Bilineáris transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. március 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A bilineáris transzformáció (vagy a nyugati irodalomban Tustin - módszer-transzformáció ) egy konform leképezés , amelyet lineáris stacionárius rendszer (például vezérlőrendszer korrekciós eleme , elektronikus szűrő stb.) átviteli függvényének átalakítására használnak . formát egy lineáris rendszer átviteli függvényébe diszkrét formában. $Van)\$ $H_{d}(z)\$

Az s-síkon lévő -tengelypontokat, , egy egységsugarú körre képezi le a z-síkon . $j\omega\$ $Re[s]=0\$ $|z|=1\$

Ez a transzformáció megőrzi az eredeti folytonos rendszer stabilitását, és az átviteli függvényének minden pontján létezik. Ez azt jelenti, hogy az eredeti rendszer átviteli függvényének vagy AFC-jének minden pontjához van egy hasonló pont a diszkrét rendszer azonos fázisával és amplitúdójával. Ez a pont azonban más frekvencián is elhelyezkedhet . A frekvenciaeltolási hatás alacsony frekvenciákon szinte észrevehetetlen, a Nyquist -frekvenciához közeli frekvenciákon viszont jelentős .

A bilineáris transzformáció egy függvény, amely közelíti a természetes logaritmust , ami egy pontos leképezés a z-síkról az s-síkra. Ha a Laplace - transzformációt diszkrét jelre alkalmazzuk (mintasorozatot reprezentál), az eredmény egy Z-transzformáció a változók változásáig:

$z\$ $=e^{{sT}}\$ $={\frac {e^{{sT/2}}}{e^{{-sT/2}}}}\$ $\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\ ,$

ahol a mintavételi időszak (a mintavételi gyakoriság reciproka ). $T\$

A fent megadott közelítés egy bilineáris transzformáció.

Az s-síkról a z-síkra való inverz transzformációt és annak bilineáris közelítését a következőképpen írjuk fel:

$s\$ $={\frac {1}{T}}\ln(z)\$ $={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1} {z+1}}\jobbra)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\jobbra)^{5}+{ \frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\lpontok \jobbra]\$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\approx \$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\ .$

A bilineáris transzformáció ezt a kapcsolatot használja az átviteli függvény diszkrét megfelelőjére cserélésére: $Van)\$

s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\ ,

vagyis:

H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1} }}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ .

A bilineáris transzformáció a Möbius-transzformáció egy speciális esete , amelyet a következőképpen definiálunk:

z^{\prime }={\frac {az+b}{cz+d}}\ .

Források

1. (elérhetetlen link) a p. 47

2. fejezet 3.2.2 Bilineáris transzformációs módszer

IIR szűrő átviteli karakterisztikájának kiszámítása egy prototípus analóg szűrő alapján. Bilineáris transzformáció . Letöltve: 2010. november 15. (Orosz)

Digitális jelfeldolgozás
Elmélet	Jel diszkrét jel Kotelnyikov tétele A statisztikai becslések elmélete Jelészlelési elmélet
alszakaszok	Digitális audiojel feldolgozás Az automatikus vezérlés elmélete Digitális képfeldolgozás Beszédfeldolgozás Statisztikai jelfeldolgozás
Technikák	Diszkrét Fourier transzformáció (DFT) Idő diszkrét Fourier transzformáció (DTFT) Impulzusválasz Bilineáris transzformáció Konzisztens Z-transzformáció Módosított Z-transzformáció
Mintavétel	Szupermintavétel almintavétel Felbontás csökkentése Felbontás növelése Aliasing szűrő Mintavételi gyakoriság Nyquist frekvencia