Gamma függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

A gamma függvény egy matematikai függvény . Leonhard Euler vezette be , és a gamma függvény elnevezését Legendre -nek köszönheti [1] .

A gamma-függvényt rendkívül széles körben használják a tudományban. Fő alkalmazási területei közé tartozik a matematikai elemzés , a valószínűségszámítás , a kombinatorika , a statisztika , az atomfizika , az asztrofizika , a hidrodinamika , a szeizmológia és a közgazdaságtan . A gammafüggvényt különösen a faktoriális fogalmának valós és összetett argumentumértékek halmazaira való általánosítására használják.

Definíciók

Integráldefiníció

Ha a komplex szám valós része pozitív, akkor a gammafüggvényt az abszolút konvergens integrálon keresztül definiáljuk $z$

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0

Ezt a meghatározást Legendre származtatta Euler eredeti definíciójából (1730)

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{{z-1}}\,dx

változó változásán keresztül , és ma Legendre definíciója az, amely a gamma-függvény klasszikus definíciójaként ismert. A klasszikus definíciót részenként integrálva könnyen belátható, hogy . ${\displaystyle x=e^{-t))$ $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

A gamma-függvény értékeinek hozzávetőleges kiszámításához kényelmesebb a harmadik képlet, amely szintén az Euler-féle definícióból származik az egyenlőség alkalmazásával és a változó megváltoztatásával : $\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z$ $x=y^{2}$

\Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z} \,dy

Az integrál ebben a képletben konvergál , bár általában az argumentum pozitív valós értékeihez használják (az 1 körüli értékeket részesítjük előnyben). Valós argumentum esetén az integrandusnak egyetlen szinguláris pontja van - egy nem folytonos szakadása -ban, és ha ezen a ponton kibővítjük az értékkel , akkor folytonossá válik a teljes intervallumon . Így az integrál sajátérték, ami leegyszerűsíti a numerikus integrációt . $\mathrm {Re} (z)>-1$ $z>0$ $y=0$ $0$ $[0; egy]$

Az eredeti képletnek van egy közvetlen analitikus folytatása a teljes komplex síkra , kivéve az egész számokat, amelyeket Riemann- Hankel integrálnak neveznek:

\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{ -t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} .

Itt kontúrnak nevezzük a komplex síkon lévő bármely olyan körvonalat, amely az óramutató járásával ellentétes irányban megy egy pont körül, és amelynek végei a pozitív valós tengely mentén a végtelenbe mennek. $L$ $t = 0$

A következő kifejezések a gamma-függvény alternatív definícióiként szolgálnak.

Gauss definíció

Ez minden komplex számra igaz, kivéve a 0-t és a negatív egészeket. $z$

\Gamma (z)=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n-1)}},\quad z\in {\mathbb {C}}\setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.

Euler definíciója

\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n} }\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n)))),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,- 1,-2,\ldots\}.

Definíció Weierstrass szerint

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{- 1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

hol van az Euler-Mascheroni állandó [1] . $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\körülbelül 0,57722$

Megjegyzés: néha egy alternatívát használnak, az úgynevezett pi függvényt , amely a faktoriális általánosítása, és a reláción keresztül kapcsolódik a gammafüggvényhez . Ezt a függvényt (és nem a -függvényt) használta Gauss, Riemann és sok más 19. századi német matematikus. $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\Gamma$

Tulajdonságok

Bármely pozitív n-re a következő igaz:

\Gamma (n+1)=n!

A gamma-függvény fő tulajdonsága a rekurzív egyenlete

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z),

amely rögzített kezdeti feltétel mellett egyedileg definiál egy logaritmikusan konvex megoldást, azaz magát a gamma-függvényt ( egyediségtétel ) [2] .

A gamma-függvényre az Euler-komplementer képlet érvényes:

\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}

A Gauss-szorzási képlet is érvényes:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^ {{{\frac {1}{2}}-nz}}\cdot (2\pi )^{{{\frac {n-1}{2}}}}\Gamma (nz),

Ennek a képletnek egy speciális esetét n=2 esetén Legendre találta meg:

\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\ Gamma(2z).

A gamma-függvénynek nincs nullája a teljes komplex síkban. az összetett síkon meromorf , és a pontokban egyszerű pólusokkal rendelkezik [1] $\Gamma(z)$ $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\lpont$

A gamma-függvénynek van egy elsőrendű pólusa bármely természetes és nulla értékhez; a levonás ezen a ponton a következő: $z=-n$ $n$

\operátornév{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}

Hasznos tulajdonság, amely a határdefinícióból nyerhető:

\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})

A gamma-függvény végtelen számú alkalommal differenciálható , és ahol , gyakran "psy függvénynek" vagy digamma függvénynek nevezik . A gamma-függvény és a béta-függvény a következő összefüggéssel függ össze: $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)$ $\psi(x)$

\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

A gamma-függvény logaritmusa

Számos okból a gamma-függvény mellett gyakran a gamma-függvény logaritmusát is figyelembe veszik - a digamma-függvény antideriváltját . Ennek a következő integrált ábrázolásai vannak:

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\jobbra)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[{\frac {1}{e^{x }-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{{-xz}}}{x}}\,dx \,,\qquad \operátornév {Re}{z}>0

és

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\jobbra)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,\operátornév {arctg}(x /z)\,}{e^{{2\pi x}}-1}}\,dx\,,\qquad \operátornév {Re}{z}>0

Jacques Binet adta meg 1839-ben (ezeket a képleteket gyakran nevezik a gamma-függvény logaritmusának első és második Binet-képletének) [3] . A gamma-függvény logaritmusának némileg eltérő integrálképlete Malmsten , Lerch és több más munkájában is megjelent. Így Malmsten Binet első képletéhez hasonló képletet kapott [3]

\ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[z-1-{\frac {1-e^{{-(z- 1)x}}}{1-e^{{-x}}}}\jobbra]{\frac {e^{{-x}}}{x}}\,dx\,,\qquad \operátornév { Re}{z}>0

és Lerkh megmutatja, hogy a forma összes integrálja

\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi -1\,}{e^{ {4\pi x}}-2e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi +1}}\operátornév {arctg}{\frac {u}{x}}\;dx\,,\ qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u

redukáljuk a gammafüggvény logaritmusára is. Konkrétan a Binet második képletéhez hasonló képlet „konjugált” nevezővel a következő formájú:

\ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z- {{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\!\right\}+{{\frac {1}{2}}}\ln 2\pi -\,2\!\int \ korlátok _{0}^{{\infty }}\!{\frac {\operatorname {arctg}{\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\big ]}}{e^{{2\pi x}}+1}}\,dx,\qquad \operátornév {Re}{z}>{\frac {1}{2}}

(lásd a 40. gyakorlatot a [4]-ben )

Ezenkívül Malmsten számos olyan integrálképletet is kapott a gamma-függvény logaritmusához, amelyek hiperbolikus függvényeket tartalmaztak az integrandusban lévő logaritmussal (vagy ennek megfelelően a logaritmus logaritmusával polinomokkal). Különösen,

\ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\ ,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0} ^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operátornév {ch}{x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\, ,\qquad 0<\operátornév {Re}z<1

(lásd a 2. gyakorlatot, 29 óra, 30 in [4] )

Yaroslav Blagushin megmutatta, hogy egy racionális érvre , ahol és olyan pozitív egészek, amelyek nem haladják meg a -t , a következő ábrázolás teljesül: $z=k/n$ $k$ $n$ $k$ $n$

\ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{ \frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+

+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{{r=1}}^{{n-1}}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\ cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{{-nx}}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\operátornév {ch}{ x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}

(lásd a C. függeléket [5] , valamint a 60. és 58. gyakorlatot [4] )

Ezen túlmenően és általánosabb esetekben a hiperbolikus függvényeket tartalmazó integrálok logaritmussal (vagy arctangenssel) az integrandusban gyakran redukálódnak a gamma-függvény logaritmusaira és származékaira , beleértve a komplex argumentumot is, lásd pl. volt. 4-b, 7-a és 13-b a [4]-ben .

A gamma-függvény logaritmusa szintén szorosan összefügg az általánosított zéta-függvény analitikus folytatásával.

\ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi

Ez a Lerkh által levezetett legfontosabb összefüggés lehetővé teszi, hogy a gamma-függvény logaritmusához nagyszámú integrál reprezentációt kapjon az általánosított zéta-függvény ismert képleteivel .

A gamma-függvény logaritmusának Fourier-sorának alakja a következő

\ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1 }{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {\sin 2\pi nx \cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1

Ezt a képletet általában Ernst Kummernek tulajdonítják , aki 1847-ben vezette le (a mérvadó irodalomban [3] [6] [7] ezt a sorozatot a gamma-függvény logaritmusának Kummer-sorának is nevezik). Nemrég azonban felfedezték, hogy ezt a képletet már 1842-ben megszerezte Carl Malmsten (lásd Yaroslav Blagushin [4] [8] ).

A Fourier sorozat bővítésein kívül vannak más sorozatbővítések is. Az egyik leghíresebb a Stirling sorozat.

\ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\jobbra)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,} }\ln 2\pi +\sum _{{n=1}}^{N}{\frac {B_{{2n}}}{2n(2n-1)z^{{2n-1}}}} +O(z^{{-2N-1)))\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2))

Normál változatában

\ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)

ahol az együtthatók a Bernoulli-számokat jelentik . $B_{2n}$

A gamma-függvény Weierstrass szerinti definíciójából egy másik fontos reprezentáció következik [9]

\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{{n=1}}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\ balra(1+{\frac {z}{n}}\jobbra)\jobbra]

Privát értékek

Az egész és fél egész argumentumok gammafüggvényét elemi függvényekkel fejezzük ki . Különösen

\Gamma(1)=0!=1

\Gamma(2)=1!=1

\Gamma(3)=2!=2

\Gamma(4)=3!=6

\Gamma(5)=4!=24

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

A gammafüggvény értékének keresése az 1/4 és 1/3 pontokban Euler, Gauss és Legendre részletes kutatásának tárgya volt, de nem sikerült ezeket az értékeket zárt formában kiszámítani [1] .

A következő ábrázolások vannak nem zárt formában a Γ(1/4) számára

\Gamma ({\tfrac 14})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{({\frac {3}{2))))}{{\mathrm {AGM))({\sqrt 2},1)}}}

\Gamma ({\tfrac 14})=(2\pi )^{({\frac {3}{4))))\prod _{{k=1))^{\infty }{\mathrm {th }}\left({\frac {\pi k}{2}}\jobbra)

\Gamma ({\tfrac 14})=A^{3}e^{{-{\frac {G}{\pi }}}}{\sqrt {\pi }}2^{{{\frac {1 }{6}}}}\prod _{{k=1}}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{{k(-1)^{ k}}}

ahol AGM az aritmetikai-geometriai középfüggvény , G a katalán konstans , és A a Glaisher-Kinkelin állandó .

Általánosítások

A gamma-függvény klasszikus integráldefiníciójában az integráció határai rögzítettek. A nem teljes gammafüggvényt is figyelembe kell venni , amelyet egy hasonló integrál definiál, változó felső vagy alsó integrációs korláttal. Különbséget teszünk a felső, nem teljes gammafüggvény között, amelyet gyakran két argumentum gammafüggvényeként jelölnek:

\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

és az alsó hiányos gamma-függvény, amelyet hasonlóan a kisbetűs "gamma" betűvel jelölünk:

\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

Néha a hiányos gammafüggvényt [10] -ként határozzák meg :

I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)))\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t ^{a-1}\,dt}

Integrálok számítása

A Gamma függvény fontos alkalmazása a következő formájú integrálok redukálása rá, ahol állandó paraméterek vannak $a,\alpha ,\beta$

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ béta ))}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

Bizonyíték

A paraméter beállítása után:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ béta ))}\int _{0}^{\infty }\left(a^{1/\beta }x\right)^{\alpha }\exp {\Big [}-(a^{1/\ béta }x)^{\beta }{\Big ]}\,d\left(a^{1/\beta }x\right)

Differenciális injekciók:

a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta ))}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ={\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha +1-\beta }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ^{\beta }

És változó helyettesítések:

{\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\varkappa ^{{\frac {\alpha +1}{\beta }}-1}\exp(-\varkappa )\,d\varkappa =a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\ frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

■

Különösen a fizika alkalmazásaiban széles körben előforduló Gauss típusú integrálok esetében:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x^{2}/a^{2})\,dx=a^{\alpha +1}\cdot {\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{2}}\right)

És az Euler integrálok:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x/a)\,dx=a^{\alpha +1}\cdot \Gamma \left(\alpha + 1\jobbra)

Lásd még

Leonhard Eulerről elnevezett objektumok listája
K-függvény
Barnes G-függvény
béta funkció
Gamma eloszlás
Hiányos gamma-függvény

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Davis, PJ Leonhard Euler integrálja: A gammafüggvény történeti profilja // American Mathematical Monthly : folyóirat . - 1959. - 1. évf. 66 , sz. 10 . - P. 849-869 . - doi : 10.2307/2309786 . — .
↑ Kingman, JFC A pozitív mátrixok konvexitási tulajdonsága // The Quarterly Journal of Mathematics : folyóirat. - 1961. - 1. évf. 12 , sz. 1 . - P. 283-284 . - doi : 10.1093/qmath/12.1.283 . - .
↑ 1 2 3 Harry Bateman és Erdélyi Arthur Magasabb transzcendentális funkciók [3 kötetben] . Mc Graw-Hill Book Company, 1955.
↑ 1 2 3 4 5 Iaroslav V. Blagouchine A Malmsten-féle integrálok újrafelfedezése, kiértékelésük kontúrintegrációs módszerekkel és néhány kapcsolódó eredmény. The Ramanujan Journal, vol. 35, sz. 1, pp. 21-110, 2014. Archivált 2017. december 12-én a Wayback Machine -nél PDF Archivált : 2021. május 7-én a Wayback Machine -nél
↑ Iaroslav V. Blagouchine Tétel az első általánosított Stieltjes-konstans zárt formájú kiértékeléséhez racionális érvek mellett és néhány kapcsolódó összegzés Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537-592, 2015 . Letöltve: 2018. február 1. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 24.. (határozatlan)
↑ ET Whittaker és GN Watson A modern elemzés tanfolyama. Bevezetés a végtelen folyamatok és az analitikus függvények általános elméletébe, a főbb transzcendentális függvények bemutatásával (harmadik kiadás). Cambridge az Egyetemi Kiadónál, 1920.
↑ HM Srivastava és J. Choi sorozat a Zétával és a kapcsolódó funkciókkal kapcsolatban . Kluwer Academic Publishers. Hollandia, 2001
↑ Blagouchine, Iaroslav V. Erratum és Addendum a "Malmsten-integrálok újrafelfedezése, kontúrintegrációs módszerekkel történő kiértékelése és néhány kapcsolódó eredmény" -hez // Ramanujan J. : folyóirat. - 2016. - Kt. 42 , sz. 3 . - P. 777-781 . - doi : 10.1007/s11139-015-9763-z .
↑ D.S. Kuznyecov. Különleges jellemzők (2. kiadás). Felsőiskola, Moszkva, 1965.
↑ Hiányos gammafüggvény - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból

Irodalom és hivatkozások

V. Ya. Arszenin. Matematikai fizika: Alapegyenletek és speciális függvények , X. fejezet, ss. 225-233. Nauka, Moszkva , 1966.
M. A. Evgrafov. Analitikai függvények , VI. fejezet, ss. 267-273. Nauka, Moszkva, 1968.
M. A. Evgrafov et al. , Problémagyűjtemény az analitikus függvények elméletében , pp. 307-316. Nauka, Moszkva, 1969.
G. M. Fikhtengolts. Differenciál- és integrálszámítás tanfolyam (7. kiadás), XIV. fejezet, ss. 750-794. Nauka, Moszkva, 1969.
A. I. Markusevich. Az analitikus függvények elmélete (2. kiadás), 2. kötet, ss. 303-324. Nauka, Moszkva, 1968.
N. N. Lebegyev. Speciális funkciók és alkalmazásaik (2. kiadás), I. fejezet, ss. 11-27. FM, Moszkva, 1963.
A. F. Nikiforov és V. B. Uvarov. A matematikai fizika speciális funkciói , ss. 263-268. Nauka, Moszkva, 1978.
Pagurova V. I. A hiányos gamma-függvények táblázatai. (Szerk. Ditkin V.A.). Moszkva, A Szovjetunió Tudományos Akadémia Számítástechnikai Központjának Kiadója, 1963. 236 p. [egy]
R. Campbell. Les integrales eulériennes et leurs applications , Dunod, Párizs, 1966.
M. Godefroy. Lafonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie , Gauthier-Villars, Párizs, 1901.
E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion , Teubner, Lipcse, 1931.
N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion , Teubner, Lipcse, 1906.

Szótárak és enciklopédiák	Brockhaus és Efron Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	NDL : 00562231

↑ L. N. Bolsev, „V. I. Pagurova. A hiányos gamma-függvény táblázatai. Szemle”, Zh. Vychisl. matematika. és mat. Fiz., 4:5 (1964), 977–978// http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=9070&option_lang=rus Archiválva : 2021. augusztus 9. a Wayback Machine -nél