Routh-Hurwitz tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Routh-Hurwitz-tétel lehetőséget ad annak meghatározására, hogy egy adott polinom Hurwitz-stabil- e . 1895-ben A. Hurwitz bizonyította, és E. J. Routhról (aki 1876-ban egy másik - de a Hurwitz-kritériummal egyenértékű - kritériumot javasolt a polinom stabilitására) és A. Hurwitzról [1] .

Konvenciók

Legyen egy fokú polinom (komplex együtthatókkal) . Ráadásul a gyökök között nincs két gyök ugyanazon a képzeletbeli egyenesen (azaz azon a vonalon, ahol a képzeletbeli egység és egy valós szám ). Jelöljük ( fokszámú polinom ) és (nem nulla fokos polinom szigorúan kisebb, mint ) -vel , tekintettel a képzeletbeli egyenes valós és képzetes részeire. $F z)$ $n$ $z=ic$ $én$ $c$ $P_{0}(y)$ $n$ $P_{1}(y)$ $n$ $f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)$ $f$

Vezessük be a következő jelölést:

$p$ a gyökerek száma a bal félsíkban (a multiplicitásokat figyelembe véve); $f$
$q$ a gyökök száma a jobb oldali félsíkban (a multiplicitásokat figyelembe véve); $f$
$\Delta \arg f(iy)$ — az argumentum megváltoztatása, amikor -tól -ig fut ; $f(iy)$ $y$ $-\infty$ $+\infty$
$w(x)$ az euklideszi algoritmusból nyert általánosított Sturm -lánc változásainak száma ; $P_{0}(y)$ $P_{1}(y)$

$I_{-\infty }^{+\infty }r(x)$ egy racionális függvény Cauchy-indexe a valós egyenesen. $r(x)$

Legyen egy Hurwitz-polinom a komplex számok mezején (azaz nincs komplex együtthatója, és minden gyöke a bal félsíkban található). Foglaljuk össze: $F z)$ $f$ $f$

f(z)=g(z^{2})+zh(z)

Jelöljük az együtthatókat , és — mint . Figyelem! Ezeket "végétől" számozzák, vagyis a polinom szabad együtthatója . $g$ ${\displaystyle a_{j}^{0))$ $h$ $a_{j}^{1}$ $g$ $a_{0}^{0}$

Megfogalmazás

A fent bemutatott jelölésben a Routh-Hurwitz-tétel a következőképpen van megfogalmazva:

pq={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)} {P_{0}(y)}}=w(+\infty )-w(-\infty ).

Az első egyenlőségből például azt a következtetést vonhatjuk le, hogy ha az argumentum változása pozitív, akkor több gyökér van a képzeletbeli tengelytől balra, mint jobbra. Az egyenlőség a Sturm-tétel összetett analógjaként tekinthető . Van azonban egy különbség: Sturm tételében a bal oldal , a jobb oldal pedig a Sturm-lánc változásainak számát jelenti (míg ebben az esetben az általánosított Sturm-láncra vonatkozik). $f(iy)$ $F z)$ $pq=w(+\infty )-w(-\infty )$ $p+q$ $w$ $w$

Hurwitz stabilitási kritérium

A Hurwitz- mátrixot páratlan és páros együtthatókként definiáljuk egy "létrával":

H_{f}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&\pontok &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2))]}&&\\ a_{0}&a_{2}&\pontok &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&&\\&a_{1}&a_{3}&\pontok &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&\\&a_{0}&a_{2}&\pontok &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&\\ &\vpontok &&&\vpontok &\\&&&&\pontok &a_{n}\end{pmatrix}},

a polinom mértékétől függően az utolsó sor páros vagy páratlan együtthatókat tartalmaz. Ennek a mátrixnak minden fő minorja pozitív, ha Hurwitz-polinom, és fordítva. $f$

Routh stabilitási kritériuma

A Sturm-lánc polinomokkal kezdődik, és meghatározza a lánc polinomjainak vezető együtthatóinak sorozatát . Ennek a sorozatnak minden eleme pontosan ugyanazzal az előjellel rendelkezik, ha Hurwitz-polinom, és fordítva. $g$ $h$ ${\displaystyle a_{0}^{1},a_{0}^{2},\dots ,a_{0}^{n))$ $f$

A Routh-kritériumnak van egy általánosabb változata: a gyökök száma a jobb oldali félsíkban megegyezik a lánc előjelváltozásainak számával.
Azt is vegye figyelembe, hogy a jelölésben a szám a változó indexe, nem a kitevő. ${\displaystyle a_{0}^{i))$ $én$

Egyenértékűség

A Hurwitz- és Routh-kritériumok egyenértékűek. Mindkettő a Hurwitz-stabil polinomokat jellemzi.

Bizonyítás

A Gauss-módszert alkalmazva a mátrixra átlós mátrixot kapunk . Most azonban a Hurwitz-kritérium megfelel a " transzformált mátrix minden elemének azonos előjelű" követelményének. Ha részletesen megvizsgáljuk, hogy a Gauss-módszer hogyan alakítja át a mátrixot , megkapjuk a Sturm-lánc létrehozásának feltételeit. Megbizonyosodva arról, hogy az együtthatók megfelelnek az együtthatóknak , megkapjuk a Routh-kritériumot. $HF}$ $H_{f}^{*}$ $h_{j,j}^{*}$ $HF}$ $h_{j,j}^{*}$ ${\displaystyle a_{0}^{j))$

Routh-Hurwitz kritérium

Ez a tétel könnyen tartalmaz egy stabilitási kritériumot, mivel Hurwitz akkor és csak akkor stabil . Így az együtthatókra vonatkozó feltételeket kapunk további feltételek és . $F z)$ $pq=n$ $F z)$ $w(+\infty )=n$ $w(-\infty )=0$

A Stieltjes -tétel mellett a Routh-Hurwitz-tétel is módot ad a stabil polinomok jellemzésére. A stabilitás nem csak az összetett változók függvényelméletében fontos tulajdonság. Például a vezérléselméletben egy racionális szűrő akkor és csak akkor stabil, ha a z-transzformációja stabil. Ilyen, ha a nevezőben lévő Laurent-polinomnak nincs gyöke az egységkörön kívül . Ennek a problémának a megoldása azonban levezethető egy „közönséges” polinom stabilitásának problémájára a jelen cikkben bemutatott megfogalmazásban.

Ezen túlmenően a Routh- és a Hurwitz-teszt közötti megfelelés több információt nyújt az egyszerű Routh-teszt felépítéséről, ami a bonyolultabb Hurwitz-teszt tanulmányozása során is látható.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Postnikov, 1981 , p. 15-16.

Irodalom

Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . — M .: Nauka , 1967. — 576 p.
Postnikov M. M. Stabil polinomok. - M. : Nauka, 1981. - 176 p.

Linkek

Weisstein, Eric W. Routh-Hurwitz tétel (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .