Az egyik oldalon:

S_{ellipse}=\pi ab

ahol a fő féltengely hossza, a pálya kisebb féltengelyének hossza. $a$ $b$

Másrészt kihasználva azt a tényt, hogy egy szektor területének kiszámításához megszorozhatja a szektor sebességét a forgási periódussal:

S_{ellipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1)){2(r_{1}+r_{2)))) ) }

Következésképpen,

T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})))}=\pi ab

A további átalakításokhoz az ellipszis geometriai tulajdonságait használjuk. Vannak kapcsolataink

c^{2}=a^{2}-b^{2}

r_{1}+r_{2}=2a

{\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2))

Helyettesítse be a képletben az ellipszis területét:

T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab

Ahonnan végül eljutottunk:

{\frac {T}{a^{3/2}}}=const

vagy hagyományos módon

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.

Jegyzetek

↑ Holton, Gerald James. Fizika, az emberi kaland: Kopernikusztól Einsteinig és túl / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. – 3. papírkötés. - Piscataway, NJ: Rutgers University Press, 2001. - P. 40-41. - ISBN 978-0-8135-2908-0 . Archiválva : 2021. december 12. a Wayback Machine -nél
↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus GV Tychnonis. Prága 1609.
↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [A világ harmóniája] (Linz, (Ausztria): Johann Planck, 1619), 5. könyv, 3. fejezet, p. 189.

Lásd még

Irodalom

Kepler törvényei //Egy fiatal csillagász enciklopédikus szótára / összeáll. N. P. Erpylev . - 2. kiadás - M . : Pedagógia, 1986. - S. 121 -122. — 336 p.
Smorodinsky Ya. A. A bolygók ellipszisben mozognak // Kvant . - 1979. - 12. sz . - S. 13-19 .
Trefil, J. Kepler törvényei : [ arch. 2016. március 28. ] // Elemek. - A könyvből. Trefil J. A tudomány természete. Az univerzum 200 törvénye. (Geleos, 2007.) = A tudomány természete. (2003) = James Trefil. Cassel természettörvényei: Az univerzumunk működését szabályozó törvények és alapelvek A–Z. (2002).

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán nagy kínai Nagy norvég Nagy orosz a világ körül Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 12445155q GND : 4365820-9 J9U : 987007537148305171 LCCN : sh94003544 SUDOC : 033600619

Égi mechanika

Törvények és feladatok	Newton törvényei A gravitáció törvénye Kepler törvényei Két test probléma Három test probléma Gravitációs N-test probléma Bertrand problémája Kepler-egyenlet
Éggömb	Égi koordináta-rendszer galaktikus vízszintes egyenlítői ekliptika Nemzetközi égi koordináta-rendszer Gömbös koordinátarendszer világtengely Égi egyenlítő jobb felemelkedés deklináció Ekliptika Napéjegyenlőség Napforduló alapsík
Pályaparaméterek _	A pálya Kepleri elemei különcség fél-nagy tengely anomáliát jelent növekvő csomóponti hosszúság periapszis érv Apocenter és periapsis Keringési sebesség Keringési csomópont Korszak
Az égitestek mozgása	A Nap és a bolygók mozgása az égi szférában Ephemeris Bolygó konfigurációk szembesítés összetett kvadratúra megnyúlás bolygók felvonulása Fogyatkozás Napfogyatkozás holdfogyatkozás saros Metonikus ciklus Bevonat Végigjátszás csúcspontja sziderikus időszak zsinati időszak Forgatási időszak orbitális rezonancia Equinox Prelude Közeledés libráció A gravitáció hatóköre Kozai hatás Yarkovsky-effektus Dzsanibekov hatás

Asztrodinamika

Űrrepülés	térsebesség első (kör alakú) második (parabola) harmadik negyedik Ciolkovszkij képlete Gravitációs manőver Hohmann pálya Az elemek oszkulációjának módszere Árapálygyorsulás Orbitális dőlésváltozás Bolygóközi közlekedési hálózat Dokkolás Lagrange pontok Úttörő hatás
SC kering	geostacionárius pálya Heliocentrikus pálya geoszinkron pálya geocentrikus pálya geotranszfer pálya Alacsony földpálya sarki pálya "Tundra" pálya Napszinkron pálya Keringő "villám" Oszkuláló pálya

A csillagászat története
ókori időszak	Babilon Az ókori Egyiptom Ősi Kína India Az inkák maja aztékok ausztrál őslakosok Ókori Görögország
Középkorú	India Iszlám Kelet Középkori Európa Kozmológia a judaizmusban
Az elméleti csillagászat kialakulása	A világ heliocentrikus rendszere Kepler törvényei
17. század	A gravitáció törvénye
18. század	Edmund Halley William Herschel
19. század	A Neptunusz felfedezése
20. század	Hubble teleszkóp

Johannes Kepler
Tudományos eredmények	Kepler hipotézise Kepler törvényei A pálya Kepleri elemei Kepler háromszög Kepler-egyenlet Kepler-Poinsot test Kepler szupernóva
Publikációk	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617–21) Harmonices Mundi (1619) Rudolfin asztalok (1627) somnium (1634)
Egy család	Katharina Kepler (anya) Jacob Barch (veje)