A tömeg közepe

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A tömegközéppont ( a tehetetlenségi középpont is ) egy geometriai pont, melynek helyzetét a test tömegeloszlása határozza meg, az elmozdulás pedig a test vagy a mechanikai rendszer egészének mozgását jellemzi [1] . Egy adott pont sugárvektorát a képlet adja meg

{\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r }}){\vec {r}}dV,

ahol a koordinátafüggő sűrűség, és az integrációt a test térfogatán hajtjuk végre. A tömegközéppont a testen belül vagy kívül lehet. $\rho ({\vec {r)))$

A tömegközéppont fogalmának, valamint a tömegközépponthoz tartozó koordináta-rendszernek a használata a mechanika számos alkalmazásában kényelmes, és leegyszerűsíti a számításokat. Ha egy mechanikai rendszerre nem hatnak külső erők, akkor a tömegközéppontja állandó nagyságú és irányú sebességgel mozog.

Giovanni Ceva geometriai feladatok megoldására alkalmazta a tömegközéppontok figyelembevételét, ennek eredményeként születtek Menelaus tételei és Ceva tételei [2] .

A homogén gravitációs térben lévő anyagi pontok és testek rendszerei esetében a tömegközéppont egybeesik a tömegközépponttal, bár általános esetben ezek különböző fogalmak.

Tömegközéppont a klasszikus mechanikában

Definíció

Egy anyagpontrendszer tömegközéppontjának (tehetetlenségi középpontjának) helyzetét a klasszikus mechanikában a következőképpen határozzuk meg [ 3] :

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec r}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}} },

ahol a tömegközéppont sugárvektora , a rendszer i -edik pontjának sugárvektora , az i -edik pont tömege . ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ $m_{i}$

Folyamatos tömegeloszlás esetén:

{\vec r}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec r}){\vec r}dV,

M=\int \limits _{V}\rho ({\vec r})dV,

ahol a rendszer teljes tömege, térfogata, sűrűsége. A tömegközéppont tehát a tömegnek egy testen vagy részecskerendszeren való eloszlását jellemzi. $M$ $V$ $\rho$

Ha a rendszer nem anyagi pontokból, hanem kiterjesztett tömegű testekből áll , akkor egy ilyen rendszer tömegközéppontjának sugárvektorát a testek tömegközéppontjainak sugárvektoraihoz viszonyítjuk a [4] összefüggés segítségével : $M_{i}$ $R_{c}$ $R_{{ci}}$

{\vec R}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec R}_{{ci))}{\sum \limits _{i}M_{i }}}.

Valójában adjunk meg több olyan anyagpontrendszert, amelyek tömege a Sugár-vektor rendszernek felel meg: $M_{1},M_{2},...M_{N}.$ ${\vec {R}}_{c_{n}}$ $n$

{\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_ {n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{ \vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.

{\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n }}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}= {\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.

Folyamatos sűrűségeloszlású kiterjesztett testekre való átlépéskor a képletek összegek helyett integrálokat fognak tartalmazni, ami ugyanazt az eredményt adja.

Vagyis kiterjesztett testek esetén egy képlet érvényes, amely szerkezetében egybeesik az anyagi pontoknál használtal.

Példák

Lapos homogén figurák tömegközéppontjai

A szegmensnek van egy közepe.
Sokszögekhez:
- A paralelogrammának van egy pontja, ahol az átlók metszik egymást .
- A háromszögnek van egy középső metszéspontja ( centroid ).
A szabályos sokszögnek van forgásszimmetria - középpontja .
A félkörnek van egy pontja, amely elosztja a merőleges sugarát a kör középpontjához képest. ${\frac {4}{3\pi }}$

Egy homogén sík alak tömegközéppontjának koordinátái a következő képletekkel számíthatók ki (a Papp-Guldin tételek következménye ):

x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}

és ahol az ábra megfelelő tengely körüli elforgatásával kapott test térfogata, az ábra területe.

y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}

V_{x},V_{y}

S

Homogén alakzatok kerületeinek tömegközéppontjai

A háromszög oldalainak tömegközéppontja a további háromszög beírt körének középpontjában van (egy olyan háromszög, amelynek csúcsai ennek a háromszögnek a felezőpontjaiban helyezkednek el). Ezt a pontot Spieker középpontjának nevezik . Ez azt jelenti, hogy ha a háromszög oldalai azonos keresztmetszetű vékony huzalból készülnek, akkor a kapott rendszer tömegközéppontja ( barycenter ) egybeesik a további háromszög beírt körének középpontjával vagy a Spiekerrel. központ.

Használat

A tömegközéppont fogalmát széles körben használják a fizikában, különösen a mechanikában.

A merev test mozgása a tömegközéppont mozgásának és a test tömegközéppontja körüli forgómozgásának szuperpozíciójának tekinthető. Ebben az esetben a tömegközéppont ugyanúgy mozog, mint egy azonos tömegű test, de végtelenül kicsiny méretű ( anyagi pont ) mozogna. Ez utóbbi különösen azt jelenti, hogy minden Newton-törvény alkalmazható ennek a mozgásnak a leírására . Sok esetben figyelmen kívül hagyhatjuk a test méreteit és alakját, és csak a tömegközéppont mozgását vesszük figyelembe.

Gyakran célszerű egy zárt rendszer mozgását a tömegközépponthoz tartozó vonatkoztatási rendszerben figyelembe venni. Az ilyen vonatkoztatási rendszert tömegközéppont-rendszernek (C-rendszer) vagy tehetetlenségi középpont -rendszernek nevezzük . Ebben a zárt rendszer teljes impulzusa mindig nulla marad, ami lehetővé teszi, hogy leegyszerűsítsük a mozgásegyenleteit.

Tömegközéppont a relativisztikus mechanikában

Nagy sebességeknél (a fénysebesség nagyságrendjében ) (például az elemi részecskefizikában ) az SRT apparátust használják a rendszer dinamikájának leírására . A relativisztikus mechanikában (SRT) a tömegközéppont és a tömegközéppont fogalma is a legfontosabb fogalmak, azonban a fogalom meghatározása megváltozik:

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec r}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}} },

ahol a tömegközéppont sugárvektora , a rendszer i- edik részecskéjének sugárvektora, az i - edik részecske összenergiája . ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ ${\displaystyle E_{i))$

Ez a meghatározás csak a nem kölcsönható részecskék rendszereire vonatkozik. Kölcsönhatásban lévő részecskék esetén a definíciónak kifejezetten figyelembe kell vennie a részecskék által létrehozott mező lendületét és energiáját [5] .

A hibák elkerülése érdekében meg kell érteni, hogy az SRT-ben a tömegközéppontot nem a tömegeloszlás, hanem az energiaeloszlás jellemzi. Landau és Lifshitz elméleti fizikája során a "tehetetlenségi középpont" kifejezést részesítik előnyben. Az elemi részecskékkel foglalkozó nyugati szakirodalomban a "center of mass" ( angolul center-of-mass ) kifejezést használják: mindkét kifejezés egyenértékű.

A tömegközéppont sebessége a relativisztikus mechanikában a következő képlettel határozható meg:

{\vec v}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec p} _{én}.

Kapcsolódó fogalmak

Tömegközéppont vs. barycenter

A "tömegközéppont" kifejezés egyet jelent a baricentrum (az ógörög βαρύς - nehéz + κέντρον - középpont) fogalmának egyik jelentésével, de ez utóbbit főleg az asztrofizikai és égimechanikai problémákban használják. Baricentrum alatt több égitest közös tömegközéppontját értjük, amely körül ezek a testek mozognak. Példa erre egy bolygó és egy csillag együttes mozgása (lásd az ábrát), vagy kettőscsillagok egy alkotóeleme . A tömegközéppont (barycenter) ebben az esetben a testeket tömegekkel összekötő hosszszegmensen helyezkedik el, és a testtől bizonyos távolságra . $l$ $m_1$ $m_2$ $s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})$ $m_1$

A barycenter szó másik jelentése inkább a geometriára vonatkozik, mint a fizikára; ebben az értékben a barycenter koordináta kifejezése a sűrűség hiányában tér el a tömegközéppont képletétől (mintha mindig const lenne). $\rho =$

Tömegközéppont vs. súlypont

A test tömegközéppontját nem szabad összetéveszteni a súlyponttal.

A mechanikai rendszer súlypontja az a pont, amelyre nézve a (rendszerre ható) gravitációs erők össznyomatéka nullával egyenlő. Például egy olyan rendszerben, amely két azonos tömegből áll, amelyeket rugalmatlan rúd köt össze, és inhomogén gravitációs mezőbe helyezik (például bolygók), a tömegközéppont a rúd közepén lesz, míg a tömegközéppont a rúd súlypontja. rendszer a rúdnak arra a végére tolódik el, amely közelebb van a bolygóhoz (mert a P = m g súly függ a gravitációs tér g ) paraméterétől, és általában véve még a rúdon kívül is található.

Egyenletes gravitációs térben a tömegközéppont mindig egybeesik a tömegközépponttal. A nem kozmikus problémáknál a gravitációs tér általában állandónak tekinthető a test térfogatán belül, így a gyakorlatban ez a két középpont szinte egybeesik.

Ugyanebből az okból kifolyólag a tömegközéppont és a súlypont fogalma egybeesik, ha ezeket a kifejezéseket geometriában, statikában és hasonló területeken használják, ahol alkalmazása a fizikával összehasonlítva metaforikusnak nevezhető, és ahol az egyenértékűség helyzete implicit. feltételezett (mivel nincs valódi gravitációs tér, ezért heterogenitását figyelembe venni nincs értelme). Ezekben a felhasználásokban a két kifejezés hagyományosan szinonim, és gyakran a másodikat részesítik előnyben egyszerűen azért, mert régebbi.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Targ S. M. Tehetetlenségi középpont (tömegközéppont) // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1999. - V. 5: Stroboszkópos eszközök - Fényerő. - S. 624-625. — 692 p. — 20.000 példány. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
↑ Zhuravlev, 2001 , p. 66.
↑ Feynman R. , Layton R., Sands M. 2. szám. Space. Idő. Mozgás // Feynman előadások a fizikából . - M . : Mir, 1965. - 164 p. - S. 68.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. - M .: Nauka , 1988 . — 512 p. - ("Elméleti fizika", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .

Irodalom

Bobylev D.K. Center, fizikában // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és 4 további). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Zhuravlev VF Az elméleti mechanika alapjai. 2. kiadás - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 p. — ISBN 5-94052-041-3 . .