Végtelen impulzusválasz szűrő

Végtelen impulzusválasz szűrő ( Rekurzív szűrő , IIR szűrő ) vagy IIR szűrő (IIR rövidítése végtelen impulzusválasz - végtelen impulzusválasz) - lineáris elektronikus szűrő , amely egy vagy több kimenetét bemenetként használja, azaz visszacsatolást képez . Az ilyen szűrők fő tulajdonsága, hogy impulzusválaszuk az időtartományban végtelen hosszúságú, az átviteli függvény pedig tört racionális alakkal rendelkezik. Az ilyen szűrők lehetnek analógok vagy digitálisak .

Az IIR szűrőkre példa a Chebisev szűrő , a Butterworth szűrő , a Kalman szűrő és a Bessel szűrő .

Leírás

Dinamikus teljesítmény

A diszkrét IIR szűrőt leíró különbségi egyenlet megállapítja a kapcsolatot a bemeneti és a kimeneti jelek között az időtartományban:

y(n)=b_{{0}}x(n)+b_{{1}}x(n-1)+\cdots +b_{{P}}x(nP)-a_{{1}}y (n-1)-a_{{2}}y(n-2)-\cdots -a_{{Q}}y(nQ)

ahol a bemeneti jel sorrendje, a bemeneti jel együtthatók, a visszacsatolási sorrend, a visszacsatolási együtthatók , a bemeneti jel és a kimeneti jel. $P$ $kettős}}$ $K$ $a_{{i}}$ $x(n)$ $y(n)$

A különbségi egyenlet tömörebb jelölése:

y(n)=\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}x(ni)-\sum _{{k=1}}^{Q}a_{{k}} y (nk)

A szűrő kernel megtalálásához beállítjuk

x(n)=\delta(n)

hol van a delta függvény . $\delta(n)$

Ekkor az impulzusátmeneti függvény (szűrő kernel) így íródik

h(n)=\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}\delta (ni)-\sum _{{k=1}}^{Q}a_{{k} }h(nk)

Az impulzusválasz z-transzformációja megadja az IIR szűrő átviteli függvényét:

H(z)={\frac {\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}z^{{-i}}}{1+\sum _{{k=1} }^{Q}a_{{k}}z^{{-k}}}}

Fenntarthatóság

A végtelen impulzusválasz szűrő stabilitását az átviteli függvénye határozza meg . Egy diszkrét szűrő esetében szükséges és elegendő, hogy a modulo átviteli függvényének minden pólusa kisebb legyen egynél (azaz a z-síkon az egységkörön belül legyen ). A lineáris stacionárius rendszerek elméletében alkalmazható összes stabilitási kritérium , mint például a Nyquist stabilitási kritérium vagy a Routh stabilitási kritérium, az IIR szűrők esetében is alkalmazható.

A FIR szűrőkkel ellentétben az IIR szűrők nem mindig robusztusak.

IIR szűrő megvalósítása

Ha az űrlap átviteli függvényét vesszük figyelembe:

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{{k=0}}^{{M}}b_{{k}}z^ {{-k}}}{1+\sum _{{k=1}}^{{N}}a_{{k}}z^{{-k}}}}={\frac {B(z )}{A(z)}},

akkor egy ilyen rendszer bemenete és kimenete közötti aránynak ki kell elégítenie a különbségi egyenletet:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

Ez az egyenlet közvetlenül felírható az átviteli függvény kifejezéséből, ezért az áramkör ennek az egyenletnek megfelelő felépítési formáját direkt 1-es alaknak nevezzük.

Egy IIR szűrő konstruálásakor az egyszerűség kedvéért feltételezhetjük, hogy M=N. Az IIR szűrők három elemmel vagy alapvető műveletekkel valósíthatók meg: egy szorzó, egy összeadó és egy késleltetési blokk. Ezek az elemek minden lehetséges digitális szűrőhöz elegendőek. Az ábrán látható opció az 1-es típusú IIR szűrők közvetlen megvalósítása.

Mivel a b(k) és a(k) együtthatók halmazai megfelelnek a H(z) átviteli függvény B(z) számlálójának és A(z) nevezőjének polinomjainak, az IIR szűrő közvetlen alakja a ábra két áramkör kaszkád kapcsolataként értelmezhető . Az első nullákat valósít meg és B(z) átviteli függvénye, a második pedig pólusokat valósít meg és 1/A(z) átviteli függvénye van. Az első w(n) rendszer kimeneti jelét jelölve a differenciaegyenlet helyettesíthető a következő egyenletrendszerrel:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+w(n),

w(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

amelyet az ábrán látható szerkezet valósít meg.

Az állandó paraméterekkel rendelkező diszkrét rendszerekben a bemenet és a kimenet aránya nem függ a blokkok lépcsőzetes kapcsolásának sorrendjétől. Ebből a tulajdonságból következik az IIR szűrő felépítésének második közvetlen formája. Ha először megvalósítjuk az 1/A(z) átviteli függvényt tartalmazó felső ábra blokkdiagramjának jobb oldalának megfelelő H(z) pólusokat, majd a B(z) átviteli függvény nulláit, akkor a 2. ábrán látható szerkezetet kapjuk, amely megfelel a rendszeregyenleteknek:

w(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)w(nk)+x(n),

y(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)w(nk).

A késleltetési vonalakat a felső ábrán látható struktúrában kombinálva megkapjuk az IIR szűrő közvetlen kanonikus formáját:

Egyes esetekben a zajteljesítmény szempontjából a közvetlen formában megvalósított szűrő jobb, mint a kanonikus formában.

Lásd még

Linkek

A BORES Signal Processing DSP tanfolyam ötödik modulja – Bevezetés a DSP -be Archiválva 2012. július 6-án a Wayback Machine -nél