Butterworth szűrő

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

A Butterworth szűrő az elektronikus szűrők egyik fajtája . Az ebbe az osztályba tartozó szűrők tervezési módszerükben különböznek a többitől. A Butterworth szűrőt úgy tervezték, hogy frekvencia-válasza a lehető legsimább legyen az áteresztősáv -frekvenciákon .

Az ilyen szűrőket először Stephen Butterworth brit mérnök írta le. a " A szűrőerősítők elméletéről " című cikkben , a Wireless Engineer magazinban 1930 - ban .

Áttekintés

A Butterworth szűrő frekvenciaválasza a lehető legsimább az áteresztő sáv frekvenciáin , és majdnem nullára csökken az elnyomási frekvenciákon. Ha egy Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát logaritmikus fázisválaszon jeleníti meg , az amplitúdó mínusz végtelen felé csökken a vágási frekvenciákon. Elsőrendű szűrő esetén a frekvenciamenet -6 decibel / oktáv (-20 decibel/ decade ) meredekséggel csökken (valójában minden elsőrendű szűrő típustól függetlenül azonos és azonos frekvencia-átvitellel rendelkezik ). Másodrendű Butterworth-szűrő esetén a frekvenciamenet oktávonként -12 dB-lel, harmadrendű szűrőnél -18 dB-lel, és így tovább. A Butterworth szűrő frekvenciaválasza a frekvencia monoton csökkenő függvénye.

A Butterworth szűrő az egyetlen szűrő, amely megőrzi a frekvenciamenet alakját magasabb sorrendben (kivéve a meredekebb gördülést az elutasítási sávban), míg sok más szűrőváltozat ( Bessel szűrő , Csebisev szűrő , elliptikus szűrő ) eltérő alakú. a frekvencia átvitel különböző sorrendben.

A Chebyshev I. és II. típusú szűrőkkel vagy egy elliptikus szűrővel összehasonlítva a Butterworth szűrő laposabb gördülésű, ezért magasabb rendűnek kell lennie (amit nehezebb megvalósítani), hogy a kívánt választ adjon a vágási frekvenciákon. A Butterworth-szűrőnek azonban lineárisabb a fázisválasza az áteresztősáv-frekvenciákon.

Mint minden szűrő esetében, a frekvenciajellemzők figyelembevételekor aluláteresztő szűrőt használnak , amelyből könnyen beszerezhető egy felüláteresztő szűrő , egy sávszűrő vagy egy bevágásszűrő .

Egy harmadrendű Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát az átviteli függvényből kaphatjuk meg : $G(\omega)$ $n$ $H(s)$

G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac { \omega }{\omega _{c}}}\right)^{{2n}}}}

ahol

$n$ - szűrőrendelés
$\omega_{c}$ - vágási frekvencia (frekvencia, amelyen az amplitúdó -3 dB)
$G_{0}$ - DC erősítés (erősítés nulla frekvencián)

Könnyen belátható, hogy végtelen értékek esetén a frekvenciamenet téglalap alakú függvény lesz, és a vágási frekvencia alatti frekvenciák erősítéssel kerülnek át , míg a vágási frekvencia feletti frekvenciák teljesen elnyomódnak. Véges értékek esetén a karakterisztika csillapítása enyhe lesz. $n$ $G_{0}$ $n$

Formális helyettesítés segítségével a kifejezést a következő formában ábrázoljuk : $s=+j\omega$ $H(s)H(-s)$ ${\displaystyle |H(\omega )|^{2))$

H(s)H(-s)={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2 }}}\jobbra)^{n}}}

Az átviteli függvény pólusai a bal félsíkban egymástól egyenlő távolságra lévő sugarú körön helyezkednek el. Azaz egy Butterworth-szűrő átviteli függvénye csak úgy határozható meg, hogy meghatározzuk az átviteli függvényének pólusait az s-sík bal félsíkjában . -a pólust a következő kifejezés határozza meg: $\omega _{c}$ $k$

-{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {2k-1}{n}}=e ^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

ahol

s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n))\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

Az átviteli függvény a következőképpen írható fel:

{\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(s-s_{k})/\omega _{c))))

Hasonló megfontolások érvényesek a digitális Butterworth-szűrőkre is, azzal az egyetlen különbséggel, hogy az arányokat nem az s -síkra írják, hanem a z -síkra .

Ennek az átviteli függvénynek a nevezőjét Butterworth-polinomnak nevezzük.

Normalizált Butterworth-polinomok

A Butterworth-polinomok felírhatók összetett formában is, amint az fent látható, de általában valós együtthatós arányként írják fel őket (a komplex konjugált párokat szorzással kombinálják). A polinomokat a vágási frekvencia normalizálja: . A normalizált Butterworth-polinomok tehát a következő kanonikus formájúak: $\omega _{c}=1$

B_{n}(s)=\prod _{{k=1}}^{({\frac {n}{2}}}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\) frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - akár

n

B_{n}(s)=(s+1)\prod _{{k=1}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}\left[s^{2}-2s \cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - páratlan

n

Alább láthatók a Butterworth-polinomok együtthatói az első nyolc rendhez:

$n$	Polinom együtthatók $B_{n}(s)$
egy	${\megjelenítési stílus (s+1)}$
2	$s^{2}+1{,}41421s+1$
3	${\megjelenítési stílus (s+1)(s^{2}+s+1)}$
négy	$(s^{2}+0{,}76537s+1)(s^{2}+1{,}84776s+1)$
5	$(s+1)(s^{2}+0{,}61803s+1)(s^{2}+1{,}61803s+1)$
6	$(s^{2}+0{,}51764s+1)(s^{2}+1{,}41421s+1)(s^{2}+1{,}93185s+1)$
7	$(s+1)(s^{2}+0{,}44504s+1)(s^{2}+1{,}24698s+1)(s^{2}+1{,}80194s +1)$
nyolc	$(s^{2}+0{,}39018s+1)(s^{2}+1{,}11114s+1)(s^{2}+1{,}66294s+1)(s) ^{2}+1{,}96157s+1)$

Maximális simaság

Ha és , az amplitúdókarakterisztika deriváltja a frekvenciához képest így fog kinézni: $\omega _{c}=1$ $G_{0}=1$

{\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}

Ez mindenkinél monoton csökken, mivel a nyereség mindig pozitív. Így a Butterworth szűrő frekvenciaválaszának nincs hullámossága. Ha az amplitúdókarakterisztikát sorozattá bővítjük , a következőt kapjuk: $\omega$

G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{{2n}}+{\frac {3}{8}}\omega ^{{4n}}+\lpont

Más szóval, az amplitúdó-frekvencia karakterisztika összes deriváltja a frekvenciához képest -edikig egyenlő nullával, ami "maximális simaságot" jelent. $2n$

Rolloff magas frekvencián

Elfogadása után megtaláljuk a frekvenciamenet logaritmusának meredekségét magas frekvenciákon: $\omega _{c}=1$

\lim _{{\omega \rightarrow \infty }}{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )))=-n

Decibelben a nagyfrekvenciás aszimptotának dB /dekád meredeksége van. $-20n$

Szűrő tervezés

Számos különböző szűrőtopológia létezik , amelyekkel lineáris analóg szűrőket valósítanak meg. Ezek a sémák csak az elemek értékében különböznek, a szerkezet változatlan marad.

Cauer topológia

A Cauer-féle topológia passzív elemeket ( kapacitásokat és induktivitásokat ) használ [1] . Egy adott átviteli függvényt tartalmazó Butteworth szűrő 1-es típusú Cauer formájában konstruálható. -a szűrő elemét a következő összefüggés adja meg: $k$

C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k páratlan

L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k páros

A Sallen-Ki topológia

A Sallen-Key topológia a passzív elemek mellett aktív elemeket ( műveleti erősítőket ) is használ. A Sallen-Key áramkör minden fokozata a szűrő része, amelyet matematikailag egy összetett konjugált póluspár ír le. A teljes szűrőt úgy kapjuk meg, hogy az összes fokozatot sorba kapcsoljuk. Ha egy valódi pólus találkozik, azt külön kell megvalósítani, általában RC - lánc formájában , és bele kell foglalni a teljes áramkörbe.

A Sallen-Key séma egyes szakaszainak átviteli függvénye:

H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{ 2}}}

A nevezőnek a Butterworth-polinom egyik tényezőjének kell lennie. Ha vesszük, a következőket kapjuk: $\omega _{c}=1$

C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1

és

C_{2}(R_{1}+R_{2})=2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\jobb)

Az utolsó reláció két ismeretlent ad, amelyek tetszőlegesen választhatók.

Összehasonlítás más lineáris szűrőkkel

Az alábbi ábra a Butterworth szűrő frekvenciaválaszát mutatja a többi népszerű, azonos (ötödik) sorrendű lineáris szűrőhöz képest:

Az ábrán látható, hogy a Butterworth szűrő a négy közül a leglassabban gördül le, de az áteresztő sáv frekvenciáin is ez a legsimább frekvenciamenet.

Példa

Vegyünk egy harmadrendű analóg aluláteresztő Butterworth szűrőt faraddal, ohmmal és henryvel. Ha a kapacitások impedanciáját az induktivitások impedanciájaként jelöljük , ahol egy komplex változó, és az elektromos áramkörök kiszámítására szolgáló egyenleteket felhasználva a következő átviteli függvényt kapjuk egy ilyen szűrőre: $C_{2}=4/3$ $R_{4}=1$ $L_{1}=1/2$ $L_{3}=3/2$ $C$ $1/(sC)$ $L$ $sL$ $s=\sigma+j\omega$

H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3} }}

A frekvenciaválaszt a következő egyenlet adja meg: $G(\omega)$

{\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\omega ^{6))))

és a PFC -t a következő egyenlet adja meg:

\Phi (\omega )=\arg[H(j\omega )]

A csoportkésleltetést úgy határozzuk meg, hogy mínusz a fázis deriváltja a körfrekvenciához képest, és a jel különböző frekvenciákon jelentkező fázistorzításának mértéke. Egy ilyen szűrő logaritmikus frekvenciaválaszának nincs hullámossága sem az áteresztősávban, sem az elnyomási sávban. $\lg G$

Az átviteli függvény modulusának komplex síkbeli ábrázolása egyértelműen három pólust jelez a bal félsíkban. Az átviteli függvényt teljes mértékben az határozza meg, hogy ezek a pólusok az egységkörön a valós tengelyre szimmetrikusan helyezkednek el.

Minden induktivitást kapacitásra, a kapacitásokat pedig induktivitásra cserélve Butterworth felüláteresztő szűrőt kapunk.

Lásd még

Jegyzetek

↑ http://www.falstad.com/circuit/ Archivált 2013. január 21-én a Wayback Machine Circuit-on. Passzív szűrők. Butterworth aluláteresztő (10 pólusú)

Irodalom

V.A. Lucas. Az automatikus vezérlés elmélete. - M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky. Útmutató a rádióelektronika elméleti alapjairól. - M . : Energia, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Szűrőtervezés jelfeldolgozáshoz MATLAB© és Mathematica© segítségével. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Közelítési módszerek az elektronikus szűrőtervezéshez. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Tudományos és mérnöki útmutató a digitális jelfeldolgozáshoz . - Második kiadás. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Közelítési módszerek az elektronikus szűrőtervezéshez. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Adaptív jelfeldolgozás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Adaptív szűrőelmélet. - 4. kiadás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Adaptív szűrők – struktúrák, algoritmusok és alkalmazások . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J. D. Markel, A. H. Gray, Jr. A beszéd lineáris előrejelzése. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L. R. Rabiner , R. W. Schafer. Beszédjelek digitális feldolgozása. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digitális jelfeldolgozás VLSI-ben. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Digitális jelfeldolgozás . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. A digitális jelfeldolgozás elmélete és alkalmazása. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Bevezetés a digitális jelfeldolgozásba. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .

Linkek

Butterworth-szűrő számítás példákkal
Tudományos és mérnöki útmutató a digitális jelfeldolgozáshoz
Aluláteresztő szűrők
A Butterworth-szűrő használata a vezérlőrendszer szintézisében Archiválva : 2006. június 22. a Wayback Machine -nél
Rekurzív szűrők számítása
Szűrő osztályozás
Áramkörök. passzív szűrők. Butterworth aluláteresztő (10 pólusú)