Hidrogénatom

Hidrogénszerű atom vagy hidrogénszerű ion minden olyan atommag , amelynek egy elektronja van [1] , és ezért izoelektronikus a hidrogénatomhoz képest . Ezek az ionok pozitív töltést hordoznak , ahol az atommag töltésszáma . Hidrogénszerű ionok például a He + , Li 2+ , Be 3+ és B 4+ . Mivel a hidrogénszerű ionok kétrészecskés rendszerek, amelyek kölcsönhatása csak a két részecske távolságától függ, a (nem relativisztikus) Schrödinger-egyenletnek és a (relativisztikus) Dirac-egyenletnek analitikus formában van megoldása. Az oldatok egyelektronos függvények, és hidrogénszerű atompályáknak nevezzük [2] . $e(Z-1)$ $Z$

Más rendszereket is nevezhetünk hidrogénszerűnek, mint például a müónium (antimuonhoz kötött elektron ) , a pozitrónium (elektron és pozitron rendszere ) , bizonyos egzotikus atomok (más részecskékkel együtt) vagy Rydberg atomok (amelyben egy elektron ) olyan nagy energiájú pályán van, hogy az atom többi részecskéje ponttöltésnek tűnik ) .

Schrödinger megoldása

A nemrelativisztikus Schrödinger -egyenlet megoldásában a hidrogénszerű atompályák az L egyelektronos impulzus- operátor és L z z - komponensének sajátfüggvényei . A hidrogénszerű atompályát az n főkvantumszám , az l szögimpulzus- kvantumszám és az m mágneses kvantumszám értékei egyértelműen azonosítják . Az energia sajátértékei nem l -től vagy m -től , hanem kizárólag n -től függenek . Hozzá kell adni az m s = ± ½ kétértékű spinkvantumszámot . Ez megteremti az alapot a Klechkovsky-szabályhoz , amely korlátozza a négy kvantumszám megengedett értékeit a nagyszámú elektront tartalmazó atomok elektronikus konfigurációjában . A hidrogénszerű atomokban az összes degenerált pálya fix n és l , m és m s értékekkel, bizonyos értékek között változó (lásd alább), atomi elektronhéjat alkot .

Az egynél több elektront tartalmazó atomokra vagy atomi ionokra vonatkozó Schrödinger-egyenletet az elektronok közötti Coulomb-kölcsönhatás okozta számítási bonyolultság miatt nem sikerült analitikusan megoldani. Ebben az esetben numerikus módszereket alkalmaznak a hullámfüggvények vagy más tulajdonságok kvantummechanikai számításokból történő (közelítő) meghatározására. A gömbszimmetria ( a Hamilton -féle ) miatt az atom teljes impulzusimpulzusa, J , konzervált mennyiség. Számos numerikus eljárás atomi pályák szorzatait használja, amelyek az L és L z egyelektronos operátorok sajátfüggvényei . Ezen atomi pályák radiális részeit néha táblázatokként vagy néha Slater pályákként ábrázolják . A szögimpulzushoz kapcsolódó függvényeket használjuk a J 2 (és esetleg S 2 ) többelektronos sajátfüggvények megszerkesztésére.

A kvantumkémiai számításokban a hidrogénszerű atompályák nem szolgálhatnak a tágulás alapjául, mert az nem teljes. A teljes halmaz megszerzéséhez ki kell egészíteni a bázist a kontinuum négyzetes nem integrálható állapotaival ( E > 0 ), azaz le kell fedni a teljes egyelektronos Hilbert teret [3] .

A legegyszerűbb modellben a hidrogénszerű ionok atomi pályái a Schrödinger-egyenlet megoldásai gömbszimmetrikus potenciálban. Ebben az esetben a Coulomb-törvény által megadott potenciális energia :

V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}},

ahol

ε 0 - a vákuum permittivitása ,
Z a töltés száma (a protonok száma az atommagban),
e - elemi töltés (elektron töltés),
r az elektron távolsága az atommagtól.

Miután felírta a hullámfüggvényt függvények szorzataként:

\psi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )\,

( gömbi koordinátákban ), ahol gömbharmonikusok vannak , a következő Schrödinger-egyenlethez jutunk: $Y_{{lm}}$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2 }{\partial R(r) \over \partial r}\right)-{l(l+1)R(r) \over r^{2}}\right]+V(r)R(r)= Téved),

ahol a redukált elektrontömeg és a redukált Planck-állandó . $\mu$ $\hbar$

Az l különböző értékei különböző impulzusimpulzusú megoldásokat adnak , ahol l (egy nem negatív egész szám) a pálya szögimpulzusának kvantumszáma . Az m mágneses kvantumszám (amely kielégíti a feltételt ) a pálya szögimpulzusának vetülete a z tengelyre . $-l\leq m\leq l$

Nem relativisztikus hullámfüggvény és energia

Az l és m mellett egy harmadik n > 0 egész számot kapunk az R radiális hullámfüggvényre szabott peremfeltételekből . Az R és Y függvények , amelyek a fenti egyenlet megoldását adják, ezeknek az egész számoknak az értékétől függenek, amelyeket kvantumszámoknak nevezünk . A hullámfüggvényekhez általában olyan kvantumszámok értékeit rendelik, amelyektől függenek. A normalizált hullámfüggvény végső kifejezése:

\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi ),

R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu ))}\right)}^{3}{\frac {(nl-1) !}{2n[(n+l)!]}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right) ^{l}L_{nl-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right),

ahol

$L_{nl-1}^{2l+1}$ általánosított Laguerre-polinomok .
$a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2)) \over {\mu e^{2))}={\frac {\hbar c}{\ alfa \mu c^{2}}}={{m_{\mathrm {e} }} \over {\mu }}a_{0},$

ahol α a finomszerkezeti állandó . az atommag-elektron rendszer redukált tömege, azaz ahol az atommag tömege. Általános szabály, hogy az atommag sokkal nagyobb tömegű, mint az elektron, így (De a pozitrónium esetében )

\mu

\mu ={{m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }} \over {m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} }}},

{\displaystyle m_{\mathrm {N} ))

\mu \approx m_{\mathrm {e} }.

\mu =m_{\mathrm {e} }/2.

$E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^ {2}}}\jobbra){\frac {1}{n^{2}}}=-\left({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\ mu }^{2))}\right){\frac {1}{n^{2))}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2)) {2n^{2}}}.$
$Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ egy gömb harmonikus .

A szöghullámfüggvény miatti paritás egyenlő . ${\displaystyle {\left({-1}\right)}^{l))$

Kvantumszámok

Az n , l és m kvantumszámok egész számok, amelyek a következő értékeket veszik fel:

n=1,2,3,4,\pontok ,

l=0,1,2,\pontok ,n-1,

m=-l,-l+1,\ldots ,0,\ldots ,l-1,l.

Ezeknek a kvantumszámoknak az elméleti értelmezését ez a cikk tartalmazza . Ez a cikk többek között csoportelméleti indoklást ad, hogy miért és azt is $l<n\,$ $-l\leq m\leq \,l.$

Szögnyomaték

Minden atomi pálya egy L orbitális szögimpulzushoz kapcsolódik . Ez egy vektoroperátor és négyzetének L 2 ≡ L sajátértékei2
x+ L2 év _
+ L2z _
ként meghatározott

L^{2}Y_{lm}=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{lm}.

Ennek a vektornak egy tetszőleges irányra való vetülete kvantálva van . Ha egy tetszőleges irányt z - nek nevezünk , akkor a kvantálást a következőképpen határozzuk meg

L_{\mathrm {z} }Y_{lm}=\hbar mY_{lm},

ahol m a fent leírtak szerint korlátozott. Vegye figyelembe, hogy L 2 és L z ingázik , és közös sajátállapotuk van, ami összhangban van Heisenberg bizonytalansági elvével. Mivel L x és L y nem ingázik L z -vel , lehetetlen olyan állapotot találni, amely mindhárom komponens egyidejű sajátállapota. Ezért az x és y komponensek értékei nem pontosak, hanem egy véges szélességű valószínűségi függvény alapján adják meg. Az a tény, hogy a pálya szögimpulzus-vektorának x és y komponensei nem jól definiáltak, azt jelenti, hogy a pálya impulzusimpulzus-vektorának iránya sem definiált, bár a z -tengely menti komponense jól meghatározott .

Ezek az összefüggések nem adják meg az elektron teljes szögimpulzusát. A teljes impulzusimpulzus meghatározásához figyelembe kell venni az elektronok spinjét .

A szögimpulzus ezen kvantálása szorosan korrelál Niels Bohr (lásd Bohr-modell ) 1913-ban javasolt atommodelljével a hullámfüggvények ismerete nélkül.

A spin-pálya interakció engedélyezése

Valós atomban egy mozgó elektron spinje kölcsönhatásba léphet az atommag elektromos mezőjével relativisztikus hatások révén, ezt a jelenséget spin-pálya kölcsönhatásnak nevezik . Ha ezt a csatolást figyelembe vesszük, a spin és a pályamomentum már nem marad külön-külön, ami elektronprecesszióként ábrázolható . Ezért szükséges az l , m kvantumszámokat és az m s spin-projekciót olyan kvantumszámokkal helyettesíteni, amelyek a teljes impulzusmomentumot (a spint is beleértve): j és m j , valamint a kvantumparitásszámot reprezentálják .

A Dirac-egyenlet megoldása

1928-ban Paul Dirac angol fizikus levezetett egy egyenletet , amely a Schrödinger-egyenlettel ellentétben teljesen kompatibilis a speciális relativitáselmélettel . A hidrogénszerű atomokra vonatkozó Dirac-egyenletet ugyanabban az évben (egy ponttöltés körüli egyszerű Coulomb-potenciál feltételezésével) Walter Gordon oldotta meg . Egy (esetleg összetett) függvény helyett, mint a Schrödinger-egyenletben, négy komplex függvényt kell találni, amelyek a bispinort alkotják . Az első és második funkció (vagy spinor komponens) megfelel (szokásos alapon) a "spin-up" és "spin-down" állapotoknak, mint a harmadik és negyedik komponens esetében.

A „spin-up” és „spin-down” kifejezések a választott irányra utalnak, amely általában a z irány . Egy elektron nem csak az egyik tiszta állapotban lehet, hanem a felfelé és a lefelé forgási állapotok szuperpozíciójában is, ami egy másik irányba mutató forgástengelynek felel meg. A forgás állapota a helytől függhet.

Az atommag közelében lévő elektronnak, ahol a sebessége megközelítheti a relativisztikusat, szükségszerűen nem nulla amplitúdója van a harmadik és negyedik komponens számára. A magtól távolabb kicsik lehetnek, de a mag közelében nagyokká válnak.

A Hamilton sajátfüggvényei , i.e. bizonyos energiájú (és ezért stacionárius – nem fejlődnek az idővel, kivéve a fáziseltolódást) függvényeknek van energiája, amelyek nemcsak az n főkvantumszámtól függenek , mint a Schrödinger-egyenletnél, hanem a kvantumszámtól is. a teljes szögimpulzus j . A j kvantumszám három szögnyomaték négyzetének összegét határozza meg, amely egyenlő j · ( j + 1) -vel (megszorozva a Planck -állandó ħ 2 négyzetével ). Ezek a szögmomentumok magukban foglalják az orbitális impulzusmomentumot (a ψ szögfüggéséhez kapcsolódóan ) és a spinmomentumot (az elektron spin állapotához kapcsolódóan). Finomszerkezetnek nevezzük az azonos n főkvantumszámú állapotok energiáinak j eltérései miatti felosztását . A j teljes impulzusimpulzus kvantumszámának értéke 1/2 és n − 1/2 közötti tartományban van 1 -es lépéssel.

Egy adott állapot pályái két radiális és két szögfüggvény segítségével írhatók fel. A radiális függvények mind az n főkvantumszámtól, mind a k egész számtól függenek , a következőképpen definiálva:

k={\begin{cases}-j-{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}j=l+{\tfrac {1}{2)),\\+ j+{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}j=l-{\tfrac {1}{2)),\end{cases}}

ahol l az orbitális kvantumszám a 0 és n − 1 tartományban . A szögfüggvények k -tól és az m kvantumszámtól függenek, amely -j -től j -ig változik egységnyi lépésekben. Az állapotokat S, P, D, F stb. latin betűkkel jelöljük, hogy jelöljük azokat az állapotokat, amelyekben l egyenlő 0, 1, 2, 3 stb. (lásd a pályakvantumszámot ), az indexet j adja meg . Például az n = 4 állapotait a következő táblázat tartalmazza (ezeket n - nek kell megelőznie , például 4S 1/2 ):

	m = −7/2	m = −5/2	m = −3/2	m = −1/2	m = 1/2	m = 3/2	m = 5/2	m = 7/2
k = 3, l = 3		F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2
k = 2, l = 2			D3 /2	D3 /2	D3 /2	D3 /2
' 'k= 1,l = 1				P 1/2	P 1/2
k = 0
k = −1, l = 0				S 1/2	S 1/2
k = −2, l = 1			P 3/2	P 3/2	P 3/2	P 3/2
k = −3, l = 2		D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2
k = −4, l = 3	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2

Ezeket a megnevezéseket az m index is kiegészítheti . Az n főkvantumszámú állapotok száma 2 n 2 , amelyből bármely megengedett j - re 4 j + 2 állapot van, kivéve a legnagyobbat ( j = n − 1/2 ), amelyre csak 2 j van. + 1 állapot. Mivel minden adott n és j értékű pálya azonos energiájú a Dirac-egyenlet szerint, ezek képezik az alapját azon függvények terének, amelyeknek ez az energiája van – minden megengedett függvény ábrázolható ezen alapok szuperpozíciójaként. funkciókat.

Az energia n és | függvényében k | (ahol k modulusa definíció szerint j + 1/2 ) van

{\begin{array}{rl}E_{n\,j}&=\mu c^{2}\left(1+\left[{\dfrac {Z\alpha }{n-|k| +{\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}}\jobbra]^{2}\jobbra)^{-1/2}\\&\\&\ kb \mu c^{2}\left\{1-{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\dfrac {Z^{ 2}\alpha ^{2}}{n}}\left({\dfrac {1}{|k|}}-{\dfrac {3}{4n}}\right)\right]\right\}. \end{array}}

(Az energia természetesen a használt nullaponttól függ.) Megjegyezzük, hogy ha Z -t 137-nél nagyobbnak vesszük (nagyobb, mint bármely ismert elem nukleáris töltése), akkor az S négyzetgyöke alatt negatív értéket kapunk. 1/2 és P pályák 1/2 , ami azt jelenti, hogy nem léteznének. A Schrödinger-megoldás megfelel annak, hogy a második kifejezésben a belső zárójelet 1-gyel helyettesítjük. A hidrogén két legalacsonyabb halmazállapota közötti energiakülönbség pontossága a Schrödinger-oldatból számolva körülbelül 9 ppm ( 90 μ eV -tal kisebb, mint a hidrogén kísérleti értéke). körülbelül 10 eV ), míg a Dirac-egyenlet pontossága ugyanarra az energiakülönbségre körülbelül 3 milliomod (és több, mint a kísérleti érték). A Schrödinger-megoldás az állapot energiáját mindig valamivel nagyobb mértékben adja meg, mint a pontosabb Dirac-egyenlet. A Dirac-egyenlet bizonyos hidrogénszinteket elég pontosan megad (például a 4P 1/2 állapotra vonatkozó számítás csak 2⋅10 -10 eV -al nagyobb energiát ad, mint a kísérletben), mások valamivel kevésbé pontosak (például a számított a 2S 1/2 szint energiája 4⋅10 -6 eV -tal kisebb a kísérleti értéknél) [4] . A Schrödinger-megoldás helyett a Dirac-egyenlet használatából adódó energiaváltozás α 2 nagyságrendű, ezért α -t finomszerkezeti állandónak nevezzük .

A Dirac-egyenlet megoldása n , k és m kvantumszámokra a következőképpen alakul:

$\Psi ={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{k,m}(\theta ,\phi )\\if_{n,k} (r)r^{-1}\Omega _{-k,m}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{ -1}{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(2k+1)}}Y_{k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\- g_{n,k}(r)r^{-1}\operátornév {sgn} k{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(2k+1)))Y_{ k,m+1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}- m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-if_{n,k}(r)r^{-1}\operátornév { sgn} k{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(-2k+1)))Y_{-k,m+1/2}(\theta ,\phi ) \end{pmatrix}},$

ahol Ω s a jobb oldalon látható két gömbharmonikus függvény oszlopa. a gömbharmonikus függvényt jelöli $Y_{a,b}(\theta ,\phi )$

Y_{a,b}(\theta ,\phi )={\begin{cases}(-1)^{b}{\sqrt {{\frac {2a+1}{4\pi }}{ \frac {(ab)!}{(a+b)!}}}}P_{a}^{b}(\cos \theta )e^{ib\phi },&{\text{if }}a >0,\\Y_{-a-1,b}(\theta ,\phi ),&{\text{if }}a<0,\end{cases}}

hol vannak a kapcsolódó Legendre-polinomok . (Az Ω ezen definíciója magában foglalja azokat a gömbharmonikusokat, amelyek nem léteznek, például , de az előttük lévő tényező nulla.) ${\displaystyle P_{a}^{b))$ $Y_{0,1}$

Néhány sarokfunkciót az alábbiakban írtunk le. A normalizálási tényezőt a kifejezések egyszerűsítése érdekében elhagytuk.

\Omega _{-1,-1/2}\propto {\binom {0}{1)),

\Omega _{-1,1/2}\propto {\binom {1}{0)),

\Omega _{1,-1/2}\propto {\binom {(x-iy)/r}{z/r)),

\Omega _{1,1/2}\propto {\binom {z/r}{(x+iy)/r)).

Ez azt mutatja, hogy az S 1/2 ( k = −1) pályára a Ψ két felső komponense nulla orbitális impulzussal rendelkezik, mint a Schrödinger S-pályáé, de a két alsó komponens a P-pályákhoz hasonló pálya. Schrödingeré. A P 1/2 ( k = 1 ) megoldásban a helyzet megfordul. Mindkét esetben az egyes komponensek spinje kioltja a keringési impulzus impulzusát a z tengely körül , hogy a z tengely körüli teljes impulzusimpulzus megfelelő értéket adja meg .

A két spinor Ω engedelmeskedik az összefüggésnek:

\Omega _{k,m}={\begin{pmatrix}z/r&(x-iy)/r\\(x+iy)/r&-z/r\end{pmatrix}}\Omega _ {-k,m}.

Függvények írásához és egy új, skálázott ρ radiális változó definiálásához: $g_{n,k}(r)$ $f_{n,k}(r)$

\rho \equiv 2Cr

együtthatóval

C={\frac {\sqrt {\mu ^{2}c^{4}-E^{2))}{\hbar c)),

ahol E a fent leírt energia ( ). A γ -t így definiáljuk $E_{n\,j}$

\gamma \equiv {\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}.

Ha k = − n (ami egy adott n esetén a lehetséges j maximális értékének felel meg - olyan eset, amely olyan pályákra valósul meg, mint 1S 1/2 , 2P 3/2 , 3D 5/2 ...), akkor és szintén képletek alapján találjuk meg $g_{n,k}(r),$ $f_{n,k}(r)$

g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma )\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2},

f_{n,-n}(r)=AZ\alpha \rho ^{\gamma }e^{-\rho /2},

ahol A egy normalizációs állandó, beleértve a gamma-függvényt

A={\frac {1}{\sqrt {2n(n+\gamma )}}}{\sqrt {\frac {C}{\gamma \Gamma (2\gamma )))}.

Figyeljük meg, hogy az α Z -tényező miatt az f ( r ) függvény kicsi a g ( r ) -hez képest a nem túl nagy töltésű atommagok esetében. Vegye figyelembe azt is, hogy ebben az esetben az energiát a közelítés adja meg

E_{n,n-1/2}={\frac {\gamma }{n}}\mu c^{2}={\sqrt {1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n^{2}}}}}}\,\mu c^{2}

a C radiális csillapítási állandó pedig az

C={\frac {Z\alpha }{n}}{\frac {\mu c^{2}}{\hbar c}}.

Általános esetben (amikor k nem egyenlő -n - nel ), és két általánosított Laguerre-polinomon alapul, amelyek sorrendje és : $g_{n,k}(r)$ $f_{n,k}(r)$ $n-|k|-1$ $n-|k|$

g_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho L_{n-|k|-1}^{ 2\gamma +1}(\rho )+(\gamma -k){\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC))L_{n-|k|}^{2 \gamma -1}(\rho )\jobbra),

f_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left((\gamma -k)\rho L_{n-|k|-1 }^{2\gamma +1}(\rho )+Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC))L_{n-|k|}^{2 \gamma -1}(\rho )\jobbra).

Az A normalizációs állandót itt úgy definiáljuk

A={\frac {1}{\sqrt {2k(k-\gamma )}}}{\sqrt ({\frac {C}{n-|k|+\gamma }}{\frac { (n-|k|-1)!}{\Gamma (n-|k|+2\gamma +1)}}{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {Ek }{\gamma \mu c^{2}}}\jobbra)^{2}+{\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\jobbra))).

F ismét kicsi g -hez képest (kivéve a nagyon kis r -t ), mert ha k pozitív, akkor a zárójelben szereplő összeg első tagja dominál, és α nagy a γ- k -hoz képest , ha pedig k negatív, akkor a második kifejezés dominál, és α kicsi a γ − k -hoz képest . Megjegyzendő, hogy a domináns tag meglehetősen hasonló a megfelelő Schrödinger-megoldáshoz – a Laguerre-polinom felső indexe valamivel kisebb ( 2 γ + 1 vagy 2 γ − 1 a 2 l + 1 helyett , ami a legközelebbi egész szám), csakúgy, mint a ρ hatványa ( γ vagy γ − 1 l helyett , a legközelebbi egész szám). Az exponenciális bomlás valamivel gyorsabb, mint a Schrödinger-megoldásban.

1S orbitális

Orbital 1S 1/2 , felpörgetés, normalizálási állandó elhagyásával:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\0\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e ^{-Cr}z/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy)/r\end{pmátrix}}.

Figyeljük meg, hogy γ valamivel kisebb, mint 1, tehát a csúcsfüggvény hasonló r exponenciálisan csökkenő függvényéhez , kivéve a nagyon kicsi r -t , ahol elméletileg a végtelenbe megy. De az érték csak akkor haladja meg a 10-et, ha az r értéke kisebb ennél a nagyon kis számnál (sokkal kisebb, mint a proton sugara), kivéve, ha Z nagyon nagy. $r^{\gamma -1}$ $10^{1/(\gamma -1)},$

Az 1S 1/2 orbital lefelé forgása, a normalizációs állandó elhagyásával, a következő formában van:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}0\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e ^{-Cr}(x-iy)/r\\-iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\end{pmátrix)).

Összekeverhetjük őket, hogy szuperpozíciós pályákat kapjunk valamilyen más irányban forgásirányban, például:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e ^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{- Cr}(x+iy-z)/r\end{pmátrix}},

amely megfelel az x tengely mentén irányított spinnek és szögimpulzusnak . Ha összeadunk egy i -vel megszorzott pörgőpályát egy felpörgető pályával, akkor egy y - orientált pályát kapunk .

2P 1/2 - és 2S 1/2 -pálya

Vegyünk egy másik példát. 2P 1/2 -pálya, felpörgés, arányos

\Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac { \gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\ jobb)(x+iy)/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma -1)\rho +Z\alpha {\frac {\ gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\jobbra)\\0\end{pmatrix}}.

(Emlékezzünk rá, hogy ρ = 2 rC . A C radiális csillapítási állandó fele az 1S pályán lévőnek (mivel a főkvantumszám kétszer akkora), de γ ugyanaz marad (mivel k 2 ugyanaz).

Vegye figyelembe, hogy ha ρ kicsi α -hoz képest (vagy r kicsi -hez képest ), az "S" típusú orbitális (a bispinor harmadik komponense) dominál. $\hbar c/(\mu c^{2})$

A 2S 1/2 orbitálnál forgasd felfelé, megvan

\Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma +1){\frac { \gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\jobbra)\\0\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\ rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma ) \right)z/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\end{pmatrix}}

Most az első komponens S-szerű, és ρ = 2 körül van egy távolság, ahol eltűnik, míg az alsó kétkomponensű rész P-szerű.

Negatív energia megoldások

A kötött állapotok mellett, amelyekben az energia kisebb, mint egy elektron energiája a végtelenben az atommagból, léteznek a Dirac-egyenletnek nagyobb energiájú megoldásai is, ami megfelel az atommaggal kölcsönhatásba lépő kötetlen elektronnak. Ezek a megoldások nem normalizálódnak egyre, de találhatunk olyan megoldásokat, amelyek nullára mennek, miközben r a végtelenbe megy (ami nem lehetséges, ha a fenti korlátos állapotú E értékeket nem). Vannak hasonló megoldások a következővel is. Ezek a negatív energiájú megoldások hasonlóak az ellenkező energiájú pozitív energiájú megoldásokhoz, de arra az esetre, amikor az atommag taszítja az elektront ahelyett, hogy vonná, azzal az eltéréssel, hogy a két felső komponens megoldása megfordul az oldatokkal. a két alsóért. $|E|<\mu c^{2},$ $E<-\mu c^{2}.$

A Dirac-egyenlet negatív energiájú megoldásai léteznek még az atommag által létrehozott Coulomb-erő hiányában is. Dirac azt javasolta, hogy ezen állapotok szinte mindegyikét már betöltöttnek tekinthetjük (lásd Dirac-tenger ). Ha ezen negatív energiaállapotok egyike nincs kitöltve, az elektronként jelenik meg, amelyet a pozitív töltésű atommag taszít . Ez arra késztette Diracot, hogy feltételezze a pozitív töltésű elektronok létezését, és előrejelzését megerősítette a pozitron felfedezése .

A Dirac-egyenlet Gordon-megoldásának alkalmazhatósági határai

Nem a pontszerű, nem mágneses mag által létrehozott egyszerű Coulomb-potenciállal rendelkező Dirac-egyenlet volt az utolsó szó, és az előrejelzései eltérnek a kísérleti eredményektől, amint azt korábban említettük. A pontosabb eredmények közé tartozik a Lamb-eltolódás ( a kvantumelektrodinamikából származó sugárzási korrekciók ) [5] és a hiperfinom szerkezet .

Jegyzetek

↑ Hidrogénszerű atomok // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effektus - Hosszú sorok. - S. 300. - 707 p. — 100.000 példány.
↑ A kvantumkémiában az orbitál az "egyelektronos függvény" szinonimája, amely integrálható a , , függvény négyzetével . $x$ $y$ $z$
↑ Ezt még 1928-ban vette észre a norvég teoretikus, Egil Hilleros: Hylleraas EA Über den Grundzustand des Heliumatoms (német) // Zeitschrift für Physik. - 1928. - Bd. 48 . - S. 469-494 . - doi : 10.1007/BF01340013 . - .
Később ezt a tényt 1955-ben ismét feljegyezték a műben: Shull H., Löwdin P.-O. A kontinuum szerepe a konfigurációk szuperpozíciójában // J. Chem. Phys.. - 1955. - Vol. 23 . - 1362. o . - doi : 10.1063/1.1742296 .
↑ Számítások a Felix Nendzig 4.1 táblázatából. A hidrogénatom kvantumelmélete . Letöltve: 2013. október 20. Az eredetiből archiválva : 2013. október 20.. (határozatlan)
↑ A sugárzási korrekciók számításával kapcsolatban lásd F. Nendzig fent idézett könyvének 6. részét.

Irodalom

Teschl G. Matematikai módszerek a kvantummechanikában; Alkalmazásokkal a Schrödinger operátorok számára . - American Mathematical Society , 2009. - ISBN 978-0-8218-4660-5 .
Tipler P., Llewellyn R. Modern fizika. - 4. kiadás - New York: W. H. Freeman and Company, 2003.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz Universalis