Kálmán szűrő

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. október 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Kalman-szűrő egy hatékony rekurzív szűrő , amely számos hiányos és zajos mérés segítségével megbecsüli egy dinamikus rendszer állapotvektorát . Rudolf Kálmánról nevezték el .

A Kalman-szűrőt széles körben használják mérnöki és ökonometriai alkalmazásokban, a radar- és látórendszerektől a makrogazdasági modellparaméter-becslésekig [1] [2] . A Kálmán-szűrés a vezérléselmélet fontos része , és nagy szerepet játszik a vezérlőrendszerek létrehozásában. Egy lineáris-kvadratikus vezérlővel együtt a Kalman-szűrő lehetővé teszi a lineáris-négyzetes Gauss-szabályozás problémájának megoldását . A Kálmán-szűrő és a lineáris-kvadratikus vezérlő lehetséges megoldást jelent a szabályozáselméleti alapvető problémákra.

A legtöbb alkalmazásban az objektum állapotvektorának mérete meghaladja a megfigyelési adatvektor dimenzióját . Ugyanakkor a Kalman-szűrő lehetővé teszi az objektum teljes belső állapotának értékelését.

A Kalman-szűrő egy eleve ismert dinamikus rendszer állapotvektorának rekurzív alulbecslésére szolgál, vagyis a rendszer aktuális állapotának kiszámításához ismerni kell az aktuális mérést, valamint a szűrő korábbi állapotát. maga. Így a Kálmán-szűrő a többi rekurzív szűrőhöz hasonlóan időben valósul meg, nem frekvencia-reprezentációban, hanem a többi hasonló szűrőtől eltérően a Kálmán-szűrő nem csak állapotbecslésekkel működik, hanem a bizonytalanság (eloszlási sűrűség) becsléseivel is. az állapotvektor a feltételes valószínűség Bayes-képletén alapul .

Az algoritmus két szakaszban működik. Az előrejelzési szakaszban a Kalman-szűrő extrapolálja az állapotváltozók értékeit, valamint azok bizonytalanságait. A második szakaszban a mérési adatoknak megfelelően (némi hibával kapott) az extrapolációs eredmény finomításra kerül. Az algoritmus lépcsőzetes jellegéből adódóan valós időben képes nyomon követni az objektum állapotát (előrenézés nélkül, csak aktuális mérések és az előző állapotról és annak bizonytalanságáról szóló információk felhasználásával).

Van egy tévhit, hogy a Kalman-szűrő helyes működéséhez állítólag a bemeneti adatok Gauss-eloszlása szükséges. Kálmán eredeti munkájában a minimális szűrő kovariancia eredményeit ortogonális vetületek alapján kapták, Gauss-féle mérési hibák feltételezése nélkül [3] . Ezután egyszerűen megmutatták, hogy a Gauss-féle hibaeloszlás speciális esetére a szűrő pontos becslést ad a rendszerállapot-eloszlás feltételes valószínűségére.

A szűrő képességeinek egyértelmű példája, hogy optimális, folyamatosan frissített becsléseket kapunk egy objektum helyzetéről és sebességéről a helyére vonatkozó pontatlan mérések idősorai alapján. A radarban például egy cél követése, helyzetének, sebességének és gyorsulásának meghatározása a feladat, miközben a mérési eredmények fokozatosan érkeznek és nagyon zajosak . A Kalman-szűrő egy valószínűségi céldinamikai modellt használ, amely meghatározza a valószínűleg elmozduló objektum típusát, amely csökkenti a zaj hatását, és jó becsléseket ad az objektum jelenlegi, jövőbeli vagy múltbeli helyzetéről.

Bevezetés

A Kálmán-szűrő a rendszerállapotvektor (a rendszer egy adott időpontban fennálló állapotát leíró paraméterek halmaza) fogalmával és annak statisztikai leírásával működik. Általános esetben valamely állapotvektor dinamikáját a komponenseinek eloszlásának valószínűségi sűrűsége írja le az egyes időpillanatokban. A rendszer megfigyeléseinek egy bizonyos matematikai modellje, valamint az állapotvektor paramétereinek a priori változásának modellje (nevezetesen Markov-képző folyamatként ) megléte esetén felírható egyenlet az a posteriori. az állapotvektor mindenkori valószínűségi sűrűsége. Ezt a differenciálegyenletet Stratonovich-egyenletnek nevezik . A Stratonovich -egyenlet általános formában nem megoldott. Analitikai megoldás csak számos korlátozás (feltételezés) esetén érhető el:

Az állapotvektor Gauss-féle a priori és a posteriori valószínűségi sűrűsége bármely időpontban (beleértve a kezdeti időpontot is)
Gauss-formáló zaj
Gauss megfigyelési zaj
fehérzaj megfigyelések
megfigyelési modell linearitása
a formálási folyamat modelljének linearitása (amelynek, emlékszünk rá, Markov-folyamatnak kell lennie)

A klasszikus Kálmán-szűrő egy egyenlet a posterior valószínűségi sűrűség első és második momentumának kiszámítására (a matematikai elvárások vektora és a varianciamátrix értelmében, beleértve a kölcsönöseket is) adott megkötések mellett. Tekintettel arra, hogy normál valószínűségi sűrűség esetén a matematikai elvárás és a diszperziós mátrix teljes mértékben meghatározza a valószínűségi sűrűséget, elmondhatjuk, hogy a Kálmán-szűrő minden időpillanatban kiszámítja az állapotvektor utólagos valószínűségsűrűségét, tehát teljesen. az állapotvektort véletlen vektormennyiségként írja le.

A matematikai elvárások számított értékei ebben az esetben optimális becslések a négyzetes hiba kritériuma szerint, amely széleskörű alkalmazását okozza.

A Kalman-szűrőnek számos változata létezik, amelyek közelítésekben és trükkökben különböznek, amelyeket alkalmazni kell, hogy a szűrőt a leírt formára csökkentsük és méretét csökkentsük:

kiterjesztett Kálmán szűrő (EKF, Extended Kalman filter). Nemlineáris megfigyelési modellek és alakítási folyamat egyeztetése linearizálással Taylor sorozat kiterjesztésével ;
sigma-point Kalman szűrő (UKF, illatmentes Kalman szűrő). Olyan problémákban használják, amelyekben az egyszerű linearizálás az állapotvektor komponensei közötti hasznos kapcsolatok megsemmisüléséhez vezet. Ebben az esetben a "linearizálás" a szigma-pont transzformáción alapul ;
Ensemble Kalman szűrő (EnKF). A probléma méretének csökkentésére szolgál;
nemlineáris kiegészítő szűrővel rendelkező változatok is lehetségesek, amelyek lehetővé teszik a nem Gauss-megfigyelések normálra való redukálását;
lehetőség van „fehérítő” szűrővel, amely lehetővé teszi, hogy „színes” zajjal dolgozzon ;
stb.

Ezenkívül vannak a Kalman-szűrő analógjai, amelyek teljesen vagy részben a folyamatos idő modellt használják:

a Kalman-Bucy szűrő, amelyben mind a rendszer alakulása, mind a mérések a folytonos idő függvényei;
hibrid Kalman szűrő, amely folyamatos időt használ a rendszer fejlődésének leírására és diszkrét időket a mérésekhez.

Történelmi áttekintés és nevek

A szűrő az Egyesült Államokba emigrált magyar matematikus , Rudolf E. Kalman nevéhez fűződik, bár Thorvald Nicolai Thiele [4] [5] és Peter Swerling korábban kidolgozott egy hasonló algoritmust (Thiele csak bizonyos beállításokat vett figyelembe, míg Swerling algoritmusa gyakorlatilag megegyezik Kálmán algoritmusával). Richard S. Bucy, a Dél-Kaliforniai Egyetem munkatársa hozzájárult ahhoz az elmélethez, amely az úgynevezett Kalman-Bucy szűrőhöz vezetett. Stanley F. Schmidt az első, aki alkalmazta a Kálmán-szűrőt Kálmán Ames Research Centerben tett látogatása során , így Kalman látta, hogy ötletei alkalmazhatók az Apollo-program pályabecslésének problémájára , ami végül a felvételhez vezetett. az Apollo navigációs rendszerben. A Kalman-szűrőt először Swerling (1958), Kalman (1960) és Kalman és Bucy (1961) írta le és fejlesztette ki.

A Kálmán szűrők kritikus fontosságúnak bizonyultak az Egyesült Államok haditengerészetének nukleáris ballisztikus rakéta tengeralattjáró-navigációs rendszereinek a cirkálórakéta-navigációs rendszerekben, például a Tomahawksban történő megvalósításában . A NASA Space Shuttle projektjének navigációs és vezérlőrendszereiben is használták, az ISS vezérlő- és navigációs rendszereiben is használják .

A digitális Kálmán-szűrőt néha Stratonovich-Kalman-Bucy szűrőnek is nevezik, mivel ez egy általánosabb nemlineáris szűrő speciális esete, amelyet valamivel korábban fejlesztett ki R. L. Stratonovich szovjet matematikus [6] [7] [8] [9] . Valójában a lineáris szűrő bizonyos eseteire vonatkozó egyenletek némelyike megjelent Stratonovich ezekben az írásaiban, amelyeket 1960 nyara előtt adtak ki, amikor Kálmán találkozott Stratonoviccal egy moszkvai konferencián.

A használt dinamikus rendszermodell

A Kalman szűrők időmintavételezett lineáris dinamikus rendszereken alapulnak . Az ilyen rendszereket Markov-láncok modellezik lineáris operátorok és normál eloszlású terminusok felhasználásával . A rendszer állapotát egy véges dimenziójú vektor – az állapotvektor – írja le . A lineáris operátor minden időlépésben hat az állapotvektorra, és átviszi azt egy másik állapotvektorba (determinisztikus állapotváltozás), valamilyen normál zajvektorba (véletlenszerű tényezők), és általános esetben egy vezérlővektorba, amely szimulálja az állapotvektort. vezérlőrendszerrel egészül ki. A Kalman-szűrő a rejtett Markov-modellek analógjának tekinthető , azzal a különbséggel, hogy a rendszer állapotát leíró változók egy végtelen valós számhalmaz elemei (ellentétben a rejtett Markov-modellek állapotterének véges halmazával ). Ezenkívül a rejtett Markov-modellek tetszőleges eloszlásokat használhatnak a következő állapotvektor értékekhez, ellentétben a Kalman-szűrővel, amely normál eloszlású zajmodellt használ. Szigorú kapcsolat van a Kálmán-szűrő és a rejtett Markov-modell egyenletei között. Ezekről és más modellekről ad áttekintést Roweis és Chahramani (1999) [10] .

Ha a Kalman-szűrőt használjuk a folyamat állapotvektorának becsléséhez zajos mérések sorozatából, akkor ennek a folyamatnak a modelljét a szűrőszerkezetnek megfelelően kell ábrázolni - egy bizonyos típusú mátrixegyenlet formájában. A szűrőművelet minden k lépéséhez meg kell határozni a mátrixokat az alábbi leírás szerint: az F k folyamat alakulása ; megfigyelési mátrix H k ; a Q k folyamat kovarianciamátrixa ; mérési zaj kovariancia mátrix R k ; ellenőrzési műveletek jelenlétében - együtthatóik mátrixa B k .

A rendszer (folyamat) modell azt jelenti, hogy a k időpontban a valódi állapotot a k -1 időpontban lévő valódi állapotból kapjuk az egyenletnek megfelelően

\textbf{x}_{k} = \textbf{F}_{k} \textbf{x}_{k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k} + \textbf{w}_{k}

ahol

F k annak a rendszernek (folyamatnak) az evolúciós mátrixa, amely az x k −1 vektort érinti (az állapotvektor a k −1 pillanatban );
B k a vezérlőmátrix, amelyet az u k vezérlési műveletek vektorára alkalmazunk;
w k egy normál véletlenszerű folyamat nulla matematikai várakozással és Q k kovarianciamátrixszal , amely leírja a rendszer (folyamat) fejlődésének véletlenszerűségét:

\textbf{w}_{k} \sim N(0, \textbf{Q}_k)

A k pillanatban az x k valós állapotvektor z k megfigyelése (mérése) történik , melyeket az egyenlet kapcsol össze

\textbf{z}_{k} = \textbf{H}_{k} \textbf{x}_{k} + \textbf{v}_{k}

ahol H k a valós állapotvektort és az elvégzett mérések vektorát összekötő mérési mátrix, v k a fehér Gauss-féle mérési zaj nulla matematikai várakozással és az R k kovariancia mátrix :

\textbf{v}_{k} \sim N(0, \textbf{R}_k)

A véletlenszerű folyamatok kezdeti állapotát és vektorait minden lépésben { x 0 , w 1 , …, w k , v 1 , …, v k } függetlennek tekintjük .

Sok valódi dinamikus rendszer nem írható le pontosan ezzel a modellel. A gyakorlatban a modellben figyelmen kívül hagyott dinamika komolyan ronthatja a szűrő teljesítményét, különösen akkor, ha a bemeneten ismeretlen sztochasztikus jellel dolgozunk. Ezenkívül a modellben figyelmen kívül hagyott dinamika instabillá teheti a szűrőt . Másrészt a független fehér zaj mint jel nem okoz eltérést az algoritmusban. A mérési zaj elválasztása a modellben nem vett dinamikától nehéz feladat, ezt a robusztus szabályozási rendszerek elméletével oldják meg .

Kálmán szűrő

A Kalman-szűrő a rekurzív szűrő egy fajtája . A rendszer állapotának az aktuális munkaciklusra vonatkozó becslésének kiszámításához szükség van az állapot becslésére (a rendszer állapotának becslése és az állapot meghatározásához szükséges hiba becslése formájában) előző munkaciklus és mérések az aktuális ciklusban. Ez a tulajdonság különbözteti meg a csomagszűrőktől, amelyek megkövetelik a mérések és/vagy kiértékelések történetének ismeretét az aktuális működési ciklusban. Továbbá a rekord alatt meg fogjuk érteni a valódi vektor becslését az n pillanatban , figyelembe véve a méréseket a munka megkezdésének pillanatától az m pillanatig ( beleértve). $\hat{\textbf{x}}_{n|m}$ $\textbf{x}$

A szűrő állapotát két változó állítja be:

$\hat{\textbf{x}}_{k|k}$ az objektum állapotának utólagos becslése a k időpontban, amelyet a k időpontig bezárólag végzett megfigyelések eredményeiből kapunk (az orosz nyelvű szakirodalomban gyakran jelölik , ahol „becslést” jelent, és k a annak az intézkedésnek a száma, amelynél azt megszerezték); $\hat{\textbf{x}}_{k}$ $\kalap{}$
$\textbf{P}_{k|k}$ egy utólagos hiba kovariancia mátrix , amely megadja az állapotvektor kapott becslésének pontosságának becslését, és tartalmazza a számított állapot és a kovariancia hibavarianciáinak becslését, megmutatva a rendszerállapot-paraméterek közötti azonosított kapcsolatokat (gyakran jelölik az orosz irodalom ). $\hat{\textbf{D}}_{k}$

A Kalman-szűrő minden iterációja két fázisra oszlik: extrapolációra (előrejelzés) és korrekcióra. Az extrapoláció során a szűrő előzetes becslést kap a rendszer állapotáról (az orosz szakirodalomban ezt gyakran jelölik , ahol ez "extrapolációt" jelent, és k annak a lépésnek a száma, amelynél megkapták) az aktuális lépésre. az előző lépésből származó végső állapotbecslés szerint (vagy az értelmezéstől függően az aktuális lépés végső értékelése szerinti előzetes becslés a következő lépésre). Ezt az előzetes becslést előzetes állapotbecslésnek is nevezik, mivel a megfelelő lépés megfigyeléseit nem használják fel annak meghatározására. A korrekciós fázisban az a priori extrapolációt a becslés korrekciója érdekében releváns árammérések egészítik ki. A korrigált becslést utólagos állapotbecslésnek vagy egyszerűen állapotvektor becslésnek is nevezik . Általában ez a két fázis váltakozik: a korrekció eredményei alapján extrapolációt hajtanak végre a következő megfigyelésig, és a korrekciót a következő lépésben elérhető megfigyelésekkel együtt stb. Ha a megfigyelés nem elérhető, akkor a korrekciós szakasz kihagyható, és a korrigálatlan becslésből extrapolálható (a priori extrapoláció). Hasonlóképpen, ha független mérések csak külön munkaciklusokban állnak rendelkezésre, akkor is lehetséges a korrekció (általában eltérő H k megfigyelési mátrix használatával ). $\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$ $\tilde{\textbf{x}}_{k}$ $\tilde{}$ $\hat{\textbf{x}}_{k}$

Ezután vegyük figyelembe a klasszikus optimális Kálmán-szűrő működését.

Extrapolációs lépés

A rendszer állapotvektorának extrapolációja (előrejelzése) az állapotvektor és az alkalmazott vezérlővektor becslése szerint a ( k −1 ) lépéstől a k lépésig :	$\hat{\textbf{x}}_{k\|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1\|k-1} + \textbf{ B}_{k}\textbf{u}_{k}$
Kovariancia mátrix extrapolált állapotvektorhoz :	$\textbf{P}_{k\|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1\|k-1} \textbf{F}_{k}^{T } + \textbf{Q}_{k}$

Javítási szakasz

A k lépésben kapott megfigyelés eltérése az extrapolációban várt megfigyeléstől:	$\tilde{\textbf{y}}_{k} = \textbf{z}_{k} - \textbf{H}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k\|k-1}$
Az eltérési vektor kovarianciamátrixa (hibavektor):	$\textbf{S}_{k} = \textbf{H}_{k}\textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_{k}^{T}+\textbf{R }_{k}$
A rendelkezésre álló állapotvektor-extrapoláció kovarianciamátrixai és a kapott mérések alapján (az eltérési vektor kovarianciamátrixon keresztül) kialakított Kálmán-optimális erősítési mátrix:	$\textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k\|k-1}\textbf{H}_{k}^{T}\textbf{S}_{k}^{-1}$
Az állapotvektor előzőleg kapott extrapolációjának korrekciója - a rendszer állapotvektorának becslése:	$\hat{\textbf{x}}_{k\|k} = \hat{\textbf{x}}_{k\|k-1} + \textbf{K}_{k}\tilde{\textbf{y }}_{k}$
Kovarianciamátrix számítása a rendszerállapotvektor becsléséhez:	$\textbf{P}_{k\|k} = (I - \textbf{K}_{k} \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k\|k-1}$

A rendszerállapotvektor becslésére szolgáló kovarianciamátrix kifejezése csak akkor érvényes, ha az együtthatók redukált optimális vektorát használjuk. Általában ennek a kifejezésnek összetettebb a formája.

Invariánsok

Ha a modell abszolút pontos és a kezdeti feltételek és abszolút pontosan meg vannak adva , akkor a következő értékek tetszőleges számú szűrő iteráció után megmaradnak, azaz invariánsok: $\hat{\textbf{x}}_{0|0}$ $\textbf{P}_{0|0}$

A rendszerállapotvektor becsléseinek és extrapolációinak matematikai elvárásai, a hibamátrixok nullvektorok:

$\textsf{E}[\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k}] = \textsf{E}[\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x }}_{k|k-1}] = 0$
$\textsf{E}[\tilde{\textbf{y}}_k] = 0$

hol van a matematikai elvárás . $\textsf{E}[\xi]$ $\xi$

Az extrapolációk, a rendszer állapotának becslései és a hibavektor számított kovarianciamátrixai egybeesnek a valódi kovarianciamátrixokkal:

$\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k})$
$\textbf{P}_{k|k-1} = \textrm{cov}(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k-1})$
$\textbf{S}_{k} = \textrm{cov}(\tilde{\textbf{y}}_k)$

Példa egy szűrő létrehozására

Képzeljen el egy kocsit , amely végtelenül hosszú síneken áll súrlódás nélkül . Kezdetben 0 pozícióban nyugszik, de véletlenszerű tényezők hatására véletlenszerű gyorsulása van . ∆t másodpercenként mérjük a kocsi helyzetét , de a mérések pontatlanok. Becsléseket szeretnénk kapni a kocsi helyzetére és sebességére vonatkozóan. A Kalman-szűrőt alkalmazva erre a feladatra meghatározzuk az összes szükséges mátrixot.

Ebben a feladatban az F , H , R és Q mátrixok nem függnek az időtől, ezért az indexeiket elhagyjuk.

A kocsi koordinátáját és sebességét egy vektor írja le a lineáris állapottérben

\textbf{x}_{k} = \begin{bmatrix} x \\ \pont{x} \end{bmatrix}

ahol a sebesség (a koordináta első deriváltja az idő függvényében). $\pont{x}$ $x$

Feltételezzük, hogy a ( k −1 )-edik és k - edik ciklus között a kocsi állandó a k gyorsulással mozog, a normáltörvény szerint elosztva, nulla matematikai várakozással és σ a szórással . A newtoni mechanika szerint lehet írni

\textbf{x}_{k} = \textbf{F} \textbf{x}_{k-1} + \textbf{G}a_{k}

ahol

\textbf{F} = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

A vezérlő mátrix vektorként van írva

\textbf{G} = \begin{bmatrix} \frac{\Delta t^{2}}{2} \\ \Delta t \end{bmatrix}

A vezérlővektor a k skalárrá degenerálódik .

Véletlenszerű hatások kovarianciamátrixa

\textbf{Q} = \textrm{cov}(\textbf{G}a) = \textsf{E}[(\textbf{G}a)(\textbf{G}a)^{\text{T)) ] = \textbf{G} \textsf{E}[a^2] \textbf{G}^{\text{T)) = \textbf{G}[\sigma_a^2]\textbf{G}^{\ text{T}} = \sigma_a^2 \textbf{G}\textbf{G}^{\text{T}}

( σ a skalár).

Minden munkaciklusnál megmérik a kocsi helyzetét. Tegyük fel, hogy a v k mérési hiba normális eloszlású, nulla matematikai várakozással és σ z szórással . Akkor

\textbf{z}_{k} = \textbf{H x}_{k} + \textbf{v}_{k}

ahol

\textbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}

a megfigyelési zaj kovarianciamátrixának pedig az a formája

\textbf{R} = \textsf{E}[\textbf{v}_k \textbf{v}_k^{\text{T}}] = \begin{bmatrix} \sigma_z^2 \end{bmatrix}

A kocsi kezdeti helyzete pontosan ismert:

\hat{\textbf{x}}_{0|0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

\textbf{P}_{0|0} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Ha a kocsi helyzete és sebessége csak hozzávetőlegesen ismert, akkor a varianciamátrix kellően nagy L számmal inicializálható úgy, hogy ez a szám meghaladja a koordináta mérések varianciáját:

\hat{\textbf{x}}_{0|0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

\textbf{P}_{0|0} = \begin{bmatrix} L & 0 \\ 0 & L \end{bmatrix}

Ebben az esetben az első működési ciklusokban a szűrő nagyobb súllyal használja fel a mérési eredményeket, mint a rendelkezésre álló előzetes információ.

Képletek származtatása

Állapotvektor becslés kovariancia mátrix

A P k | kovarianciamátrix definíciója szerint k

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k})

Az állapotvektor kiértékeléséhez a kifejezést helyettesítjük $\hat{\textbf{x}}_{k|k}$

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - (\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{ K}_k\tilde{\textbf{y}}_{k}))

és írjuk fel a hibavektor kifejezését $\tilde{\textbf{y}}_k$

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - (\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{ K}_k(\textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1})))

és mérési vektor $\textbf{z}_{k}$

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - (\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{ K}_k(\textbf{H}_k\textbf{x}_k + \textbf{v}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1})))

Kivesszük a v k mérési hibavektort

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}((I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})(\textbf{x}_k - \hat{\textbf {x}}_{k|k-1}) - \textbf{K}_k \textbf{v}_k )

Mivel a v k mérési hibavektor nem korrelál más argumentumokkal, megkapjuk a kifejezést

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}((I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})(\textbf{x}_k - \hat{\textbf {x}}_{k|k-1})) + \textrm{cov}(\textbf{K}_k \textbf{v}_k )

A vektorok kovariancia tulajdonságainak megfelelően ez a kifejezés átalakul formába

\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})\textrm{cov}(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{ x}}_{k|k-1})(I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})^{\text{T}} + \textbf{K}_k\textrm{cov }(\textbf{v}_k )\textbf{K}_k^{\text{T))

Az állapotvektor-extrapoláció kovarianciamátrixának kifejezésének helyettesítése P k | k −1 és a megfigyelési zaj kovarianciamátrixának definíciója R k -n kapjuk

\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k|k-1} (I - \textbf{ K}_k \textbf{H}_{k})^\text{T} + \textbf{K}_k \textbf{R}_k \textbf{K}_k^\text{T}

Az így kapott kifejezés tetszőleges együtthatómátrixra érvényes, de ha az együtthatók mátrixa a Kálmán-optimális, akkor ez a kifejezés a kovarianciamátrixra egyszerűsíthető.

Optimális erősítés mátrix

A Kalman-szűrő minimalizálja a várható állapotvektor-becslési hibák négyzetösszegét.

Állapotvektor becslési hibavektor

\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k}

A feladat az, hogy minimalizáljuk ennek a vektornak a komponensei négyzeteinek matematikai elvárásainak összegét:

\textsf{E}[\;|\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k}|^2\,]

ami ekvivalens a P k | állapotvektor-becslés kovarianciamátrixa nyomvonalának minimalizálásával k . Helyettesítsük be a rendelkezésre álló kifejezéseket az állapotvektor-becslés kovarianciamátrixának kifejezésébe, és egészítsük ki a teljes négyzetre:

$\textbf{P}_{k\|k}$		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\| k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{K}_k^\text{T} + \textbf{K}_k (\textbf{H}_k \textbf{P}_{k \|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k) \textbf{K}_k^\text{T}$
		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\| k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{K}_k^\text{T} + \textbf{K}_k \textbf{S}_k\textbf{K}_k^\text {T}$
		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1 } \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} + (\textbf{K}_{k} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H} _k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1}) \textbf{S}_k(\textbf{K}_{k} - \textbf{P}_{k\|k-1} \ textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1})^\text{T}$ .

Vegyük észre, hogy az utolsó tag valamely valószínűségi változó kovarianciamátrixa, így a nyoma nem negatív. A nyomkövetési minimumot akkor éri el, ha az utolsó tag nullára van állítva:

\textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1}

Azt állítják, hogy ez a mátrix a kívánt, és ha együtthatók mátrixaként használják a Kalman-szűrőben, minimálisra csökkenti az állapotvektor-becslési hibák átlagos négyzeteinek összegét.

Állapotvektor becslés kovariancia mátrix az optimális együttható mátrix használatakor

A P k | állapotvektor-becslés kovarianciamátrixának kifejezése k az együtthatók optimális mátrixának használatakor a következő alakot ölti:

\textbf{P}_{k|k} = \textbf{P}_{k|k-1} - \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T } \textbf{S}_k^{-1} \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1}

$= \textbf{P}_{k|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} = (I - \textbf{K}_ {k} \textbf{H}_{k})\textbf{P}_{k|k-1}$ .

Ez a képlet számításilag egyszerűbb, ezért a gyakorlatban szinte mindig használatos, de csak akkor helyes, ha az együtthatók optimális mátrixát használjuk. Ha az alacsony számítási pontosság miatt probléma adódik a számítási stabilitással, vagy nem optimális együtthatómátrixot használnak, akkor az állapotvektor-becslési kovarianciamátrix általános képletét kell használni.

Kalman-Bucy szűrő

A Kalman-Bucy szűrő (Richard Snowden-Bucy nevéhez fűződik) a Kalman-szűrő [11] [12] folyamatos idejű változata, amely a következő folytonos dinamikus állapotmodellre támaszkodik:

\frac{d}{dt}\mathbf{x}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t)

\mathbf{z}(t) = \mathbf{H}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{v}(t)

Itt és két kifejezés intenzitását jelenti (a fehér zaj jellemzőivel) , ill. $\mathbf{Q}(t)$ $\mathbf{R}(t)$ $\mathbf{w}(t)$ $\mathbf{v}(t)$

A szűrő két differenciálegyenletből áll, amelyek közül az egyik a rendszer állapotának, a másik pedig a kovariancia becslésére szolgál:

\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{F}(t)\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t) ​​​​+ \mathbf{K}(t) (\mathbf{z}(t)-\mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t))

\frac{d}{dt}\mathbf{P}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t) + \mathbf{P}(t)\mathbf{F}^{T }(t) + \mathbf{Q}(t) - \mathbf{K}(t)\mathbf{R}(t)\mathbf{K}^{T}(t)

ahol a Kálmán-együtthatót a képlet adja

\mathbf{K}(t)=\mathbf{P}(t)\mathbf{H}^{T}(t)\mathbf{R}^{-1}(t)

Vegyük észre, hogy a megfigyelési zaj kovariancia kifejezésében egyúttal a predikciós hiba kovarianciáját is jelenti , és ezek a kovariancia csak folytonos idő esetén egyenlő [13] . $\mathbf{K}(t)$ $\mathbf{R}(t)$ $\tilde{\mathbf{y}}(t)=\mathbf{z}(t)-\mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t)$

A diszkrét Kálmán-szűrés predikciós és korrekciós lépései közötti különbség folytonos esetre nem érvényes.

A kovariancia második differenciálegyenlete egy példa a Riccati egyenletre .

Hibrid Kalman szűrő

A legtöbb fizikai rendszernek van folyamatos idejű modellje a rendszer állapotának alakulására, és diszkrét mérési modellje az állapot finomítására. Ezért a szűrőmodell a következőképpen ábrázolható:

\begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t)\mathbf{u}( t)+\mathbf{w}(t), &\mathbf{w}(t) &\sim N\bigl(\mathbf{0},\mathbf{Q}(t)\bigr) \\ \mathbf{ z}_k &= \mathbf{H}_k\mathbf{x}_k+\mathbf{v}_k, &\mathbf{v}_k &\sim N(\mathbf{0},\mathbf{R}_k) \ vége{igazítás}

ahol

\mathbf{x}_k=\mathbf{x}(t_k)

. Inicializálás

\hat{\mathbf{x}}_{0\mid 0}=E\bigl[\mathbf{x}(t_0)\bigr], \mathbf{P}_{0\mid 0}=Var\bigl[ \mathbf{x}(t_0)\bigr]

Előrejelzés

\begin{align} &\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = \mathbf{F}(t) \hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}( t) \mathbf{u}(t) ​​​​\text{, ahol } \hat{\mathbf{x}}(t_{k-1}) = \hat{\mathbf{x}}_{k-1 \mid k-1} \\ \Rightarrow &\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} = \hat{\mathbf{x}}(t_k)\\ &\pont{\mathbf {P }}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t)+\mathbf{P}(t)\mathbf{F}(t)^T+\mathbf{Q}(t ) \ text{, ahol } \mathbf{P}(t_{k-1}) = \mathbf{P}_{k-1\mid k-1}\\ \Rightarrow &\mathbf{P}_{k \mid k-1} = \mathbf{P}(t_k) \end{align}

Az előrejelzési egyenletek a Kalman-Bucy szűrőből származnak, folyamatos idővel . Az állapot és a kovariancia előrejelzését úgy kapjuk meg, hogy a differenciálegyenleteket integráljuk az előző korrekciós lépésből vett kezdeti értékkel. $\mathbf{K}(t)=0$

Javítás

\mathbf{K}_{k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_{k}^T\bigl(\mathbf{H}_{k}\mathbf{ P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_{k}^T+\mathbf{R}_{k}\bigr)^{-1}

\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k(\mathbf{z}_k- \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1})

\mathbf{P}_{k\mid k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_{k}\mathbf{H}_{k})\mathbf{P}_{k\mid k -egy}

A korrekciós egyenletek megegyeznek a diszkrét Kálmán-szűrő egyenleteivel.

A Kálmán-szűrő kritikája

Jelenleg a Kálmán-szűrő fő kritikája a következő területeken történik [14] :

A Kálmán-szűrőben a hibákat fehér zaj képviseli, amely a természetben valójában nem létezik.
Nincs megfelelés a szükséges és elégséges optimalitási feltételnek

\textsf{M}[\varepsilon(t)\,\textbf{Z}_{k}]^\text{T} = 0

00nál nél00

\textbf{t}_{0} \le \tau \le t

Hiba a Kálmán-szűrő kimenetében - az algoritmus különböző egyenleteinek érvényességéhez ellentmondásos feltételek szükségesek: egyeseknél úgy, hogy τ < t , míg másokban τ = t .

Ennek megfelelően a szűrő optimálisságát támogatók álláspontja az, hogy [15] :

Lehetőség van egy módosított Kalman-szűrő létrehozására, amelyben a hibákat színes zaj jelzi .
Az optimalitási feltétel alkalmazása bizonyos esetekben kevésbé pontos eredményt ad, mint a Kálmán-szűrőnél. $\textsf{M}[\varepsilon(t)\,\textbf{Z}_{k}]^\text{T} = 0\quad$
A Kálmán-szűrő levezetésénél elfogadhatjuk a feltételeket: τ < t , τ → t , ami kiküszöböli az ellentmondást.

Hol van

Címsor függőlegesek
Robotpilóta
Navigációs rendszerek :
- Inerciális
- Reliefometrikus (a terület digitális térképei szerint)
- Műhold

Lásd még

Marella tétele
Markov-szerkezetű lineáris rendszer matematikai modellje
Markov-szerkezetű lineáris rendszer állapotának előrejelzése
Markov-szerkezetű lineáris rendszer állapotbecsléseinek korrekciója

Jegyzetek

↑ Ingvar Strid és Karl Walentin (2009), Block Kalman Filtering for Large-Scale DSGE Models , Computational Economics (Springer). — V. 33 (3): 277–304 , < http://www.riksbank.se/Upload/Document_riksbank/Kat_publicerat/WorkingPapers/2008/wp224ny.pdf > Archiválva : 2015. április 20. a Wayback Machine -nél
↑ Martin Møller Andreasen (2008), Non-linear DSGE Models, The Central Difference Kalman Filter, and The Mean Shifted Particle Filter , < ftp://ftp.econ.au.dk/creates/rp/08/rp08_33.pdf >
↑ Kalman, RE (1960). "A lineáris szűrési és előrejelzési problémák új megközelítése". Journal of Basic Engineering 82(1): pp. 35-45
↑ Lauritzen S. L. . Idősorelemzés 1880-ban. TN Thiele hozzászólásainak megvitatása: [ eng. ] // Nemzetközi Statisztikai Szemle. - 1981. - 1. évf. 49, 3. szám (december). - P. 319-331. - doi : 10.2307/1402616 . — . Levezet egy rekurzív eljárást a regressziós komponens becslésére és a Brown-mozgás előrejelzésére. Az eljárást ma Kálmán-szűrésnek nevezik.
↑ Lauritzen S. L. Thiele: Úttörő a statisztikában : [ arch. 2022. április 22. ]. - New York: Oxford University Press , 2002. - P. 41. - ISBN 0-19-850972-3 . Megoldja a regressziós együtthatók becslését és a Brown-mozgás értékeinek előrejelzését a legkisebb négyzetek módszerével, és elegáns rekurzív eljárást ad a számítások elvégzéséhez. Az eljárás manapság Kálmán-szűrés néven ismert.
↑ Stratonovich, R. L. (1959). Optimális nemlineáris rendszerek, amelyek az állandó paraméterekkel rendelkező jelet a zajtól elválasztják . Radiofizika, 2:6, pp. 892-901.
↑ Stratonovich, R. L. (1959). A véletlen függvények optimális nemlineáris szűrésének elméletéről . Valószínűségelmélet és alkalmazásai, 4, pp. 223-225.
↑ Stratonovich, RL (1960) A Markov-folyamatok elméletének alkalmazása az optimális szűrésre . Radio Engineering and Electronic Physics, 5:11, pp. 1-19.
↑ Stratonovich, R. L. (1960). Feltételes Markov-folyamatok . Valószínűségelmélet és alkalmazásai, 5, pp. 156-178.
↑ Roweis, S. és Ghahramani, Z., A lineáris Gauss-modellek egyesítő áttekintése Archivált : 2016. május 28., a Wayback Machine , Neural Comput. Vol. 11, sz. 2, (1999. február), pp. 305-345.
↑ Bucy, RS és Joseph, PD, Szűrés sztochasztikus folyamatokhoz az iránymutatás alkalmazásával, John Wiley & Sons, 1968; 2. kiadás, AMS Chelsea Publ., 2005. ISBN 0-8218-3782-6
↑ Jazwinski, Andrew H., Sztochasztikus folyamatok és szűrési elmélet, Academic Press, New York, 1970. ISBN 0-12-381550-9
↑ Kailath, Thomas, "Innovatív megközelítés a legkisebb négyzetek becsléséhez, I. rész: Lineáris szűrés additív fehér zajban", IEEE Transactions on Automatic Control , 13(6), 646-655, 1968
↑ http://www.tgizd.ru/mag/aviakos/aviakos_7_6_7.shtml Archív másolat 2011. november 10-én, a Wayback Machine -nél G. F. Savinov A Kalman-Bucy optimális szűrőalgoritmus néhány jellemzőjéről // Aerospace Instrumentation No. 6, 2007 .
↑ A. Yu. Gorbacsov Az optimális szűrőalgoritmusok értékelésének kritériumai (elérhetetlen link) // Aerospace Instrumentation No. 6, 2008

Irodalom és publikációk

Péter József BEVEZETŐ LECKE: Az egydimenziós Kálmán-szűrő
Perov, AI statisztikai elmélet a rádiótechnikai rendszerekről. - M . : Rádiótechnika, 2003. - 400 p. — ISBN 5-93108-047-3 .
Tsyplakov, A. (2011) Bevezetés az állapottér modellezésbe. - Quantile, 9. szám, 1-24.

$\textbf{P}_{k\|k}$		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\| k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{K}_k^\text{T} + \textbf{K}_k (\textbf{H}_k \textbf{P}_{k \|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k) \textbf{K}_k^\text{T}$
		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\| k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{K}_k^\text{T} + \textbf{K}_k \textbf{S}_k\textbf{K}_k^\text {T}$
		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1 } \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} + (\textbf{K}_{k} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H} _k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1}) \textbf{S}_k(\textbf{K}_{k} - \textbf{P}_{k\|k-1} \ textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1})^\text{T}$ .

Kálmán szűrő

Bevezetés

Történelmi áttekintés és nevek

A használt dinamikus rendszermodell

Kálmán szűrő

Extrapolációs lépés

Javítási szakasz

Invariánsok

Példa egy szűrő létrehozására

Képletek származtatása

Állapotvektor becslés kovariancia mátrix

Optimális erősítés mátrix

Állapotvektor becslés kovariancia mátrix az optimális együttható mátrix használatakor

Kalman-Bucy szűrő

Hibrid Kalman szűrő

A Kálmán-szűrő kritikája

Hol van

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom és publikációk

Linkek