Valódi projektív sík

A projektív sík fundamentális sokszöge	Az egyélű Möbius szalag a projektív síkba zárható, ha az ellentétes éleket összeragasztjuk.	Összehasonlításképpen a Klein-palack egy hengerbe zárt Möbius-szalag.

A valódi projektív sík egy kompakt , orientálatlan 2 - sokató , más szóval egyoldalas felület egy példája . A projektív sík nem ágyazható be a hétköznapi háromdimenziós térbe önmetszés nélkül. Ennek a síknak a fő alkalmazási területe a geometria , mivel a valós projektív sík fő konstrukciója az R 3 -ban lévő, origón áthaladó egyenesek tere.

A síkot gyakran topologikusan írják le a Möbius szalag alapján történő felépítés szempontjából - ha a Möbius szalag (egyetlen) élét a megfelelő irányban magához ragasztod, akkor egy projektív síkot kapsz (ezt háromdimenziós térben nem lehet megtenni) ). Ezzel egyenértékűen, ha egy Möbius-szalag határára kört ragasztunk, projektív síkot kapunk. Topológiailag a felület Euler-karakterisztikája 1, mivel a félnemzetség (nem orientálható vagy Euler-nemzetség) 1.

Mivel a Möbius-szalag pedig négyzetből is megszerkeszthető úgy , hogy annak két oldalát összeragasztjuk, a valós projektív sík egységnégyzetként ábrázolható (azaz [0,1] × [0,1]), amelyben az oldalakat a következő relációs egyenértékűség azonosítja :

(0,y)\sim (1,1-y),0\leqslant y\leqslant 1

és

(x,0)\sim (1-x,1),0\leqslant x\leqslant 1

mint a fenti bal oldali képen.

Példák

A projektív geometria nem feltétlenül a görbületről szól, és a valós projektív síkot sokféleképpen el lehet csavarni és elhelyezni az euklideszi síkban vagy a háromdimenziós térben [1] . Az alábbiakban néhány fontos példát mutatunk be a síkba ágyazásra.

A projektív sík nem ágyazható be (metszéspontok nélkül) a háromdimenziós euklideszi térbe . Ennek bizonyítása valahogy így hangzik: Tegyük fel, hogy a sík beágyazott, akkor a projektív sík a háromdimenziós euklideszi tér egy kompakt tartományát határolja az általánosított Jordan-tétel szerint . A kifelé irányuló egységvektormező ezután meghatározza a sokaság határának tájolását , de a sokaság határa a projektív sík , amely nem orientálható. Ellentmondásunk van.

Projektív gömb

Tekintsünk egy gömböt , a gömb nagy körei legyenek „egyenesek”, az antipodális pontok párjai pedig „pontok”. Könnyen ellenőrizhető, hogy a rendszer megfelel-e a projektív sík axiómáinak :

bármely pár különálló nagykör metszi egymást egy pár antipodális pontban
bármely két különálló antipodális pontpár egyetlen nagykörön fekszik

Ha a gömb bármely pontját azonosítjuk annak antipodális pontjával, akkor a valós projektív sík reprezentációját kapjuk, amelyben a projektív sík "pontjai" valós pontok. Ez azt jelenti, hogy a projektív sík a gömb hányadostere, amelyet úgy kapunk, hogy a gömböt ekvivalenciaosztályokra osztjuk a relációval , ahol ha y = −x. Ez a hányadostér homeomorf az R 3 origóján átmenő összes egyenes halmazával . $\sim$ $x\sim y$

A gömbből a valós projektív síkra való faktorleképezés valójában egy kétlapos (vagyis kettő az egyhez) lefedés . Ebből következik, hogy a valós projektív sík alapcsoportja egy 2. rendű ciklikus csoport. A fenti ábrán látható AB ciklust vehetjük generátornak.

Projektív félteke

Mivel a gömb kétszer fedi le a valós projektív síkot, a projektív síkot zárt félgömbként ábrázolhatjuk, amelyben a perem ellentétes pontjait azonosítjuk [2] .

Battle Surface - Merülés

A projektív sík háromdimenziós térbe meríthető (a definíciós tartomány helyi szomszédságai nem rendelkeznek önmetszésponttal) . A Boi felülete egy példa az ilyen merítésre.

A poliéderes példáknak legalább kilenc lappal kell rendelkezniük [3] .

római felszín

A Steiner római felület a projektív sík degenerált leképezése a Möbius-sávot tartalmazó háromdimenziós térbe.

A poliéderábrázolás a tetrahemihexaéder [4] , amelynek általános alakja megegyezik a Steiner felületével.

Félpoliéder

A másik irányban néhány absztrakt szabályos poliéder , a félkocka , félidodekaéder és félikozaéder figuraként szerkeszthető a projektív síkban . Lásd a " Projektív poliéder " cikket.

Síkvetületek

A projektív sík különböző síkbeli vetületeit vagy vetületeit leírták. 1874-ben Klein leírta a térképezést [1] $k(x,y)={\sqrt {1+x^{2}+y^{2}}}.(x,y)$

A projektív félgömb síkra vetítése a szokásos végtelen projektív síkot adja, amelyet alább ismertetünk.

Möbius szalag

Ha a kört a Möbius szalaggal felragasztjuk , zárt felületet kapunk. Ez a felület paraméteresen ábrázolható a következő egyenletekkel:

X(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\cos u,

Y(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\sin u,

Z(u,v)=-\mathrm {th} \,\left(u-\pi \right)\,r\,\sin v,

ahol u és v 0-tól 2 π -ig fut . Ezek az egyenletek hasonlóak a tórusz egyenleteihez . Az 1. ábrán egy zárt korong látható Möbius csíkkal.

1. ábra Möbius-szalaggal ellátott lemez két nézete.

A Möbius-szalaggal rendelkező korongnak van egy szimmetriasíkja , amely egy metszéspontokkal rendelkező szakaszon halad át (az ábrán a sík vízszintes lesz). Az 1. ábrán a Möbius szalagkorong felülről látható a z = 0 szimmetriasíkhoz képest , de alulról nézve pontosan ugyanúgy fog kinézni.

A Möbius-csíkkal rendelkező korong a szimmetriasík mentén vágható azzal a feltétellel, hogy ne legyen kettős pont. Az eredmény a 2. ábrán látható.

2. ábra Egy Möbius-csíkkal ellátott, feldarabolt korong két nézete.

Ilyen körülmények között látható, hogy egy Möbius-csíkkal feldarabolt korong homeomorf egy önmagát metsző koronggal, amint az a 3. ábrán látható.

3. ábra: Egy önmetsző lemez két különböző nézete.

Az önmetsző lemez homeomorf egy közönséges lemezhez. Egy önmetsző lemez paraméteres egyenlete:

X(u,v)=r\,v\,\cos 2u,

Y(u,v)=r\,v\,\sin 2u,

Z(u,v)=r\,v\,\cos u,

ahol u 0-tól 2-ig π , v pedig 0-tól 1-ig fut.

Egy önmagát metsző korong szimmetriasíkra ( a fenti paraméterezésnél z = 0), amely csak kettős pontokon halad át, egy önmagát ismétlődő (magára ráhajtható) szabályos korong vetítése.

A z = 0 sík az önmetsző korongot olyan korongokra vágja, amelyek egymás tükörképei . A lemezek az origó közepén helyezkednek el .

Tekintsük most a lemeztárcsákat ( v = 1-gyel). Az önmetsző korong peremén lévő pontok páronként egymásnak a z = 0 síkon való visszaverődéseként jönnek létre.

A Möbius-csíkkal ellátott korong ezen pontpárok azonosításával jön létre. Ez azt jelenti, hogy az ( u ,1) paraméterekkel és koordinátákkal rendelkező pontot egy ( u + π,1) ponttal azonosítjuk, amelynek koordinátái . Ez azonban azt jelenti, hogy egy (egyenértékű) közönséges korong peremén ellentétes pontok párjait azonosítják. Így a korongból egy valós projektív sík keletkezik, így az 1. ábrán látható felület (a korong a Möbius-szalaggal) topológiailag ekvivalens az RP 2 valós projektív síkkal . $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,r\,\cos u)$ $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,-r\,\cos u)$

Homogén koordináták

A sík pontjai homogén koordinátákkal ábrázolhatók . A pontnak homogén koordinátái vannak , míg a és koordinátái ugyanannak a pontnak felelnek meg t minden nullától eltérő értékénél . A koordinátákkal rendelkező pontok a szokásos valós síkot jelölik , amelyet a projektív sík véges részének neveznek , a koordinátákkal rendelkező pontokat pedig a végtelenben lévő pontoknak vagy az ideális pontoknak nevezzük , amelyek egy egyenest alkotnak, amelyet a végtelenben lévő egyenesnek . A homogén koordináták egyetlen pontot sem képviselnek. $[x:y:z]$ $[x:y:z]$ $[tx:ty:tz]$ $[x:y:1]$ $[x:y:0]$ $[0:0:0]$

A síkban lévő egyenesek homogén koordinátákkal ábrázolhatók. Az R 3 síknak megfelelő projektív egyenesnek homogén koordinátái vannak . Így ezeknek a koordinátáknak ekvivalencia relációja van d minden nullától eltérő értékére . Ez annak a következménye, hogy ugyanazon egyenes egyenlete ugyanazokat a homogén koordinátákat adja. Egy pont egy egyenesen fekszik, ha . Így azok az egyenesek, amelyekben a és b nem egyenlő 0-val, a közönséges valós sík egyeneseinek felelnek meg , mivel olyan pontokat tartalmaznak, amelyek nem a végtelenben fekszenek. A koordinátákkal ellátott egyenes egy végtelenben lévő egyenes, mivel csak olyan pontok vannak rajta, amelyekre . $ax+by+cz=0$ $(ABC)$ $(a:b:c)=(da:db:dc)$ $dax+dby+dcz=0$ $[x:y:z]$ $(ABC)$ $ax+by+cz=0$ $(ABC)$ $(0:0:1)$ $z=0$

Pontok, egyenesek és síkok

Egy egyenes a P 2 síkban ábrázolható az egyenlettel . Ha a , b és c -t tekintjük g oszlopvektornak és x , y , z -t x oszlopvektornak , akkor a fenti egyenlet így írható fel: $ax+by+cz=0$

\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0

vagy .

\mathbf {g} ^{T}\mathbf {x} =0

A vektoros jelölés használatával ehelyett írhatunk

\mathbf {x} \ldots \mathbf {g} =0

vagy .

\mathbf {g} \ldots \mathbf {x} =0

Az egyenlet (ahol k egy nem nulla skalár) kisöpör egy síkot, amely átmegy az R 3 origón , és k ( x ) ismét kihúz egy egyenest az origón keresztül. A sík és az egyenes lineáris alterek az R 3 , amelyek mindig az origón haladnak át. $k(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} )=0$

Ideális pontok

P 2 - ben egy egyenes egyenlete , és ez az egyenlet bármely, az x , y síkkal párhuzamos síkon lévő egyenest ábrázolhat, ha az egyenletet k -val megszorozzuk . $ax+by+c=0$

Ha z = 1, akkor normalizált homogén koordinátákat kaptunk. Minden olyan pont, amelyre z = 1 síkot hoz létre. Képzeljük el, hogy ezt a síkot nézzük (a z tengely mentén távolabbi pontból és az origó felé nézünk), és a síkon két párhuzamos egyenes van. Szempontból a síknak csak egy részét láthatjuk (a látás tulajdonságai miatt), ami az ábrán pirossal van kiemelve. Ha a z tengely mentén eltávolodunk a síktól (miközben továbbra is az origó felé nézünk), akkor a sík nagy részét láthatjuk. Nézetrészletünk kiindulópontjai mozognak. Ezt a mozgást úgy tudjuk tükrözni, hogy a homogén koordinátákat elosztjuk egy konstanssal. Az ábrán elosztottuk 2-vel, így a z -érték most 0,5. Ha elég messze megyünk, a kérdéses terület ponttá változik. Ahogy távolodunk, egyre szélesebben látjuk az egyeneseket, míg a párhuzamos egyenesek a végtelenben metszik egymást (az origón átmenő egyenes a z \u003d 0 síkon). A z = 0 síkon lévő egyenesek ideális pontok. A z = 0 sík egy egyenes a végtelenben.

Egyenletes koordinátákkal (0, 0, 0) az a pont, ahol minden valós pont konvergál, ha a síkot a végtelen felől nézzük, és a síkon lévő egyenes z = 0) az az egyenes, ahol az összes párhuzamos egyenes metszi egymást.

Kettősség

Az egyenletben két oszlopvektor található . Módosíthat egy másikat, miközben az egyik oszlopot állandóan tartja. Ha az x pontot állandónak tartjuk, és megváltoztatjuk a g együtthatókat , akkor a ponton áthaladó új egyeneseket hozunk létre. Ha az együtthatókat állandóan tartjuk, és megváltoztatjuk azokat a pontokat, amelyek kielégítik az egyenletet, akkor egyenest hozunk létre. Az x -et pontként kezeljük , mert az általunk használt tengelyek x , y és z . Ha ehelyett az a , b , c tengelyeket használjuk együtthatóként , akkor a pontokból egyenesek, az egyenesek pedig pontokká válnak. Ha bebizonyítunk valamilyen tényt adatok grafikus ábrázolására az x , y és z tengelyeken , akkor ugyanez az érvelés használható az a , b és c tengelyekre is . Ezt dualitásnak hívják. $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$

Pontokat és egyenesek metszéspontjait összekötő egyenesek (dualitás felhasználásával)

Az egyenlet kiszámítja két oszlopvektor pontszorzatát . Két vektor pontszorzata nulla, ha a vektorok ortogonálisak . A P 2 síkban az x 1 és x 2 pontok közötti egyenes egy g oszlopvektorként ábrázolható, amely kielégíti a és az egyenleteket , vagy más szóval egy g oszlopvektorként, amely merőleges az x 1 és x vektorokra. 2 . A keresztszorzat talál egy ilyen vektort - a két pontot összekötő egyenesnek homogén koordinátái vannak, amelyeket a - egyenlet ad meg . Két egyenes metszéspontja ugyanúgy, a dualitás felhasználásával megkereshető az egyeneseket reprezentáló vektorok keresztszorzataként . $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{1}^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{2}^{T}\mathbf {g} =0$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{1}\times \mathbf {g} _{2))$

Beágyazás 4 dimenziós térbe

A projektív sík 4 dimenziós euklideszi térbe van ágyazva. A valós projektív P 2 ( R ) sík a 2-gömb hányadostere

S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}3:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \}

antipodális relációban . Tekintsünk egy függvényt , amely így van megadva . Ez a leképezés egy olyan leképezésre korlátozódik, amelynek tartománya S 2 , és mivel mindegyik tag egy páros fokú homogén polinom, az S 2 gömb mindkét antipodális pontjában ugyanazokat az értékeket veszi fel R 4 -ben . Ez adja a kijelzőt . Ráadásul ez a leképezés egy melléklet. Vegye figyelembe, hogy ez a beágyazás lehetővé teszi az R3 - ba való vetítést , amely római ${\megjelenítési stílus (x,y,z)\sim (-x,-y,-z)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}\rightarrow \mathbf {R} ^{4))$ $(x,y,z)\mapsto (xy,xz,y^{2}-z^{2},2yz)$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(\mathbf {R} )\rightarrow \mathbf {R} ^{4))$

Magasabb félnemzetség nem tájolható felületei

A projektív síkok egymás utáni ragasztásával magasabb félgenusú nem tájolható felületeket kapunk . A ragasztási folyamat abból áll, hogy minden felületről levágunk egy kis korongot, és azonosítjuk ( ragasztással ) a határokat. Két projektív sík ragasztása egy Klein-palackot ad .

Az alapsokszögről szóló cikk egy magasabb félgenus nem orientálható felületeit írja le.

Lásd még

Valódi projektív tér
projektív tér
Sima projektív tér

Jegyzetek

↑ 1 2 Apéry, 1987 .
↑ Hetek, 2002 , p. 59.
↑ Brehm, 1990 , p. 51-56.
↑ Richter .

Irodalom

Apery F. A valós projektív sík modelljei. - Vieweg, 1987. - ISBN 9783528089559 .
Coxeter HSM Az igazi projektív sík. — 2. kiadás. – Cambridge: Az Egyetemi Kiadónál, 1955.
Reinhold Baer. Lineáris algebra és projektív geometria. - Dover, 2005. - ISBN 0-486-44565-8 .
David A. Richter. A valódi projektív sík két modellje .
Hetek J. A tér alakja. - Marcel Dekker, Ine, 2002. - (MONOGRAFIÁK ÉS TANKÖNYVEK A tiszta és alkalmazott matematikából). — ISBN 0-8247-0709-5 .
Brehm U. Hogyan készítsünk minimális poliéderes modelleket a Boy felületről // A matematikai intelligencia. - 1990. - T. 12 , sz. 4 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Real Projective Plane (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Vonalmező színezés a Werner Boy valódi projektív síkmerítésével
Az igazi projektív sík a YouTube-on

Kompakt felületek és elmerüléseik a háromdimenziós térben

Egy kompakt háromszögletű felület homeoformitási osztályát az orientálhatóság, a határkomponensek száma és az Euler-karakterisztika határozza meg.

Nincs határ

Tájékozódható	Gömb (0. nemzetség) Thor (1. nemzetség) "Nyolc" (2. nemzetség) " Perec " (3. nemzetség) ...
Nem tájékozódó	Valódi projektív sík 1. nemzetség; Battle Surface római felszín Klein palack (2. nemzetség) Dick felület (3. nemzetség) ...

szegéllyel

Korong
- félteke
Szalag
- Gyűrű
- Henger
A Mobius szalag
- Möbius szalag
Három lyukú gömb...

Kapcsolódó
fogalmak

Tulajdonságok	Kapcsolódás tömörség Háromszögelés vagy simaság Tájékozódás
Jellemzők	A határelemek száma Nemzetség Euler-jellemző
Tevékenységek	Összekapcsolt összeg lyukvágás A fogantyú felragasztása A Möbius szalag rögzítése elmerülés