Háromszög csoport

A matematikában a háromszög csoportja egy  olyan csoport , amely geometriailag ábrázolható a háromszög oldalaira vonatkozó egymást követő tükröződésekkel . A háromszög lehet egy közönséges euklideszi háromszög, egy gömb háromszöge vagy egy hiperbolikus háromszög . Bármely háromszögcsoport a kétdimenziós térben , egy gömbön vagy a Lobacsevszkij-síkon lévő egybevágó háromszögekből álló parkett szimmetriacsoportja (lásd még a hiperbolikus síkról szóló cikket ).

Definíció

Legyenek l , m , n 2-nél nagyobb vagy egyenlő  egész számok . A Δ( l , m , n ) háromszögcsoport az euklideszi tér, egy kétdimenziós gömb, egy valós projektív sík vagy egy hiperbolikus sík mozgáscsoportja. egy π/ l , π/ m és π/ n szögű háromszög oldalairól való visszaverődések generálják ( radiánban mérve ). A két szomszédos oldalra való visszaverődés szorzata az oldalak közötti szög kétszeresének megfelelő szöggel való elfordulás, 2π/ l , 2π/ m és 2π/ n . Így, ha a visszaverődéseket a , b és c betűkkel , valamint az oldalak közötti szögeket ciklikus sorrendben jelöljük, ahogy fentebb jeleztük, akkor a következő összefüggések állnak fenn:

Van egy tétel, amely szerint minden a, b, c közötti összefüggés ezeknek az összefüggéseknek a következménye, és hogy Δ( l, m, n ) a megfelelő tér diszkrét mozgáscsoportja. Ez a háromszögcsoport egy tükrözési csoport , amely megadható

Az absztrakt csoport ezzel a feladattal egy Coxeter csoport három generátorral.

Osztályozás

Tetszőleges l , m , n > 1 természetes szám esetén pontosan az egyik klasszikus kétdimenziós geometria (euklideszi, gömb vagy hiperbolikus) enged egy háromszöget szögekkel (π/l, π/m, π/n), és a tér ennek a háromszögnek a visszaverődései . A háromszög szögeinek összege határozza meg a geometria típusát a Gauss-Bonnet képlet szerint : egy tér euklideszi, ha a szögek összege pontosan egyenlő π-vel, gömb alakú, ha meghaladja a π-t, és hiperbolikus, ha szigorúan kisebb, mint π . Ezenkívül bármely két adott szögű háromszög egybevágó. Minden háromszögcsoport meghatároz egy burkolatot, amely általában 2 színű, így bármely két szomszédos csempe különböző színű.

Az l , m , n > 1 számok tekintetében a következő lehetőségek léteznek.

Euklideszi sík

A háromszögcsoport az euklideszi sík valamelyik parkettájának (vagy burkolásának) végtelen szimmetriacsoportja olyan háromszögekkel, amelyek szögei összeadva π-t (vagy 180°-ot). Permutációkig az ( l , m , n ) hármas a (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3) hármasok egyike. A megfelelő háromszögcsoportok a tapéta minták csoportjának képviselői .

(2,3,6) (2,4,4) (3,3,3)
Hasított hatszögletű parketta négyzet alakú parketta "Tetrakis" Háromszögletű parketta
Részletesebb diagramok címkézett csúcsokkal. Megmutatja, hogyan működnek a tükröződések.

Gömb

A háromszögcsoport a parketta véges szimmetriacsoportja a gömbháromszögek egységgömbjén vagy Möbius-háromszögeken , amelyek szögeinek összege π-nél nagyobb számot ad. Egy permutációig az ( l , m , n ) hármasok alakja (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) vagy (2,2, n ), n > 1. A háromszögek gömbi csoportjai összehasonlíthatók a szabályos poliéderek szimmetriacsoportjaival háromdimenziós euklideszi térben: Δ(2,3,3) tetraédernek , Δ(2,3,4) mindkét kockának felel meg. és egy oktaéder (azonos szimmetriacsoportjuk van), Δ(2,3,5) megfelel mind a dodekaédernek , mind az ikozaédernek . A diéderszimmetria Δ(2,2, n ), n > 1 csoportjait úgy tekinthetjük, mint a diéderek családjának szimmetriacsoportjait , amelyeket két azonos , egymáshoz kapcsolódó szabályos n -szög alkot , vagy duálisan egy oszoéder , amely n digon uniójából jön létre .

Szabályos poliédernek megfelelő gömb alakú parkettát a poliéder baricentrikus felosztásával és a kapott pontok és vonalak körülírt gömbre vetítésével kapunk. A tetraédernek négy lapja van, és mindegyik lap egy egyenlő oldalú háromszög, amelyet a középpontban metsző mediánok 6 kisebb részre osztanak. Az így kapott burkolólap 4×6=24 gömbháromszögből áll (ez egy gömb alakú tetrakisexaéder ).

Ezek a csoportok végesek, ami megfelel a gömb tömörségének - a gömbön lévő korongok területei sugár szerint nőnek, de végül lefedik a teljes gömböt.

A háromszög alakú tesszellációk az alábbiak:

(2,2,2) (2,2,3) (2,2,4) (2,2,5) (2,2,6) (2,2,n)
(2,3,3) (2,3,4) (2,3,5)

Az oktaédernek és ikozaédernek megfelelő gömbparketták, valamint a páros n - es diéderes gömbburkolatok központilag szimmetrikusak . Ezért ezek a tömítések mindegyike a valódi projektív sík parkettáját, egy elliptikus parkettát határoz meg . Szimmetriacsoportjuk a háromszögek középső szimmetriájú gömbcsoportjának hányadoscsoportja ( -I ), amely a 2-es rend középpontja. Mivel a projektív sík az elliptikus geometria modellje, az ilyen csoportokat elliptikus háromszögcsoportoknak nevezzük [1 ] .

Hiperbolikus sík

A háromszögcsoport a parketta végtelen szimmetriacsoportja a hiperbolikus háromszögek hiperbolikus síkján, amelyek szögeinek összege kisebb, mint π. A fent felsorolt ​​összes hármas parketta a hiperbolikus síkon. Például a (2,3,7) hármas megadja a (2,3,7) háromszögcsoportot . Végtelenül sok ilyen csoport van. Az alábbiakban néhány apró értékkel társított parkettát mutatunk be.

Alapterületi háromszögek Poincaré-modellje
Példák derékszögű háromszögekre (2 pq)

(2 3 7)
(2 3 8)
(2 3 9)
(2 3∞)

(2 4 5)
(2 4 6)
(2 4 7)
(2 4 8)
(2 4∞)

(2 5 5)
(2 5 6)
(2 5 7)
(2 6 6)
(2∞∞)
Általános háromszög példák (pqr)

(3 3 4)
(3 3 5)
(3 3 6)
(3 3 7)
(3 3∞)

(3 4 4)
(3 6 6)
(3∞∞)
(6 6 6)
(∞∞∞)

A hiperbolikus háromszögcsoportok a nem euklideszi krisztallográfiai csoportok példái , és Gromov hiperbolikus csoportok elméletében általánosítják őket .

Von Dyck csoportok

Jelölje D ( l , m , n ) azt a 2 indexű alcsoportot Δ (l, m, n) -ben, amelyet páros hosszúságú szavak generálnak a generátorokban. Az ilyen alcsoportokat néha "közönséges" háromszögcsoportoknak [2] vagy von Dyck-csoportoknak nevezik , Walther von Dyck után . A gömb alakú, euklideszi és hiperbolikus háromszögek egy csoport elemeinek felelnek meg, amelyek megőrzik a háromszögek tájolását. A projektív (elliptikus) háromszögek így nem értelmezhetők, mivel a projektív síknak nincs tájolása és nincs benne "tájolásmegmaradás". A reflexiók azonban lokálisan megőrzik az orientációt (és minden sokaság lokálisan orientálható, mivel lokálisan euklideszi). [3]

A D ( l , m , n ) csoportokat a következő feladat határozza meg:

Generátorok tekintetében ez x = ab, y = ca, yx = cb . Geometriailag a három x , y , xy elem a háromszög három csúcsa körüli 2π/ l , 2π/ m és 2π/ n elforgatásoknak felel meg .

Figyeljük meg, hogy D ( l , m , n )≅D ( m , l , n )≅D ( n , m , l ) , így D ( l , m , n ) nem függ az l , m számok sorrendjétől . , n .

A von Dyck hiperbolikus csoport egy fuksziánus diszkrét csoport, amely a hiperbolikus sík orientációmegőrző izometriáiból áll .

Fedő parketta

A háromszögcsoportok háromszögekkel őrzik meg a parkettázást, vagyis az alapvető cselekvési területet (a közvetlen visszaverődésekkel meghatározott háromszöget), amelyet Möbius-háromszögnek neveznek, és a (2 l ) háromszögeknek megfelelő egész számok hármasával ( l , m , n ) adják meg. ,2 m ,2 n ) közös tetővel. Vannak olyan átfedő háromszögekből kialakított parketták is, amelyek megfelelnek a racionális számokkal rendelkező Schwartz-háromszögeknek ( l / a , m / b , n / c ), ahol a nevezők viszonylag prímek a számlálókhoz képest. Ez az a π/ l (ill.) szögű oldalaknak felel meg , ami 2 a π/ l (ill.) elforgatásnak felel meg , aminek l -es rendje van, és ezért azonos az absztrakt csoport egyik elemével, de különbözik amikor tükröződésként ábrázolják.

Például a Schwartz-háromszög (2 3 3) 1 sűrűségű parkettát ad a gömbön, míg a háromszög (2 3/2 3) 3 sűrűségű parkettát ad a gömbön, de ugyanazzal az absztrakt csoporttal . Ezek a fedő parkettaszimmetriák nem tekinthetők háromszögcsoportoknak.

Történelem

A háromszögcsoportok legalábbis Hamiltonnak az ikozaéder-csoportot háromszög-forgási csoportként (2,3,5) bemutatva 1856-ban, az ikozosokról szóló tanulmányában [4] .

Alkalmazások

Háromszögcsoportok keletkeznek az aritmetikai geometriában . A két elem, S és T által generált moduláris csoport az S² = (ST)³ = 1 összefüggésekkel a háromszög forgáscsoportja (2,3,∞), és le van képezve az összes háromszögcsoportra (2,3, n ) a T n = 1 reláció hozzáadásával . Általánosabban, a Hecke csoport H q , amelyet két elem, S és T generál , az S 2 = ( ST ) q = 1 összefüggéssel ( T -re külön nincs kapcsolat ), a (2, q , ∞) háromszög forgatási csoportja, és az összes háromszögcsoportra (2, q , n ) van leképezve a T n = 1 összefüggés hozzáadásával . A moduláris csoport a H 3 Hecke csoport . A dessins d'enfants elméletében a Belyi-függvény lehetővé teszi egy Riemann-felület burkolását , amely megfelel valamilyen háromszögcsoportnak.

Mind a 26 szórványos csoport háromszögcsoportok faktorcsoportja [6] , ebből 12 Hurwitz csoport (a csoport faktorcsoportja (2,3,7)).

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ ( Magnus 1974 )
  2. ↑ Gross & Tucker, 2001 .
  3. ↑ ( Magnus 1974 , 65. o.)
  4. ↑ Hamilton, 1856 .
  5. ↑ Riemann felületek platóni burkolása: The Modular Group Archivált : 2009. október 28. a Wayback Machine -nél , Gerard Westendorp Archiválva : 2011. március 10. a Wayback Machine -nél
  6. ↑ ( Wilson 2001 , 2. táblázat, 7. o.)

Irodalom

Linkek