Routh-stabilitási kritérium

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Routh-stabilitási kritérium az egyik módszer egy lineáris stacionárius dinamikus rendszer stabilitásának elemzésére . A Hurwitz-kritériummal (amelyet gyakran Routh-Hurwitz-kritériumnak neveznek) együtt az algebrai stabilitási kritériumok családjának tagja (szemben a gyakorisági kritériumokkal , például a Nyquist-Mikhailov stabilitási kritériummal ). E. J. Rous javasolta 1875-ben [1]

Annak ellenére, hogy a Routh-kritériumot történelmileg korábban javasolták, mint a Hurwitz-kritériumot , kényelmesebb sémaként használható a Hurwitz-determinánsok kiszámításához , különösen a karakterisztikus polinom nagy fokainál [2] .

A módszer előnyei közé tartozik az egyszerű megvalósítás számítógépen rekurzív algoritmus segítségével, valamint a kis (legfeljebb 3) rendű rendszerek egyszerű elemzése. A hátrányok közé tartozik a módszer láthatóságának hiánya: alkalmazása során nehéz információt szerezni a stabilitás mértékéről, a készleteiről .

Megfogalmazás

A módszer a rendszer karakterisztikus egyenletének együtthatóival dolgozik . Legyen a rendszer átviteli függvénye és a rendszer karakterisztikus egyenlete. A karakterisztikus polinomot az alakban ábrázoljuk $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ $\ U(s)=0$ $\ U(s)$

{\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n))

A Routh-kritérium egy olyan algoritmus , amely szerint egy speciális táblázatot állítanak össze, amelyben a karakterisztikus polinom együtthatói úgy vannak felírva, hogy:

az első sor az egyenlet együtthatóit tartalmazza páros indexekkel növekvő sorrendben;
a második sorban - páratlannal;
a táblázat többi elemét a következő képlet határozza meg: , ahol a sor száma, az oszlop száma; ${\displaystyle \c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_{i}\cdot c_{k+1,i-1))$ $r_{i}={\frac {c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}}},i\geq 3$ $\k$
a Routh tábla sorainak száma eggyel nagyobb, mint a karakterisztikus egyenlet sorrendje.

Routh táblázat:

$\ri$	$\Downarrow i\Longrightarrow k$	egy	2	3	négy
-	egy	${\displaystyle \c_{1,1}=a_{0))$	${\displaystyle \ c_{2,1}=a_{2))$	${\displaystyle \ c_{3,1}=a_{4))$	...
-	2	$\ c_{1,2}=a_{1}$	${\displaystyle \ c_{2,2}=a_{3))$	$\ c_{3,2}=a_{5}$	...
$r_{3}={\frac {c_{1,1}}{c_{1,2}}}$	3	${\displaystyle c_{1,3}=c_{2,1}-r_{3}\cdot c_{2,2))$	${\displaystyle c_{2,3}=c_{3,1}-r_{3}\cdot c_{3,2))$	${\displaystyle c_{3,3}=c_{4,1}-r_{3}\cdot c_{4,2))$	...
$r_{4}={\frac {c_{1,2}}{c_{1,3}}}$	négy	${\displaystyle c_{1,4}=c_{2,2}-r_{4}\cdot c_{2,3))$	${\displaystyle c_{2,4}=c_{3,2}-r_{4}\cdot c_{3,3))$	$c_{3,4}=c_{4,2}-r_{4}\cdot c_{4,3}$	...
...	...	...	...	...	...

A Routh-kritérium megfogalmazása:

Egy lineáris stacionárius rendszer stabilitásához szükséges és elegendő, hogy a Routh-tábla első oszlopának együtthatói azonos előjelűek legyenek. Ha ez nem így van, akkor a rendszer instabil. $\ c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},...$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Postnikov, 1981 , p. 15-16.
↑ Csernyeckij, 1996 , p. 264-267.

Irodalom

Postnikov M. M. Stabil polinomok. - M. : Nauka, 1981. - 176 p.
Chernetsky VI . Dinamikus rendszerek matematikai modellezése. - Petrozavodsk: Petrozavodszk állam. un-t, 1996. - 432 p. — ISBN 5-230-08981-4 . .