Dísz csoport

A díszcsoport (vagy síkszimmetriacsoport , vagy lapos krisztallográfiai csoport ) a kétdimenziós ismétlődő minták szimmetriákon alapuló matematikai osztályozása . Az ilyen minták gyakran megtalálhatók az építészetben és a díszítőművészetben . 17 különböző csoport lehetséges .

A díszcsoportok kétdimenziós szimmetriacsoportok , összetettségükben közepesek a peremcsoportok és a háromdimenziós krisztallográfiai csoportok (más néven tércsoportok ) között.

Bevezetés

A mintacsoportok a mintákat szimmetria szerint kategorizálják. A hasonló minták finom különbségei azt eredményezhetik, hogy a minták különböző csoportokhoz rendelhetők, míg a stílusban, színben, léptékben vagy tájolásban lényegesen eltérő minták ugyanabba a csoportba tartozhatnak.

Tekintsük a következő példákat:

Az A és B példa ugyanazt a mintacsoportot tartalmazza, amelyet p 4 m -nek neveznek az IUC jelölésben és *442 -nek orbi - értékekben . A C példában van egy másik mintacsoport, a p 4 g vagy 4*2 . Az, hogy A -nak és B -nek ugyanaz a csoportja, azt jelenti, hogy ezek a díszek a minták részleteitől függetlenül azonos szimmetriával rendelkeznek, míg a C -nek a külső hasonlóság ellenére is más a szimmetriakészlete.

A tizenhét lehetséges díszcsoport teljes listája alább található.

Mintaszimmetriák

A minta szimmetriája durván szólva egy módja annak, hogy egy mintát úgy alakítsunk át, hogy az a transzformáció után pontosan ugyanúgy nézzen ki, mint az átalakítás előtt. Például párhuzamos fordítási szimmetria van jelen, ha némi eltolással ( párhuzamos fordítás ) a minta önmagához igazodik. Képzelje el, hogy a függőleges (azonos szélességű) csíkokat vízszintesen eltolja egy csíkkal, a minta ugyanaz marad. Szigorúan véve a valódi szimmetria csak azoknál a mintáknál létezik, amelyek pontosan és vég nélkül ismétlődnek. Egy, mondjuk csak öt csíkból álló halmaznak nincs párhuzamos átviteli szimmetriája – eltoláskor az egyik oldalon lévő csík "eltűnik", a másik oldalon pedig egy új csík "adódik hozzá".

Néha kétféleképpen is besorolható a minta, az egyik pusztán a forma, a másik pedig a színezés. Ha figyelmen kívül hagyja a színeket, a minta nagyobb szimmetriájú lehet. A fekete-fehér mozaikok között 17 díszcsoport is található. Például egy színes csempe egyenértékű egy fekete-fehér csempével, amelynek színkódolt, sugárszimmetrikus "vonalkódja" van minden csempének tömegközéppontjában.

Az itt tárgyalt transzformációk típusait mozgásoknak nevezzük . Például:

A C példa azonban más . Csak a vízszintes és függőleges irányban van tükröződése, az átlós tengelyekről azonban nem . Ha megfordítjuk a mintát az átlós tengely körül, akkor nem ugyanazt a mintát kapjuk. Az eredeti mintát némi távolsággal eltolva kapjuk. Ez az egyik oka annak, hogy az A és B minták mintacsoportja eltér a C minta mintacsoportjától .

Egy másik transzformáció a pillantó szimmetria , a reflexió és a reflexió tengelye mentén történő transzláció kombinációja.

Történelem

Azt, hogy csak 17 lehetséges minta létezik, először Jevgraf Sztyepanovics Fedorov bizonyította 1891 -ben [1] , majd önállóan Poja György 1924-ben [2] . A díszcsoportok listája teljességét csak azután igazolták, hogy a krisztallográfiai csoportok sokkal bonyolultabb esetére ez megtörtént.

Definíció

A díszcsoport, vagy lapos krisztallográfiai csoport a csoport izometrikus, teljesen nem folytonos kokompakt hatása az euklideszi síkon (a kokompaktság egyenértékű azzal a ténnyel, hogy a cselekvés két lineárisan független párhuzamos fordítást tartalmaz ).

Az izometriák két ilyen csoportja azonos típusú (ugyanaz a díszcsoport), ha a sík affin transzformációjával egymásba transzformáljuk őket.

Így például a teljes minta eltolódása (és így a tükrözési tengelyek és a forgási középpontok áthelyezése) nem érinti a díszcsoportot. Ugyanez vonatkozik a párhuzamos transzlációs vektorok közötti szög megváltoztatására is, feltéve, hogy ez nem jár semmilyen szimmetria hozzáadásával vagy eltűnésével (ez csak abban az esetben lehetséges, ha nincs tükörszimmetria és csúszószimmetria , és a forgásszimmetria maximum 2-es sorrendben).

Jegyzetek

Definíciós vita

Az euklideszi sík izometriái

Az euklideszi sík izometriái négy kategóriába sorolhatók (további információért lásd az Euklideszi sík izometriája című cikket ).

A párhuzamos fordítások függetlenségének feltétele

A párhuzamos transzlációk lineáris függetlenségének feltétele azt jelenti, hogy vannak olyan lineárisan független v és w vektorok ( R 2 -ben ), hogy a csoport tartalmazza mind a Tv - t , mind a Tw - t .

Ennek a feltételnek az a célja, hogy elkülönítse az ornamentális csoportokat a frízcsoportoktól , amelyeknek párhuzamos fordítása van, de nincs két lineárisan független, és a kétdimenziós diszkrét pontcsoportoktól , amelyeknek egyáltalán nincs párhuzamos fordítása. Más szóval, a díszítőcsoportok két különböző irányban ismétlődő mintát képviselnek, szemben a határcsoportokkal, amelyek csak egy tengely mentén ismétlődnek.

(Ezt a helyzetet általánosíthatjuk. Tanulmányozhatnánk például az R n diszkrét izometriacsoportokat m lineárisan független párhuzamos fordítással, ahol m tetszőleges egész szám a 0 ≤ m  ≤  n intervallumban  .)

A teljes megszakítás feltétele

A teljesen nem folytonos feltétel (néha diszkrétnek is nevezik) azt jelenti, hogy létezik valamilyen pozitív ε valós szám úgy, hogy a csoportban lévő bármely T v párhuzamos transzláció esetén a v vektor hossza legalább ε (kivéve természetesen az esetet, nulla vektor v ).

Ennek a feltételnek az a célja, hogy a csoportnak legyen egy kompakt alapterülete , vagy más szóval egy nem nulla véges területű "cella", amely ismétlődik a síkban (mintaként). E feltétel nélkül például tetszőleges x racionális számhoz kaphatunk T x párhuzamos fordítást tartalmazó csoportot , amely nem felel meg semmilyen elfogadható ornamentális mintának.

A diszkrétségi feltétel és a párhuzamos fordítások függetlenségi feltételének egy fontos és nem triviális következménye, hogy egy csoport csak 2-es, 3-as, 4-es vagy 6-os rendű forgatást tartalmazhat. Ez azt jelenti, hogy a csoportban minden forgást 180°-os, 120°-os, 90°-os vagy 60°-os elforgatás. Ezt a tényt krisztallográfiai kényszerek tételeként ismerjük , és ez a tétel általánosítható magasabb dimenziós esetekre.

Jelölés

Kristályos jelölés

A krisztallográfiában 230 különböző krisztallográfiai csoport van , több mint 17 díszítőcsoport, de a csoportok szimmetriái közül sok azonos. Így mindkét típusú csoporthoz hasonló jelölést lehet használni , Carl Hermann és Charles-Victor Maugin jelölését . Példa egy Hermann-Mogen stílusú dísz teljes nevére (a megnevezéseket "a Kristályosok Nemzetközi Uniójának jelölései", IUC ) - p 31 m négy betűvel és számmal. Általában rövidített nevet használnak, például cmm vagy pg .

Díszcsoportok esetén a teljes megnevezés p -vel kezdődik ( primitív sejtből - elemi cella ) vagy c -vel ( arcközpontú cellából - arcközpontú cella). Az alábbiakban ismertetjük őket. A betűt az n szám követi , amely a forgásszimmetria legmagasabb rendjét jelöli - 1-szeres (nincs), 2-szeres, 3-szoros, 4-szeres vagy 6-szoros. A következő két karakter szimmetriát jelöl az egyik párhuzamos fordítási tengelyhez képest, amely a „fő”-nek tekinthető. Ha a párhuzamos fordítás tengelyére merőleges tükörszimmetria van, akkor ezt a tengelyt válasszuk főnek (ha kettő van, válasszuk bármelyiket). A karakterek m , g vagy 1 tükörszimmetria, siklásszimmetria vagy szimmetria hiánya esetén. A tükörszimmetria vagy csúszószimmetria tengelye az első betű esetében merőleges a főtengelyre, a második betű esetében pedig párhuzamos vagy 180°/ n -el megdöntve (ha n  > 2). Sok csoport más szimmetriákat is tartalmaz. A rövid jelölés elveti a számjegyeket vagy m -t, ha logikailag definiált, hacsak nem okoz összetévesztést más csoportokkal.

A primitív cella egy minimális terület, amelyet párhuzamos transzláció ismétel meg a rács mentén. Két kivételével minden ornamentális szimmetriacsoportot primitív cellatengelyek írnak le, amelyek a rács párhuzamos transzlációs vektorait használó koordinátabázisok. A fennmaradó két esetben a szimmetriát központosított cellák írják le, amelyek nagyobbak, mint a primitív cellák, ezért belső ismétlődésük van. Oldaluk irányai eltérnek a párhuzamos transzlációs vektorok irányaitól. A krisztallográfiai csoportok kristályaira vonatkozó Hermann-Mogen jelölés további sejttípusokat használ.

Példák

Olyan nevek, amelyek rövid és teljes alakja különbözik.

Kristályos rövid és teljes nevek
Rövid p2 _ délután old cm pmm pmg pgg cmm p 4 m p 4 g p 6 m
teljes 211. o p 1 m 1 p 1 g 1 c 1 m 1 p 2 mm p 2 mg p 2 gg c 2 mm p 4 mm p4gm _ _ p 6 mm

A fennmaradó nevek p 1 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 és p 6 .

Orbio jelölések

A díszcsoportok orbijelölése, amelyet John Conway népszerűsített , nem krisztallográfián, hanem topológián alapul. A sík orbifold hányadosát a díszcsoport működésével tekintjük és több szimbólum segítségével írjuk le.

Tekintsünk egy cmm krisztallográfiai jelölésű csoportot . Conway jelölésében ez 2*22 lenne . A * előtti 2 azt mondja, hogy van egy 2x-es forgásközéppontunk, amelyen nem mennek át tükrök. * Maga * azt mondja, hogy van egy tükrünk. A * utáni első 2 azt jelzi, hogy 2x-es forgási középpontunk van a tükörön. Az utolsó 2 azt mondja, hogy van egy független második középpontunk a 2-szeres elforgatással a tükörön, amely nem duplikálja meg az első középpontot a szimmetriáknál.

A pgg címkével ellátott csoportban Conway 22× -es jelölése lesz . Két egyszerű 2-szeres forgási középpontunk és egy csúszó szimmetriatengelyünk van. Ezzel a csoporttal ellentétben áll a pmg csoport , a Conway-szimbólum 22* , ahol a krisztallográfiai jelölés egy pillantási szimmetriát említ, de olyan, amelyet az orbifold többi szimmetriája is sejtet.

A Coxeter zárójel jelölése is megtalálható. A Coxeter csoporton alapul,és egy pluszjellel (felsõ indexben) módosítva az elforgatások, helytelen elforgatások és párhuzamos fordítások esetén.

Conway, Coxeter-jelölés és krisztallográfiai jelölés megfeleltetése
Conway o ×× *× ** 632 *632
koxéter [∞ + ,2, ∞ + ] [(∞,2) + ,∞ + ] [∞,2 + ,∞ + ] [∞,2,∞ + ] [6,3] + [6,3]
Kristályos p1 _ old cm délután p6 _ p 6 m
Conway 333 *333 3 *3 442 *442 4 *2
koxéter [3 [3] ] + [3 [3] ] [3 + ,6] [4,4] + [4,4] [4 + ,4]
Kristályos 3. o p 3 m 1 p 31 m 4. o .]] p 4 m p 4 g
Conway 2222 22 × 22 * *2222 2 *22
koxéter [∞,2,∞] + [((∞,2) + ,(∞,2) + )] [(∞,2) + ,∞] [∞,2,∞] [∞,2 + ,∞]
Kristályos p2 _ pgg pmg pmm cmm

Miért van pontosan tizenhét csoport

Az orbifold felfogható egy olyan sokszögnek , amelynek lapja, élei és csúcsai kibonthatók, hogy egy lehetőleg végtelen sokszöghalmazt képezzenek, amelyek a teljes gömböt , síkot vagy hiperbolikus síkot kirajzolják . Ha egy sokszög síkot csempézik, akkor díszcsoportot ad, ha pedig gömböt vagy hiperbolikus síkot, akkor gömbszimmetriacsoportot vagy hiperbolikus szimmetriacsoportot . A sokszög csempézett tér típusát az Euler - karakterisztika χ  =  V  −  E  +  F kiszámításával találhatjuk meg , ahol V a sarkok (csúcsok), E az élek száma, F pedig az oldalak száma. Ha az Euler-karakterisztika pozitív, akkor az orbifold elliptikus (gömb alakú) szerkezetű. Ha az Euler-karakterisztika nullával egyenlő, akkor parabola szerkezetű, vagyis díszcsoport. Ha az Euler-karakterisztika negatív, akkor az orbifold hiperbolikus szerkezetű. Amikor az összes lehetséges orbifoldot felsoroltuk, azt találtuk, hogy csak 17-nek volt 0 az Euler-karakterisztikája.

Amikor egy orbifoldet egy sík kitöltésére másolunk, elemei csúcsokból, élekből és lapokból álló struktúrát hoznak létre, amelynek meg kell felelnie az Euler-karakterisztikának. A folyamat megfordításával számokat rendelhetünk az orbifold elemeihez, de inkább tört, mint egész számot. Mivel maga az orbifold a teljes felület hányadoscsoportja a szimmetriacsoporthoz képest, az orbifold Euler-karakterisztikája a felület Euler-karakterisztikája és a szimmetriacsoport sorrendjének hányadosa.

Az orbifold Euler-karakterisztikája 2 mínusz az alábbiak szerint hozzárendelt elemek értékeinek összege:

Egy díszcsoport esetén az Euler-karakterisztika összegének nullának kell lennie, tehát az elemértékek összegének 2-nek kell lennie.

Példák

Mostantól az összes díszcsoport felsorolása aritmetikára redukálódik, az elemkészletek listájára, amelyek összege 2.

Az eltérő összegű elemhalmazok nem értelmetlenek. Nem síkbeli tesszellációkat tartalmaznak, amelyeket itt nem tárgyalunk. (Ha egy orbifold Euler-karakterisztikája negatív, a burkolás hiperbolikus ; ha pozitív, akkor a burkolás vagy gömb alakú , vagy rossz ).

Útmutató a díszcsoportok felismeréséhez

A következő táblázat [3] segítségével megértheti, hogy melyik díszcsoport felel meg egy adott mozaiknak .


Minimális fordulatméret		 Vannak tükröződései?
Igen Nem
360° / 6 p6m ( *632 ) p6 (632)
360° / 4 A tükrök 45°-os szögben állnak? 4. o . (442)
Igen: p 4 m (*442) Nem: p 4 g (4*2)
360° / 3 A tükrökön kívül vannak elfordulási központok? 3. o . (333)
Igen: p 31 m (3*3) Nem: p 3 m 1 (*333)
360° / 2 Vannak merőleges visszaverődései? Van csúszó szimmetriája?
Igen Nem
A tükrökön kívül vannak elfordulási központok? pmg (22*) Igen: pgg (22×) Nem: p 2 (2222)
Igen: cmm (2*22) Nem: pmm (*2222)
Nincs fordulat Vannak csúszótengelyek a tükrökön kívül? Van csúszó szimmetriája?
Igen: cm (*×) Nem: pm (**) Igen: oldal (××) Nem: p 1 (o)

Lásd még Ezt az áttekintést diagramokkal .

Tizenhét lapos krisztallográfiai csoport

Ebben a szakaszban minden csoporthoz két cellaszerkezeti diagram tartozik, amelyek mindegyike a következőképpen értelmezhető (itt a forma a fontos, nem a szín):

második rendű forgásközéppont (180°).
hármas rendű forgásközéppont (120°).
négyes rendű forgásközéppont (90°).
hatos rendű forgásközéppont (60°).
reflexiós tengely.
csúszó szimmetria tengelye.

A diagram jobb oldalán a szimmetriaelemek különböző ekvivalenciaosztályai eltérően vannak színezve (és elforgatva).

A barna vagy sárga területek az alapterületet jelölik , azaz a minta legkisebb ismétlődő részét.

A jobb oldali diagramok a legkisebb párhuzamos fordításnak megfelelő rácscellát mutatják. A bal oldalon néha nagy terület látható.

csoport p 1 (o)

Sejtszerkezetek p 1 -hez rácstípus szerint

ferde
Hatszögletű

Négyszögletes
Rombikus
Négyzet
Csoport p 1 példák

A két párhuzamos átvitel (cellaoldal) eltérő hosszúságú lehet és tetszőleges szöget alkothat.

csoport p 2 (2222)

Sejtszerkezetek p 2 -re rácstípusonként

ferde
Hatszögletű

Négyszögletes
Rombikus
Négyzet
Csoport p 2 példák

Csoport pm (**)

A pm cellaszerkezete

Vízszintes tükrözés
Függőleges tükröződés
pm csoport példák

(Az első háromnak függőleges szimmetriatengelye van, az utolsó kettőnek pedig átlós tengelye van.)

Csoport pg (××)

Sejtszerkezetek pg

Vízszintes eltolódások
Függőleges eltolódások
Négyszögletes
pg csoport példák

Anélkül, hogy figyelembe vennénk a cikk-cakk részleteit, a szőnyeg pmg . Ha figyelembe vesszük a cikk-cakk belsejében lévő részleteket, de nem teszünk különbséget barna és fekete csíkok között, akkor pgg -t kapunk .

Ha figyelmen kívül hagyja a csempék hullámos széleit, a járda pgg .

Csoport cm (*×)

Sejtszerkezet cm -re

Vízszintes tükrözés
Függőleges tükröződés
Rombikus
cm csoportos példák

Csoport pmm (*2222)

A pmm cellaszerkezete

négyszögletes
négyzet
pmm csoport példák

pmg csoport (22*)

Sejtszerkezetek a pmg számára

Vízszintes tükröződések
Függőleges tükröződések
pmg csoport példák

Csoport pgg (22×)

A pgg cellaszerkezete rácstípus szerint

Négyszögletes
Négyzet
pgg csoport példák

Csoport cmm (2*22)

A cmm cellaszerkezetei rácstípus szerint

Rombikus
Négyzet

A 2. rendű forgásszimmetriák, ahol a forgásközéppontok a rombusz oldalainak középpontjában vannak, más tulajdonságok következményei.

Minta egyezések:

cmm csoport példák

Csoport p 4 (442)

Csoport p 4 példák

A p 4 minta egy négyzet alakú lap négyszeres forgásszimmetriájú ismétlődésének tekinthető sorokban és oszlopokban. Úgy is tekinthető, mint egy sakktábla két ilyen lapkából, amelyek 4-szer kisebbek és 45°-kal elforgatva.

Csoport p 4 m (*442)

Ez négy szimmetriatengellyel rendelkező, azonos négyzetekből álló sorokból és oszlopokból álló téglalap alakú rácsnak felel meg. Ez is megfelel két ilyen négyzet sakktábla -mintájának.

Csoportpéldák p 4 m

A példák a legkisebb vízszintes és függőleges párhuzamos fordítással láthatók (mint az ábrán):

Példák a legkisebb párhuzamos átlós fordítással:

Csoport p 4 g (4*2)

A p 4 g minta a négyzetes csempék 4-szeres forgásszimmetriájú másolataiból és azok tükörképeiből álló sakktáblás elrendezésnek tekinthető . Alternatív megoldásként a minta megtekinthető (egy fél lapkával eltolva), mint a vízszintesen vagy függőlegesen szimmetrikus csempék másolatainak sakktábla-elrendezése és ezek 90°-ban elforgatott változatai. Vegye figyelembe, hogy mindkét megközelítés nem alkalmazható egy egyszerű, fekete-fehér csempék sakktábla-mintájára, ebben az esetben egy p 4 m -es csoportról van szó (a cellák átlós párhuzamos fordításával).

Csoportpéldák p 4 g

csoport p 3 (333)

Képzeljük el a sík csempézését azonos méretű egyenlő oldalú háromszögekkel, amelyek oldala a legkisebb párhuzamos transzlációnak felel meg. Ekkor a háromszögek fele azonos tájolású, a másik fele pedig szimmetrikus. A mintacsoport annak az esetnek felel meg, amikor minden azonos tájolású háromszög egyenlő, miközben mindkét típusnak háromrendű forgásszimmetriája van, de a kettő nem egyenlő, nem egymás tükörképe, és mindkettő nem szimmetrikus (ha mindkettő típusok egyenlőek, van p 6 , ha egymás tükörképei, van p 31 m , ha mindkét típus szimmetrikus, akkor p 3 m 1 , ha ebből a három tulajdonságból kettő teljesül, akkor a harmadik is teljesül , és p 6 m ). Egy adott mintánál három ilyen csempézés lehetséges, mindegyik csúcspontjaiban forgási középponttal, azaz két eltolás lehetséges bármely burkolásnál. A rajz szempontjából: a csúcsok lehetnek piros, kék vagy zöld háromszögek.

Ezzel egyenértékűen képzeljük el a sík csempézését szabályos hatszögekkel, amelyek oldala megegyezik a legkisebb párhuzamos transzláció osztva √3-mal. Ekkor ez a tapétacsoport megfelel annak az esetnek, amikor az összes hatszög egyenlő (és azonos tájolású) és háromrendű forgásszimmetriájú, de nincs tükörtükrözés (ha hatos rendű forgásszimmetria van, akkor azt kapjuk p 6 ha van szimmetria a főátlóhoz képest, akkor p 31 m , ha van szimmetria az oldalakra merőleges egyenesekre, akkor p 3 m 1 -t kapunk, ha ebből a három tulajdonságból kettő teljesül, akkor a harmadik is tart és van p 6 m ). Egy adott képhez három csempézés tartozik, mindegyiket úgy kapjuk meg, hogy a hatszögek középpontját a minta forgási középpontjaiba helyezzük. Rajzolás szempontjából piros, kék és zöld háromszögek lehetnek a hatszög középpontjai.

Csoport p 3 példák

Csoport p 3 m 1 (*333)

A p 3 csoporthoz hasonlóan képzeljünk el egy síkot azonos méretű egyenlő oldalú háromszögekkel, amelynek oldala a legkisebb párhuzamos transzlációval egyenlő. Ekkor a háromszögek fele egy tájolású, a másik fele pedig ellenkező irányban. Ez a háttérképcsoport annak az esetnek felel meg, amikor minden azonos tájolású háromszög egyenlő. Mindkét típusnak háromrendű forgásszimmetriája van, mindkét típus szimmetrikus, de nem egyenlőek és nem egymás tükörképei. Egy adott képhez három tesszelláció lehetséges, amelyek mindegyikének csúcsai vannak a forgás középpontjában. A rajz szempontjából a csúcsok lehetnek piros, sötétkék vagy zöld háromszögek.

Csoportpéldák p 3 m 1

Csoport p 31 m (3*3)

Ami p 3 és p 3 m 1 -t illeti, képzeljük el a sík csempézését azonos méretű egyenlő oldalú háromszögekkel, amelyek oldala a legkisebb párhuzamos transzlációval egyenlő. Ekkor a háromszögek fele egy tájolású, a másik fele pedig ellenkező irányban. A tapétacsoport annak az esetnek felel meg, amikor minden azonos tájolású háromszög egyenlő, miközben mindkét típus háromrendű forgásszimmetriával rendelkezik, és mindegyik a másik tükörképe, de a háromszögek nem szimmetrikusak és nem egyenlőek önmagukkal. Egy adott képhez csak egy csempézés lehetséges. A rajz szempontjából a sötétkék háromszögek nem lehetnek csúcsok.

Csoportpéldák p 31 m

Csoport p 6 (632)

Az ilyen szimmetriájú mintát tekinthetjük a sík burkolásának C 3 szimmetriájú, egyenlő háromszöglapokkal , vagy ezzel egyenértékűen a sík csempézésének egyenlő hatszögletű, C 6 szimmetriájú lapokkal (amikor a lapok szélei nem feltétlenül részei a minta).

Csoport p 6 példák

Csoport p 6 m (*632)

Az ilyen szimmetriájú minta felfogható úgy, mint egy sík burkolása egyenlő háromszög alakú, D 3 szimmetriájú lapokkal , vagy ezzel egyenértékű, a sík burkolása egyenlő hatszögletű, D 6 szimmetriájú lapokkal (a lapok szélei nem feltétlenül részei a mintáról). A legegyszerűbb példák a hatszögletű rácsok összekötő vonalakkal vagy anélkül, és a hatszögletű burkolólapok , amelyek egy színnel a hatszögek körvonalait és egy másik színt a háttérben ábrázolják.

Csoportpéldák p 6 m

Rácstípusok

Ötféle rács létezik ( Brave lattices ), amelyek maguknak a rácsok öt díszcsoportjának felelnek meg. Ezzel a párhuzamos fordítási szimmetriájú ráccsal rendelkező mintázat-díszek egy csoportjának nem lehet több, de kevesebb szimmetriája, mint magának a rácsnak.

Szimmetria csoportok

A tényleges szimmetriacsoportot meg kell különböztetni az ornamentika csoporttól. A díszcsoportok szimmetriacsoportok halmaza. 17 ilyen halmaz létezik, de mindegyik halmazhoz végtelenül sok szimmetriacsoport tartozik a tényleges izometriacsoportok értelmében. Az ornamentika csoportjától elkülönülten függenek a párhuzamos átviteli vektorok paramétereinek számától, a tükörszimmetria- és forgásközéppontok tájolásától és helyzetétől.

A szabadsági fokok száma :

Az egyes díszcsoportokon belül azonban minden szimmetriacsoport algebrailag izomorf.

A szimmetriacsoportok néhány izomorfizmusa:

Díszcsoportok függése az átalakulások során

Megjegyzendő, hogy ha egy transzformáció csökkenti a szimmetriát, akkor az azonos típusú (inverz) transzformáció nyilvánvalóan növeli ugyanannak a mintának a szimmetriáját. A mintának ez a tulajdonsága (például, ha egy irányba terjeszkedik, négyszeres szimmetriájú mintát ad) nem tekintjük a járulékos szimmetria típusának.

A színek felcserélése nem befolyásolja a díszcsoportot, ha bármely két pont, amely a változás előtt azonos színű, a csere után is ugyanolyan színű lesz, és ha bármely két pont, amely a csere előtt eltérő színű, a csere után eltérő színű lesz.

Ha az előbbi érvényes és az utóbbi nem, mint a fekete/fehér öntvény esetében, a szimmetriák megmaradnak, de megnövelhetők, így a tapétacsoport megváltozhat.

Weboldalak és szoftverek

Egyes szoftvertermékek lehetővé teszik kétdimenziós minták létrehozását díszszimmetria-csoportok használatával. Általában szerkesztheti az eredeti csempét, és a mintában szereplő csempe összes másolata automatikusan frissül.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Fedorov, 1891 , p. 245-291.
  2. ↑ Lengyelország, 1924 , p. 278–282.
  3. ↑ Radaelli, 2011 .
  4. ↑ Ez segít abban, hogy a négyzeteket háttérként kezeljük, ekkor a gyémántsorok egyszerű mintáit látjuk.

Irodalom

Linkek

 geometrikus mozaikok
Időszakos
időszakos
Egyéb
Csúcskonfiguráció szerint _
Gömbölyű
helyes
félig
helyes
Hiperbolikus
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3,4,6 2,4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3.14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4.14 2
  • 4.16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5.8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6.16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8.6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2