Hurwitz zéta függvény

A matematikában az Adolf Hurwitzról elnevezett Hurwitz-zéta-függvény egyike a számos zéta-függvénynek , amelyek a Riemann-zéta-függvény általánosításai . Formálisan hatványsorként definiálható összetett argumentumokhoz s , Re( s ) > 1 és q , Re( q ) > 0 esetén:

\zeta (s,q)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{{s}}}}.

Ez a sorozat abszolút konvergens adott s és q értékekre . A Riemann-zéta-függvény a Hurwitz-zéta-függvény speciális esete q = 1-re.

Analitikus folytatás

A Hurwitz-zéta-függvény analitikus folytatását engedi meg egy meromorf függvénynek , amely minden s komplexre definiált s ≠ 1 esetén. Az s = 1 pontban van egy egyszerű pólusa , melynek maradéka 1. A Laurent-sor kiterjesztésének állandó tagja az s = 1 pont közelében :

\lim _{{s\to 1}}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)} {\Gamma (q)}}=-\psi (q)

ahol Γ( x ) a gammafüggvény és ψ( x ) a digammafüggvény .

Sorábrázolások

1930 -ban Helmut Hasse kapott egy konvergens hatványsort q > −1 és egy tetszőleges komplex s ≠ 1 esetén [1].

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _ {{k=0}}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{{1-s}}.

Ez a sorozat egyenletesen konvergál a komplex s -sík bármely kompakt részhalmazán egy teljes függvényhez . A belső összeg az n- edik véges különbségként ábrázolható , azaz : $q^{{1-s}}$

\Delta ^{n}q^{{1-s}}=\sum _{{k=0}}^{n}(-1)^{{nk}}{n \choose k}(q+k )^{{1-s}}

ahol Δ a véges különbség operátora . Ily módon

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n +1}}\Delta ^{n}q^{{1-s}}

={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{{1-s}}.

Integrális reprezentációk

A Hurwitz-zéta függvénynek van egy integrált ábrázolása a Mellin-transzformáció formájában :

\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{{s-1}}e^{{ -qt}}}{1-e^{{-t}}}}dt

Re( s )>1 és Re( q ) >0 esetén.

Hurwitz formula

\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{{-i\pi s/2}}\beta (x;s)+e^{{i\ pi s/2}}\beta (1-x;s)\right]

ahol

\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n )^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{{2 \pi ix}})

A Hurwitz zéta függvénynek ez a reprezentációja 0 ≤ x ≤ 1 és s >1 esetén érvényes. Itt van a polilogaritmus . ${\text{Li}}_{s}(z)$

Funkcionális egyenlet

Ez a funkcionális egyenlet a Hurwitz zéta függvény értékeit a komplex s -síkban lévő Re( s )=1/2 egyenestől balra és jobbra viszonyítja. Természetes m és n esetén úgy, hogy m ≤ n:

\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _ {{k=1}}^{n}\left[cos\left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\ zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]

s minden értékére igaz .

Taylor sorozat

A Hurwitz-zéta-függvény deriváltja a második argumentumhoz képest szintén a Hurwitz-zéta-függvényben van kifejezve:

{\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).

Tehát a Taylor sorozat :

\zeta (s,x+y)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!)}}{\frac {\partial ^{k } }{\partial x^{k))}\zeta (s,x)=\sum _{{k=0))^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y ) ^{k}\zeta (s+k,x).

Laurent sorozat

Hurwitz-zéta-függvény Laurent -kiterjesztése használható Stieltjes-konstansok amelyek a bővítésben jelennek meg:

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{ n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.

Fourier transzformáció

A diszkrét Fourier-transzformáció a Hurwitz-zéta-függvény s változójához képest a Legendre chi-függvény [2].

Kapcsolat Bernoulli polinomokkal

A fent definiált függvény általánosítja a Bernoulli-polinomokat : $\beta (x;n)$

B_{n}(x)=-Re\left[(-i)^{n}\beta (x;n)\jobbra]

Másrészről,

\zeta (-n,x)=-{B_{{n+1}}(x) \n+1} felett.

Különösen, ha : $n=0$

\zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.

Kapcsolat a Jacobi théta függvénnyel

Ha a Jacobi théta függvény , akkor $\vartheta (z,\tau )$

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{ {-(1-s)/2}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s) ,1-z)\jobbra]

Ez a képlet igaz Re( s ) > 0-ra és minden olyan komplex z -re, amely nem egész szám. Egy z = n egész szám esetén a képlet leegyszerűsödik:

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{{-(1-s)/2}}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{{- s/2}}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)

ahol ζ( s ) a Riemann-zéta-függvény. Az utolsó kifejezés a Riemann zéta függvény funkcionális egyenlete.

Csatlakozás a Dirichlet L -függvénnyel

Az argumentum racionális értékeihez a Hurwitz zéta függvény Dirichlet L-függvények lineáris kombinációjaként ábrázolható, és fordítva. Ha q = n / k , ha k > 2, ( n , k ) > 1 és 0 < n < k , akkor

\zeta (s,n/k)=\sum _{\chi }\overline {\chi }(n)L(s,\chi ),

az összegzés az összes Dirichlet-karakteren végrehajtódik modulo k . És vissza

L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{{n=1}}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s, {\frac {n}{k}}\jobbra).

különösen a következő ábrázolás igaz:

k^{s}\zeta (s)=\sum _{{n=1}}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),

általánosító

\sum _{{p=0}}^{{q-1}}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).

(Igaz a természetes q -ra és a nem természetes 1 − qa -ra .)

Érvek racionális értékei

A Hurwitz zéta függvény különböző érdekes összefüggésekben fordul elő az argumentumok racionális értékéhez. [2] Különösen az Euler-polinomok esetében : $E_{n}(x)$

E_{{2n-1}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{{2n))))\sum _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

és

E_{{2n}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{ {2n+1}}}}\sum _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

kívül

\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{{s-1}}\sum _{{k=1}}^{q}\ bal[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{ s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]

helyes a . Itt és a Legendre chi-függvényben fejezik ki, mint $1\leq p\leq q$ $C_{\nu }(x)$ $S_{\nu }(x)$ $\chi _{\nu }$

C_{\nu }(x)=\operátornév {Re}\,\chi _{\nu }(e^{{ix)))

és

S_{\nu }(x)=\operátornév {Im}\,\chi _{\nu }(e^{{ix}}).

Alkalmazások

A Hurwitz zéta függvény a matematika különböző ágaiban megjelenik. Leggyakrabban a számelméletben található meg , ahol elmélete a legfejlettebb. A Hurwitz-zéta-függvény megtalálható a fraktálok és a dinamikus rendszerek elméletében is . A Hurwitz zéta függvény a matematikai statisztikában használatos, a Zipf-törvényben merül fel . Az elemi részecskefizikában a Schwinger -képletben [3] fordul elő , amely pontos eredményt ad a pártermelési indexre a Dirac-egyenletben stacionárius elektromágneses térre .

Speciális esetek és általánosítások

A Hurwitz zéta függvény a poligamma függvényhez kapcsolódik :

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z).

A Lerch-zéta-függvény általánosítja a Hurwitz-zéta-függvényt:

\Phi (z,s,q)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}

vagyis

\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).

Jegyzetek

↑ Helmut Hasse. Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (német) // Mathematische Zeitschrift. - 1930. - Bd. 32 , sz. 1 . - doi : 10.1007/BF01194645 .
↑ 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. A Legendre chi és a Hurwitz zeta függvények értékei racionális érvek mellett // Math . Összeg.. - 1999. - Nem. 68 . — P. 1623-1630 .
↑ J. Schwinger. A mérőeszköz invarianciájáról és a vákuumpolarizációról // Fizikai áttekintés. - 1951. - T. 82 , 5. sz . – S. 664–679 . - doi : 10.1103/PhysRev.82.664 .

Irodalom

Milton Abramowitz és Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 .
Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments , Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), 201-206.
Linas Vepstas, a Bernoulli operátor, a Gauss-Kuzmin-Wirsing operátor és a Riemann Zeta
Mezo István és Ayhan Dil, Hurwitz zéta függvényt tartalmazó hiperharmonikus sorozat (hivatkozás nem érhető el) , Journal of Number Theory, (2010) 130 , 2, 360-369.

Linkek

Jonathan Sondow és Eric W. Weisstein. Hurwitz Zeta Function (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .