Zászló (matematika)

A zászló egy vektortér (vagy más típusú tér , amelyre a dimenzió fogalma definiálva van) egymásba ágyazott altereinek lánca , amelynek alakja $L$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,

ahol

0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.

A teljes (vagy maximum ) zászló fogalma, amelyben leggyakrabban , tehát egy számmal találkozunk. Általában a teljes zászló definíciójában egy további feltétel a láncban lévő egyes szomszédos alterek párjainak irányultságához . hozzáadásra kerül (lásd az alábbi meghatározást). $\dim L_{i}=i$ $k=\dim L.$

A zászló fogalmát főleg az algebrában és a geometriában használják (néha szűrésnek is nevezik ).

Teljes zászló

Egy véges dimenziójú vektortérben lévő teljes zászló alterek sorozata $L$ $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

ahol az altér csak a nulla vektorból áll, az altér mindennel egybeesik , és a szomszédos alterek minden párja irányított , azaz. a két féltér közül, amelyekre az altér osztódik , az egyiket választjuk (más szóval ezeknek a féltereknek a párja rendezett ). $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i},L_{i-1})$ $L_{i-1}$ $L_{i}$

A vektortér minden bázisa egy teljes zászlót határoz meg benne. Ugyanis beállítjuk (itt a háromszög alakú zárójelek a közöttük lévő vektorok lineáris burkológörbéjét jelentik), a pár irányultságának beállításához pedig a vektort tartalmazó félteret választjuk . $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$ $L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ $(L_{i},L_{i-1})$ $e_{i}$

Az így felépített bázisok és teljes zászlók közötti megfelelés nem egy az egyhez: a tér különböző bázisai határozhatják meg benne ugyanazt a zászlót (például a jobb oldali ábrán az alapok és a síkon a ugyanaz a teljes zászló). Ha azonban a vektortér euklideszi , akkor ennek a térnek nem tetszőleges, hanem csak ortonormális bázisaival operálva egy-egy megfelelést kapunk az ortonormális bázisok és a teljes zászlók között. ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1},e'_{2))$ $L$

Ezért az euklideszi tér bármely két teljes zászlójához létezik egy egyedi ortogonális transzformáció , amely leképezi az első zászlót a másodikra. $L$ $A:L-től L-ig$

Zászlók affin terekben és Lobacsevszkij geometriája

A teljes zászlókat hasonló módon határozzuk meg az affin térben és a Lobacsevszkij dimenziótérben : $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

ahol az altér csak egy pontból áll (affin tér vagy Lobacsevszkij tér), amelyet a zászló középpontjának neveznek , az altér mindennel egybeesik , és minden pár irányított . $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i},L_{i-1})$

Egy euklideszi affin tér vagy Lobacsevszkij-tér bármely két teljes zászlójához létezik ennek a térnek olyan mozgása , amely az első zászlót a másodikba viszi, és ez a mozgás egyedülálló. Sophus Lie ezt a tulajdonságot a tér szabad mobilitásának nevezte . A Helmholtz-Lie tétel kimondja, hogy csak három tértípus (három "nagy geometria") rendelkezik ezzel a tulajdonsággal: Euclid , Lobachevsky és Riemann . [egy]

Nest

Egy végtelen dimenziós V térben a zászló gondolatát fészekre általánosítják. Ugyanis az alterek egy halmazát, amelyet zárt alterek beépítésével jól rendeznek, fészeknek nevezünk .

Irodalom

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineáris algebra és geometria, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, Fizmatlit, Moszkva, 2009.

Jegyzetek

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - ch. XII, 1. § - M .: Fizmatlit, 2009.