Átmérő

Átmérő ( fr. diamètre lat. diametrus más görög διάμετρος - átmérő [1] ) - egy szakasz, amely összeköti a két pontot a körön, és átmegy a kör közepén, valamint ennek a szakasznak a hossza . Az átmérő két sugárral egyenlő .

Általában az ábra (halmaz) átmérője az ábra (halmaz) pontjai közötti maximális távolság, vagy az összes lehetséges távolság pontos felső határa, ha a maximum nem létezik.

Geometriai formák átmérője

Az átmérő egy húr ( két pontot összekötő vonalszakasz ) egy körön ( gömbön , gömbfelületen ), amely ennek a körnek (gömbnek) a középpontján halad át . Az átmérőt a szegmens hosszának is nevezik. A kör átmérője a középpontján áthaladó húr ; egy ilyen akkordnak van a legnagyobb hossza. A legnagyobb átmérő két sugárral egyenlő .

Átmérő szimbólum

A műszaki grafikában és a műszaki leírásokban az átmérőt általában a [2] jellel jelölik . Az átmérő szimbólum Unicode -ban van ábrázolva ( U+ 2300 ⌀ átmérőjele ) [3] , és bár nem található meg a szabványos billentyűzetkiosztásokban , beírható a billentyűzetről:

HTML -ben , mint a ⌀vagy⌀
a LaTeX\diameter -ben a wasysym csomagból származó parancs a megjelenítésére szolgál
a Microsoft Wordben a karakterek a + gomb beírásával 2300és lenyomásával érhetők elAltX
Windows alatt az Alt-code Alt + használatával 8960(angol elrendezésben)
az X Window System rendszert használó rendszereken ( Unix / Linux / ChromeOS stb.), a Ctrl+ ⇧ Shift+ kombináció u 2300Пробелhasználatával vagy a Compose billentyűvel a Composedi[4] billentyű megnyomásával .

Ezenkívül a szimbólum megtalálható és másolható olyan alkalmazásokban és eszközökben, mint például a „karaktertáblázat”, például:

Windowsban – Karaktertábla
a Microsoft Office csomag programjaiban - a "Beszúrás" → "Szimbólum ..." menü
macOS rendszeren – Karakterpaletta/Viewer (úgynevezett ⌥ Opt+ ⌘ Cmd+ T)
a GNOME -ban a GNOME karaktertérkép (korábban gucharmap).

Sok esetben előfordulhat, hogy az átmérő szimbólum nem jelenik meg, mivel ritkán szerepel a betűtípusokban (van például az Arial Unicode MS -ben (a Microsoft Office-szal szállítjuk, telepítve "Universal Font"-nak hívják), a DejaVu -ban ( ingyenes ) , Code2000 ( feltételesen ingyenes ) és néhány másik), ezért gyakran más, hasonló stílusú karaktereket használnak helyette. Például az AutoCAD CAD programban az átmérő szimbólum helyett az üres halmaz szimbólumot ( U+ 2205 ∅ üres halmaz ) használják, kombinációval (betű - latin) vagy szövegsorban beírva. E karakterek felcserélhetőségét a W3C konzorcium szabványai is tükrözik [5] . Ezenkívül a dán-norvég ábécé Ø betűjét gyakran használják helyettesítőként . %%cc\U+2205

Egy ellipszis és egy hiperbola konjugált átmérője

Ellipszis konjugált átmérői

Az ellipszis átmérője egy tetszőleges húr, amely áthalad a középpontján. Az ellipszis konjugált átmérői egy olyan átmérőpár, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik: az első átmérővel párhuzamos húrok felezőpontjai a második átmérőn helyezkednek el. Ebben az esetben a második átmérővel párhuzamos húrok felezőpontjai is az első átmérőn fekszenek.

Az ábrán egy pár konjugált átmérő látható (piros és kék). Ha az átmérő és az ellipszis metszéspontjainál húzunk egy egyenest a konjugált átmérőjével párhuzamosan, akkor az egyenes érinti az ellipszist, és négy ilyen érintő az ellipszis konjugált átmérőpárjának mind a négy végéhez. az ellipszis közelében leírt paralelogrammát alkotnak (az ábrán zöld vonalak).

Az egyes fókuszpontoktól az ellipszis egy adott pontjáig mért távolságát fókuszsugárnak nevezzük . $r_{1}$ $r_{2}$
Az ellipszis sugarát egy adott pontban (a középpontjától egy adott pontig terjedő távolságot) a képlet számítja ki , ahol egy adott pont sugárvektora és az abszcissza tengelye közötti szög . $r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi ))}={\frac {b}{ \sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$ $\varphi$

Hiperbola konjugált átmérői

A hiperbola átmérője, mint bármely kúpszeletének, egy egyenes, amely párhuzamos húrok felezőpontjain halad át. A párhuzamos húrok minden irányának megvan a maga konjugált átmérője. A hiperbola minden átmérője áthalad a középpontján. A képzeletbeli tengellyel párhuzamos húroknak megfelelő átmérő a valós tengely; a valós tengellyel párhuzamos húroknak megfelelő átmérő a képzeletbeli tengely.
A párhuzamos húrok meredeksége és a megfelelő átmérő meredeksége összefügg az összefüggéssel $k$ $k_{1}$

k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}

Ha az a hiperbola átmérő felezi a b átmérővel párhuzamos húrokat , akkor a b átmérő felezi az a átmérővel párhuzamos húrokat . Az ilyen átmérőket kölcsönösen konjugáltnak nevezzük .
A hiperbolák fő átmérői egymással konjugált és egymásra merőleges átmérők. A hiperbolának csak egy fő átmérőpárja van, a valós és a képzeletbeli tengely.
A derékszöget bezáró aszimptotákkal rendelkező hiperbolák esetében a konjugált hiperboláit úgy kapjuk meg, hogy tükrözzük az egyik aszimptotához képest. Egy ilyen tükörképnél az átmérője bemegy a konjugált átmérőjébe , amely egyszerűen a konjugált hiperbola átmérője lesz (lásd az ábrát). Is. ahogy a konjugált átmérők merőlegessége egy körön (a bal oldali ábrán), hasonló ortogonalitás figyelhető meg egy egymásra merőleges aszimptotákkal rendelkező hiperbola konjugált átmérőjénél is (a jobb oldali ábrán).

Változatok és általánosítások

Az átmérő fogalma természetes általánosításokat tesz lehetővé néhány más geometriai és matematikai objektumra vonatkozóan. Ha a tér metrikája bizonyos objektumok halmazában definiálva van , akkor ezen objektumok egy részhalmazára bevezethető a halmaz átmérőjének fogalma.

A metrikus térben fekvő halmaz átmérője a mennyiség . $M$ $\rho$ $(\sup_{x,y \in M}\rho(x, y))$

A metrikus tér átmérője bármely pontpár közötti távolság legkisebb felső korlátja.

Különösen:
- A kúpszelet átmérője két párhuzamos húr felezőpontján áthaladó egyenes.
- A gráf átmérője a csúcspárjai közötti távolság maximuma. A csúcsok közötti távolság a legkisebb számú él, amelyet át kell adni, hogy az egyik csúcsból a másikba jussunk. Más szavakkal, ez az élek számában mért távolság két gráfcsúcs között, amelyek egymástól a lehető legtávolabb vannak.
- A maximális Hamming-távolság két azonos hosszúságú szó között, azaz a Hamming-metrika szavak halmazának átmérője . $n$ $n$ $n$
- Egy geometriai alakzat átmérője az ábra pontjai közötti maximális távolság.

Például egy n - dimenziós hiperkocka átmérője s oldallal

d = s\cdot \sqrt{n}

Néhány kör egy szakaszon háromszögben szerkesztett, mint átmérőben

A Furman kör egy szegmensre épül, mint az átmérőre
Brocard köre egy szegmensre épül, mint egy átmérőre

Lásd még

Sugár
Pi
Amikor az ábrákat kisebb átmérőjű részekre osztottuk, felmerült a Borsuk hipotézis , amelyet 1993-ban cáfoltak meg.
izodiametriás egyenlőtlenség
Csillagászati objektumok szögátmérője .
Keringési átmérő
Hidraulikus átmérő

Jegyzetek

↑ átmérő // Az orosz nyelv etimológiai szótára = Russisches etymologisches Wörterbuch : 4 kötetben / szerk. M. Vasmer ; per. vele. és további Levelező tag Szovjetunió Tudományos Akadémia O. N. Trubacsov , szerk. és előszóval. prof. B. A. Larina [köt. ÉN]. - Szerk. 2., sr. - M . : Haladás , 1986-1987.
↑ Bolshakov V.P., Tozik V.T., Chagina A.V. Mérnöki és számítógépes grafika . - Szentpétervár. : BHV-Pétervár, 2013. - 288 p. - ISBN 978-5-9775-0422-5 . - S. 90.
↑ Az Unicode szabvány 13.0-s verziója . Egyéb műszaki, Tartomány: 2300–23FF (angol) (PDF) . Unicode Inc (2020) . Letöltve: 2020. szeptember 6. Az eredetiből archiválva : 2019. december 30.
↑ Monniaux, David UTF-8 (Unicode) írási szekvencia . — A Compose gombbal beírt karakterek konfigurációs fájlja. Letöltve: 2020. szeptember 6. Az eredetiből archiválva : 2020. augusztus 3.
↑ SZIMBÓLUM Karakterek és karakterjelek . Letöltve: 2020. szeptember 6. Az eredetiből archiválva : 2020. augusztus 6.. (határozatlan)

Irodalom

Átmérő // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Brockhaus és Efron Kis Brockhaus és Efron V. Dahl Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4273067-3 J9U : 987007535068005171 LCCN : sh2003001062