K-elmélet

A K-elmélet egy matematikai elmélet, amely a vektorkötegek által generált gyűrűket vizsgálja topológiai tereken vagy sémákon . Az algebrai topológiában ezt az általánosított kohomológia elméletet topológiai K-elméletnek nevezik . Az algebrában és az algebrai geometriában a megfelelő ágat algebrai K-elméletnek nevezik. Az operátoralgebrákban is fontos szerepet játszik, és a nagy mátrixok bizonyos típusú invariánsainak elméletének tekinthető [1] .

A K-elmélet magában foglalja a K- funktorok családjainak felépítését, amelyek topológiai tereket vagy sémákat képeznek le a megfelelő gyűrűkre; ezek a gyűrűk az eredeti terek vagy sémák szerkezetének néhány aspektusát tükrözik. Akárcsak az algebrai topológiában használt csoportok kategóriájában lévő funktorok esetében , ez a funkcionális leképezés megkönnyíti néhány topológiai tulajdonság kiszámítását a leképezett gyűrűkből, mint az eredeti terekből vagy sémákból. A K-elmélet megközelítéséből származó eredmények példái közé tartozik a Grothendieck–Riemann–Roch-tétel, a Bott-periodikus, az Atiyah–Singer indextétel és az Adams-műveletek.

A nagyenergiás fizikában a K-elméletet, és különösen a torziós K-elméletet használják a II. típusú húrelméletben, ahol azt javasolták, hogy osztályozzák a D-bránokat , a Ramond-Ramond térerősségeket és néhány spinort általánosított alapján. összetett elosztók .

A kondenzált anyag fizikában a K-elméletet a topológiai szigetelők , szupravezetők és stabil Fermi-felületek osztályozására használták .

Grothendieck konstrukciója

Grothendieck konstrukciója szükséges komponens a K-elmélet felépítéséhez. Legyen monoid. Jelölje a következő ekvivalenciareláció on $(A,+')$ $\sim$ $A\times A:$

(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})

ha létezik olyan, hogy Akkor a halmaz csoportstruktúrája , ahol: $c\in A,$ $a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.$ $G(A)=A\times A/\sim$ ${\megjelenítési stílus (G(A),+)}$

[(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+' b_{2})]

Az ebbe a csoportba tartozó ekvivalenciaosztályokat egy Abeli-monoid elemeinek formális különbségeinek kell tekinteni.

A csoport jobb megértéséhez vegyük figyelembe az Abeli-monoid ekvivalenciaosztályait . A monoid egységét jelöljük . Először is bármely , mivel feltehetjük és alkalmazhatjuk a get ekvivalenciarelációból származó egyenlőséget . Azt jelenti ${\megjelenítési stílus (A,+)}$ $0$ $(0,0)\sim (n,n)$ $n\in A$ $c=0$ $n=n$

[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=0

ezért van egy additív inverze minden elemére a -ban . Ezért az ekvivalenciaosztályokat formális különbségeknek tekinthetjük . Egy másik hasznos megfigyelés az ekvivalenciaosztályok invarianciája a skálázás alatt: $G(A)$ $[(a,b)]\in G(A)$ $ab$

{\megjelenítési stílus (a,b)\sim (a+k,b+k)}

mindenkinek

k\in A

A Grothendieck konstrukció funkcionálisnak tekinthető . Konjugált marad a megfelelő felejtési függvényhez képest, vagyis ha egy Abel-monoid, egy Abel-csoport, akkor az Abeli-monoidok minden homomorfizmusa társítható egy egyedi csoporthomomorfizmushoz . $G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp}$ $U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .$ $A$ $B$ $\phi :A\to U(B)$ $G(A)\to B$

Jó példa erre az Abeli monoid , a természetes számok halmaza. Ezt láthatjuk . Bármely pár esetén a skálázási invariancia segítségével megtalálhatjuk a minimális reprezentációt . Például, $\mathbb {N}$ $G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)$ $(a,b)$ $(a',b')$

(4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)

Általában, ha beállítjuk , akkor azt találjuk $k=\min\{a,b\}$

{\megjelenítési stílus (a,b)\sim (ak,bk)}

, amelynek a formája ill

{\megjelenítési stílus (c,0)}

(0,d).

Ez megmutatja, hogy mit tekinthetünk pozitív egésznek és -- negatív egész számnak. ${\displaystyle(a;0)}$ ${\megjelenítési stílus (0,b)}$

Definíciók

A K-elméletnek számos alapvető definíciója létezik: kettő a topológiából és kettő az algebrai geometriából.

Legyen egy kompakt Hausdorff topológiai tér . Jelölje a véges dimenziós vektorkötegek halmazát az izomorfizmusig, és jelölje egy vektorköteg izomorfizmus osztályát -val . Mivel a vektorkötegek izomorfizmusosztályai jól viselkednek a közvetlen összegekkel szemben, két elem közvetlen összegét definiálhatjuk így $x$ ${\text{Vect}}(X)$ $x$ $\pi :E\to X$ $[E]$ ${\text{Vect}}(X)$

[E]\oplus [E']=[E\oplus E']

Nyilvánvaló, hogy egy Abeli-monoidról van szó, ahol az azonosságot a triviális vektorköteg adja meg . Ezután Grothendieck konstrukcióját alkalmazhatjuk, hogy ebből az Abeli monoidból egy Abel-csoportot kapjunk. Ezt a csoportot K-elméletnek nevezik, és jelölése . $({\text{Vect}}(X),\oplus )$ $\mathbb {R} ^{0}\times X\to X$ $x$ $K^{0}(X)$

A Serre–Swan-tétel lehetővé teszi a vektorkötegek alternatív leírását, mint projektív modulokat folytonos komplex értékű függvényekgyűrűjén,majd azonosíthatók idempotens mátrixokkal valamilyen mátrixgyűrűben. Idempotens mátrixok ekvivalenciaosztályait definiálhatjuk és egy Abel-monoidot alkothatunk. Grothendieck tervét is nevezik. $C^{0}(X;\mathbb {C} )$ $x.$ $M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))$ ${\textbf {Idem}}(X)$ $K^{0}(X)$

Az algebrai geometriában ugyanez a konstrukció alkalmazható algebrai vektorkötegekre sima sémákon keresztül. Bármely Noether-féle rendszerhez létezik egy alternatív konstrukció is . Ugyanis a koherens tárcsák izomorfizmusosztályainak halmazán bevezethető egy ekvivalencia reláció: ha van egy rövid pontos sorozat $x$ $\operatorname {Coh} (X)$ $x$ $[{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']$

0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.

Ez izomorf csoportot ad, ha a séma sima. A csoportnak van egy gyűrűs szerkezete is, definíció szerint $K_{0}(X)$ $K^{0}(X)$ $x$ $K_{0}(X)$

[{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{ \mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\jobbra].

A Grothendieck-Riemann-Roch tételt használva azt kapjuk

\operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q}

a gyűrűk izomorfizmusa. Ezért használhatjuk a metszéspontelmélethez. $K_{0}(X)$

Korai történelem

Elmondható, hogy ez a téma Alexander Grothendiecknél (1957) kezdődik, aki felhasználta Grothendieck-Riemann-Roch tételének megfogalmazásához. A "K-elmélet" név a német "Klasse" ("osztály") szóból származik. Grothendieck koherens kévéket tanulmányozott egy "X" algebrai változaton . Ahelyett, hogy közvetlenül a kévékkel dolgozott volna, a csoportot a tekercsek izomorfizmus-osztályait használva definiálta generátorként, olyan relációval, amely két tárcsa bármely kiterjesztését az összegükkel azonosítja. A kapott csoportot "K(X)"-nek nevezzük, ha csak a lokálisan szabad tárcsákat vesszük figyelembe , vagy "G(X)"-nek, ha az összes tárcsa koherens. A két konstrukció bármelyikét Grothendieck-csoportnak nevezik, a „K(X)” kohomológiai , a „G(X)” pedig homológ viselkedésű.

Ha az "X" sima fajta, akkor ez a két csoport ugyanaz. Ha ez egy sima affin fajta, akkor a lokálisan szabad kévék minden kiterjesztése szétválik, így a csoportnak van egy alternatív definíciója.

A topológiában , ugyanazt a konstrukciót alkalmazva a vektorkötegre, Michael Atiyah és Friedrich Hirzebruch 1959 -ben meghatározta a "K(X)"-et az "X" topológiai térre , és Bott periodicitási tételét felhasználva a kiterjesztett kohomológia elmélet alapjává tették. Ez fontos szerepet játszott az Atiyah-Singer indextétel második bizonyításában (1962 körül). Ezenkívül ez a megközelítés egy nem kommutatív K-elmélethez vezetett C*-algebrákra .

Jean-Pierre Serre már 1955 -ben a vektorkötegek és a projektív modulok közötti párhuzamot használta Serre sejtésének megfogalmazására , amely szerint a polinomgyűrűn minden végesen generált projektív modul szabad ; ez az állítás igaznak bizonyult, de csak 20 évvel később bizonyították be. (A Serra-Swan tétel egy másik aspektusa ennek az analógiának.)

Továbbfejlesztés

Az algebrai K-elmélet másik történelmi forrása J. G. C. Whitehead és társai munkája volt a később Whitehead torzióként ismertté vált munkája.

Ezt egy olyan időszak követte, amely során a "magasabb K-elméleti funktorok" különféle részdefinícióit adták. Végül két hasznos és egyenértékű definíciót adott Daniel Quillen a homotópiaelmélet segítségével 1969-ben és 1972-ben. Friedhelm Waldhausen adott egy változatot a "terek algebrai K-elméletének" tanulmányozására is, amely a pszeudoizotópiák tanulmányozásával kapcsolatos. A magasabb K-elmélet modern tanulmányai közül számos kapcsolódik az algebrai geometriához és a motivikus kohomológiához .

A másodfokú segédformát tartalmazó megfelelő konstrukciókat L-elméletnek nevezzük . Ez a Morse műtét fő eszköze .

A húrelméletben először 1997-ben javasolták a Ramond-Ramond feszültségmezők és stabil D-bránok töltéseinek K-elméleti osztályozását [2] .

Példák

A Grothendieck csoport legegyszerűbb példája egy mező pontjának Grothendieck csoportja . Mivel ezen a téren a vektorköteg egyszerűen egy véges dimenziós vektortér, amely szabad objektum a koherens tekercsek kategóriájában (tehát projektív is), az izomorfizmus osztály monoidja a vektortér dimenziója szerint. A megfelelő Grothendieck-csoport . ${\text{Spec))(\mathbb {F} )$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$
Egy noetheri séma Grothendieck-csoportjának egyik fontos tulajdonsága, hogy [3] . Ezért bármely Artin -algebra Grothendieck-csoportja egyenlő . $x$ $K(X)=K(X_{\text{red)))$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {Z}$
A Grothendieck csoport másik fontos képlete a projektív köteg formula: [4] ha egy "r" rangú vektorköteg egy Noether-séma felett , akkor a projektív köteg Grothendieck csoportja egy "r" rangú szabad modul alapon . Ez a képlet lehetővé teszi a Grothendieck-csoport kiszámítását . ${\mathcal {E}}$ $x$ $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operátornév {Proj} (\operátornév {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))$ $K(X)$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1))$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n))$

Alkalmazások

Virtuális csomagok

A Grothendieck-csoport egyik hasznos alkalmazása a virtuális vektorkötegek meghatározása. Például, ha van egy sima szóközök beágyazása , akkor van egy rövid pontos sorozat $Y\hookrightarrow X$

0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0

hol van egy normál kéve a . Ha van egy speciális terünk egy sima térbe ágyazva , akkor egy virtuális konnormális köteget definiálunk: $C_{Y/X}$ $Y$ $x$ $Y$ $x$

[\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]

A virtuális kötegek másik hasznos alkalmazása a terek metszéspontjára szolgáló virtuális érintőköteg definíciójához kapcsolódik: legyenek projektív alváltozatai egy sima projektív változatnak. Ekkor a metszéspontjuk virtuális érintőkötegét így definiálhatjuk $Y_{1},Y_{2}\subset X$ $Z=Y_{1}\cap Y_{2}$

[T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}] |_{Z}.

Kontsevich ezt a konstrukciót használja egyik művében. [5]

Zhen karakterei

A Chern-osztályok felhasználhatók gyűrűhomomorfizmus megalkotására egy tér topológiai K-elméletéből a racionális kohomológiai gyűrűk (kiegészítése)ig. Az "L" vonalköteg Chern szimbólumát "ch" a képlet határozza meg

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Általánosabban, ha a vonalkötegek közvetlen összege, az első Chern osztályokkal a Chern karakter additív módon kerül meghatározásra. ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\pontok +x_{n}^{m}).

A Chern szimbólum részben azért hasznos, mert megkönnyíti a tenzorszorzat Chern osztályának kiszámítását. A Chern-szimbólumot a Hirzebruch-Riemann-Roch tétel megfogalmazásakor használjuk.

Egyenértékű K-elmélet

Az ekvivariáns algebrai K-elmélet egy algebrai K-elmélet, amely az ekvivariáns koherens görgők kategóriájához kapcsolódik egy lineáris algebrai csoportműveletű algebrai sémán , Quillen Q-konstrukcióján keresztül; így definíció szerint $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ $x$ $G$

K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operátornév {Coh} ^{G}(X)).

Ez különösen a Grothendieck csoport . Ezt az elméletet R. W. Thomason dolgozta ki az 1980-as években. [6] Különösen az alapvető tételek, például a lokalizációs tétel ekvivariáns analógjainak bizonyult. $K_{0}^{G}(C)$ $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$

Lásd még

Bott periodicitás
QC elmélet
CR elmélet
Kohomológiai elméletek listája
Algebrai K-elmélet
Topológiai K-elmélet
Operator K-elmélet
Grothendieck-Riemann-Roch tétel

Jegyzetek

↑ [[ Michael Atiyah |Atiyah, Michael]] (2000), K-Theory Past and Present, arΧiv : math/0012213 .
↑ Ruben Minasian ( http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7 archiválva 2020. szeptember 22-én a Wayback Machine -nél ) és Gregory Moore a K-elméletben és Ramond vádjában – Ramonda archiválva április 21-től 2020 a Wayback Machine -nél
↑ Grothendieck csoport a kettős számok feletti projektív térhez . mathoverflow.net . Letöltve: 2017. április 16. Az eredetiből archiválva : 2017. április 17.. (határozatlan)
↑ Manin, Jurij Ivanovics . Előadások a K-funktorról az algebrai geometriában (angol) // Uspekhi matematicheskikh nauk : folyóirat. - Orosz Tudományos Akadémia , 1969. - január 1. ( 24. kötet , 5. szám ). - 1-89 . o . — ISSN 0036-0279 . - doi : 10.1070/rm1969v024n05abeh001357 . - Iránykód .
↑ [[ Maxim Kontsevich |Kontsevich, Maxim]] (1995), Racionális görbék felsorolása tórusz akciókon keresztül, A görbék modulustere (Texel Island, 1994) , vol. 129, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhauser Boston, p. 335–368
↑ Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995) Archiválva : 2020. február 7. a Wayback Machine -nél .

Irodalom

Atiyah M. Előadások a K - elméletről . - M . : Külföldi irodalom, 1967. - 261 p.

Linkek

Michael Atiyah . K-elmélet. — 2. - Addison-Wesley , 1989. - (Advanced Book Classics). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
K-elmélet kézikönyve / Friedlander, Eric; Grayson, Daniel. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 . - doi : 10.1007/978-3-540-27855-9 .
Park, Efton. Komplex topológiai K-elmélet. - Cambridge University Press , 2008. - V. 111. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-85634-8 .
Swan, RGAlgebrai K-elmélet. - Springer , 1968. - T. 76. - (Matematikai előadásjegyzetek). — ISBN 3-540-04245-8 .
Karoubi MaxK-elmélet: bevezetés. - Springer-Verlag , 1978. - (Matematika klasszikusai). — ISBN 0-387-08090-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-79890-3 .
Karoubi, Max (2006), K-elmélet. Egy elemi bevezetés, arΧiv : math/0602082 .
Hatcher, Allen Vector Bundles & K-Theory (2003). (határozatlan)
Weibel, CharlesA K-könyv: bevezetés az algebrai K- elméletbe . - American Math Society, 2013. - 20. évf. 145.-(Grad. Studies in Math). - ISBN 978-0-8218-9132-2 .