Elektromos impedancia

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Elektromos impedancia ( komplex elektromos ellenállás [1] [2] ) ( angol impedancia a latin impedio "to prevent") - komplex ellenállás egy áramkör két csomópontja vagy egy kétterminális hálózat között harmonikus jelhez .

A fogalmat és kifejezést O. Heaviside fizikus és matematikus vezette be 1886-ban [3] [4] .

Analógia egy vezető elektromos ellenállásával egy ellenállás példáján

Az ellenállás egy passzív elem, amelynek csak aktív ellenállása van . Az ellenállás komplex ellenállásának reaktív komponense nulla, mivel az ellenálláson lévő feszültség és a rajta áthaladó áram aránya nem függ az áram/feszültség frekvenciától , valamint azért is, mert az ellenállás passzív elem (mert igen nem tartalmaznak belső energiaforrásokat). Ha a végeire bizonyos feszültséget kapcsolunk (csatlakoztassunk egy feszültségforrást), akkor az ellenálláson elektromos áram folyik át . Ha az ellenálláson elektromos áram megy keresztül ( csatlakoztassunk egy áramforrást ), akkor az ellenálláson feszültségesés következik be. az ellenállás végei. Lásd az Ohm-törvényt az áramköri szakaszhoz): $U$ $ÉN.$ $én$ $U.$ $te,$ $én$

R={\frac {U}{I}}.

Az " elektromos ellenállás " fogalmának alkalmazása egyenáramú reaktív elemekre ( induktor és kondenzátor ) arra a tényre vezet, hogy:

az ideális tekercs ellenállása nullára hajlik:

ha valamilyen I egyenáramot vezetünk át egy ideális tekercsen , akkor I bármely érték esetén a tekercs feszültségesése nulla lesz:

U=0;

R={\frac {U}{I}}={\frac {0}{I}}=0;

egy ideális kondenzátor ellenállása a végtelenbe hajlik :

ha állandó feszültséget kapcsolunk a kondenzátorra , akkor a kondenzátoron áthaladó áram bármely értéken nulla lesz:

te,

te,

I=0;

R={\frac {U}{I}}={\frac {U}{0}}=\infty .

Ez csak egyenáramra és feszültségre igaz . Váltakozó áram és feszültség alkalmazása esetén a reaktív elemre a reaktív elemek tulajdonságai jelentősen eltérnek:

az induktor kivezetései közötti feszültség nem nulla;
a kondenzátoron átfolyó áram nem lesz nulla.

Ez a viselkedés nem írható le az egyenáram ellenállásával, mivel az ellenállás állandó, időfüggetlen áram-feszültség kapcsolatot feltételez, azaz nincs fáziseltolódás az áram és a feszültség között.

Kényelmes lenne, ha a reaktív elemek aktív ellenállásához hasonló paraméter lenne, amely összefüggésbe hozza az áramot és a feszültséget rajtuk, hasonlóan az Ohm-törvény egyenáram-képletében szereplő aktív ellenálláshoz.

Ilyen jelleggörbe bevezethető, ha figyelembe vesszük a reaktív elemek tulajdonságait harmonikus jelek hatására . Ebben az esetben az áramot és a feszültséget egy bizonyos állandó köti össze (amely bizonyos értelemben hasonló az aktív ellenálláshoz), amelyet " elektromos impedanciának " (vagy egyszerűen " impedanciának ") neveznek. Az impedancia figyelembe vételekor a harmonikus jelek komplex ábrázolását alkalmazzuk, mivel ebben az ábrázolásban egyszerre veszik figyelembe a harmonikus jelek amplitúdó- és fáziskarakterisztikáját , valamint a rendszer harmonikus hatásokra adott válaszait.

Definíció

Az impedancia a kétterminális hálózatra adott harmonikus jel feszültségének komplex amplitúdója és a kétvégű hálózaton állandósult állapotban, azaz a tranziensek befejeződése után átfolyó áram komplex amplitúdójának aránya. Állandósult állapotban állandó paraméterekkel rendelkező lineáris passzív áramkörök esetén az impedancia nem függ az időtől . Ha az impedancia matematikai kifejezésében szereplő idő nem csökken, akkor az impedancia fogalma nem alkalmazható erre a kétvégű hálózatra. ${\hat z}(j\omega )\;$ $t$

{\hat z}(j\omega )\;={\frac {{\hat u}(j\omega ,t)\;}{{\hat i}(j\omega ,t)\;}}= {\frac {U(\omega )e^{{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}}{I(\omega )e^{{j(\omega t+\phi _ {i}(\omega ))))}}={\frac {U(\omega )e^{{j\phi _{u}(\omega )}}}{I(\omega )e^{{ j\phi _{i}(\omega )}}}}={\frac {{\hat U}(j\omega )\;}{{\hat I}(j\omega )\;}}

(egy)

Itt:

$j$ — képzeletbeli egység [5] ;
$\omega$ - ciklikus (körkörös) frekvencia ;
$U(\omega ),~I(\omega )$ a harmonikus jel feszültség- és áramamplitúdója a frekvencián $\omega ;$
$\phi _{u}(\omega ),~\phi _{i}(\omega )$ a harmonikus jel feszültség- és áramfázisai a frekvencián $\omega ;$
${\hat {U}}(j\omega ),~{\hat {I}}(j\omega )\;$ a harmonikus jel komplex feszültség- és áramamplitúdói a frekvencián $\omega .$

Történelmileg az elektrotechnikában az impedancia, az összetett amplitúdók és más összetett frekvenciafüggvények jelölését úgy írják, mint és nem. Ez a jelölés hangsúlyozza, hogy a forma harmonikus függvényeinek összetett ábrázolásait használják. Ezen kívül egy „ház” vagy pont: megkülönböztetni a megfelelő valós értékektől. $f(j\omega ),$ $f(\omega ).$ $e^{j\omega t}.$ ${\dot {U}}(j\omega )\;$

Fizikai jelentés

Algebrai forma

Ha a komplex impedanciát algebrai formájú komplex számnak tekintjük, akkor a valós rész az aktív ellenállásnak , a képzeletbeli rész pedig a reaktívnak felel meg . Azaz egy kétkapu impedancia tekinthető sorba kapcsolt ellenállásnak és egy tisztán reaktív elemnek impedanciával. ${\hat z}(j\omega )\;$ $\Re ({\hat z}(j\omega ))$ $\Im ({\hat {z))(j\omega )).$

A valós rész figyelembevétele hasznos a kétvéges hálózatban disszipált teljesítmény kiszámításánál , mivel a teljesítmény csak az aktív ellenálláson disszipálódik.

Trigonometrikus forma

Ha az impedanciát komplex számnak tekintjük trigonometrikus formában, akkor a modulus megfelel a feszültség és az áram amplitúdóinak arányának (a fáziseltolódást nem vesszük figyelembe), és az argumentum megfelel az áram és a feszültség közötti fáziseltolódásnak, azaz mennyivel marad el az áramfázis a feszültségfázistól vagy a vezetékektől .

Korlátozások

Az impedancia fogalma a klasszikus formájában akkor alkalmazható, ha egy kétpólusú hálózatra harmonikus feszültséget kapcsolva az e feszültség által keltett áram is azonos frekvenciájú harmonikus. Ehhez szükséges és elegendő, hogy a két végpontos hálózat lineáris legyen , paraméterei ne változzanak az idő előrehaladtával és a tranziensek véget érjenek. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor az impedancia a következő okból nem található meg: lehetetlen az impedanciára olyan kifejezést kapni, amely nem függ az időtől, mivel az (1) tényező nem törlődik az impedancia kiszámításakor . $t,$ $e^{{j\omega t}}$

Lineáris kétkivezetéseknél azonban (amelyeknél az időfüggés csökken) az impedancia továbbra is a frekvenciától függ (kivéve azt az esetet, amikor a kétkapocs csak ellenállásokból álló áramkörre redukálódik, és az impedancia valós érték).

Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy az impedancia bármely ellenállásokból, induktorokból és kondenzátorokból álló, azaz lineáris passzív elemekből álló kétterminális hálózatra számítható. Ezenkívül az impedancia jól alkalmazható olyan aktív áramkörökben, amelyek lineárisak a bemeneti jelek széles tartományában (például műveleti erősítőkön alapuló áramkörök ). Azoknál az áramköröknél, amelyeknek az impedanciája a fenti korlátozás miatt nem található, hasznos lehet az impedanciát kisjelű közelítésben megtalálni - egy adott működési pont végtelenül kicsi jelamplitúdójához . Ehhez el kell menni az egyenértékű áramkörhöz , és meg kell keresni az impedanciát.

Általánosított s-sík impedancia és a Laplace-transzformáció

A komplex frekvenciával definiált impedanciák lehetővé teszik egyes, harmonikus jellel gerjesztett lineáris áramkörök frekvenciamenetének kiszámítását , és csak állandósult állapotban. Az áramkör válaszának kiszámításához egy időben tetszőlegesen változó jelre általános impedanciát használunk - egy komplex változó függvényében , és az áramkör válaszát az időtartományban az inverz Laplace-transzformáción keresztül számítják ki , és A számítások során az időbeli reprezentációból származó gerjesztőjelet először komplex reprezentációvá kell alakítani a közvetlen Laplace-transzformációval: $j\omega ,$ $s=\sigma +j\omega$ $f_{in}(t)$ $F_{t}(s)$

F_{t}(s)=\int _{0}^{\infty }f_{in}(t)e^{-st}\,dt.

A rendszer komplex válaszát a szokásos módon fejezzük ki a gerjesztő jel transzformált komplex reprezentációjával és a rendszer komplex átviteli függvényével $H(s):$

F_{t,H}(s)=H(s)\ F_{t}(s).

kétpólusú	Általános impedancia
Ellenállás	$R\,$
Induktor _	$sL\,$
Kondenzátor	${\frac {1}{sC}}\,$

A komplex átviteli függvényt az elektromos áramkörök kiszámításának szokásos módszerével számítják ki, például a Kirchhoff-szabályok szerint az általánosított impedanciákat ellenállásként helyettesítik a képletekben. A passzív kétvégű hálózatok általánosított impedanciáit a táblázat tartalmazza. Például egy ellenállásból és egy sorba kapcsolt tekercsből álló áramkör általános impedanciája $R+sL.$

Az áramkör válaszát az időtartományban az inverz Laplace-transzformáció számítja ki:

f_{F,H}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H(s)\ F_{t}(s)]={\frac {1}{2\pi j}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}H(s)\ F_{t }(s)\,ds,

ahol az integrál konvergenciájának feltételei közül választott valós szám.

\sigma _{1}\

Példa egy RC aluláteresztő szűrő lépészavarra adott időbeli válaszának kiszámítására

A legegyszerűbb I. rendű aluláteresztő szűrő az ábrán látható, és egy sorba kapcsolt ellenállásból és kondenzátorból áll, amely feszültségosztót képez a bemeneti jel számára, ahol a kimeneti jelet a kondenzátorból veszik, az általánosított komplex erősítést egy ilyen osztó: $H_{RC}(s)$

H_{RC}(s)={\frac {1/sC}{R+1/sC}}={\frac {1}{sRC+1}}={\frac {1}{sT+ one }},

ahol jelölve az RC áramkör időállandója.

T=RC

A lépcsőzetes bemeneti jel a Heaviside funkcióval fejezhető ki $h(t):$

U_{in}(t)=U_{0}\ h(t),

hol van a lépésamplitúdó.

U_{0}

A bemeneti jel Laplace-transzformációja:

$F_{in}(s)={\mathcal {L}}[U_{0}\ h(t)]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}\ ,U_{0}\,h(t)\,dt=U_{0}/s.$

U_{out}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H_{RC}(s)\ F_{in}(s)]={\frac {1}{2\ pi j))\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}{\frac {1}{ sT+1}}\cdot {\frac {U_{0}}{s}}\,ds=U_{0}(1-e^{-t/T}).

Így az áramkör válasza nulla kezdeti feltételnél ( at ), ugyanaz, mint egy másik számítási módszer alkalmazásakor, például egy közönséges differenciálegyenlet megoldásából . $U_{C}=0$ $t = 0$

Az áramkörök számításának (és egyéb számítások) gyakorlati alkalmazásához részletes táblázatok készültek számos, a számításoknál gyakran előforduló függvény direkt és inverz Laplace-transzformációjáról.

A tulajdonságait használó Laplace-transzformáció és a Duhamel-integrál kombinálásával általában viszonylag könnyű válaszokat találni a legkülönfélébb lineáris elektromos áramkörök időtartományában.

Impedancia számítása

Ideális elemek

Ellenállás

Ellenállás esetén az impedancia mindig egyenlő az ellenállásával , és nem függ a frekvenciától: $R$

z_{R}=R

(2)

Kondenzátor

A kondenzátor áramát és feszültségét a következők kapcsolják össze:

i(t)=C{\frac {dU}{dt)).

(3)

Ebből következik, hogy feszültségen

{\displaystyle {\hat {u}}(j\omega ,t)=U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))))

(négy)

A kondenzátoron átfolyó áram a következő lesz:

{\hat {i}}(j\omega ,t)=C{\frac {d}{dt}}\left(U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u }(\omega ))}\right)=j\omega CU(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}.

(5)

Miután a (4)-et és (5)-et behelyettesítettük (1)-be, a következőt kapjuk:

{\hat {z}}_{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}.

(6)

Induktor

Az induktor hasonló megfontolása az eredményhez vezet:

{\hat {z}}_{L}(j\omega )\;=j\omega L.

(7)

Általános eset

Egy tetszőleges, ismert impedanciájú elemekből álló kétvégű hálózat esetén nem szükséges a fenti számításokat elvégezni az impedancia megtalálásához. Az impedanciát az összetett áramkör ellenállásának kiszámítására vonatkozó szokásos szabályok szerint találják meg, azaz képleteket használnak az ellenállások párhuzamos és soros csatlakoztatásával. Ebben az esetben az összes matematikai műveletet a komplex számokra vonatkozó műveleti szabályok szerint hajtjuk végre. Például egy ideális sorosan kapcsolt ellenállás, kondenzátor és induktor impedanciája a következő lenne:

{\hat {Z}}(j\omega )\ =R+{\frac {1}{j\omega C}}+j\omega L=R-{\frac {j}{\omega C} }+j\omega L=R+j\left(-{\frac {1}{\omega C}}+\omega L\right).

(nyolc)

Az impedancia kísérleti mérése

Az impedancia közvetlen méréséhez meg kell mérni a vizsgált kétvégű hálózat szinuszos feszültségének és áramának amplitúdóit, és ezzel egyidejűleg a köztük lévő fáziseltolódást.

Az impedanciát gyakran kompenzáló módszerekkel is mérik váltakozó áramú hidakkal, hasonlóan a Wheatstone-i hídhoz egyenáramra, ilyen méréseknél a híd kiegyenlítése a referencia reaktív és aktív elemek változtatásával történik, a mért impedanciát a reaktancia és ellenállás értéke határozza meg. a híd kiegyensúlyozásához szükséges referenciaelemeket.

Az erősáramú eszközökben az impedanciaméréshez szükség lehet egyidejű mérésre és a feszültség alatt álló eszköz tápellátására.

A készülékek és távvezetékek impedanciájának mérése gyakorlati feladat a rádiótechnikában és egyéb területeken.

Az impedanciaméréseket általában egyetlen frekvencián végzik, de ha az impedancia-frekvencia mérésre van szükség, akkor a méréseket a kívánt frekvenciatartományban több frekvencián végezzük.

Az impedancia aktív és reaktív komponenseit általában ohmban fejezzük ki. Az antennák , távvezetékek és mikrohullámú elektronikus eszközök jellemzésére azonban általában kényelmesebb a hozzájuk tartozó S-paraméterek , állóhullámarány vagy reflexiós együttható használata .

Egy eszköz ellenállása a komplex feszültség és áram elosztásával számítható ki. Az eszköz impedanciáját úgy számítják ki, hogy szinuszos feszültséget kapcsolnak az eszközre egy referenciaellenállással sorba, és megmérik az ellenálláson és az eszközön lévő feszültségeket. Ennek a mérésnek a tesztjel több frekvenciáján történő végrehajtása lehetővé teszi a fáziseltolás és az impedancia értékének meghatározását [6] .

A vizsgált áramkör impulzusos tesztjelre adott válaszának mérése a gyors Fourier-transzformációval kombinálva használható különféle elektromos eszközök impedanciájának mérésére [6] .

Az LCR mérő (L induktivitás, C kapacitás és R ellenállás) vagy immitanciamérő egy olyan eszköz, amelyet általában egy komponens induktivitásának, ellenállásának és kapacitásának mérésére használnak. Ezekből az értékekből bármely frekvencián kiszámítható az impedancia.

Az impedancia fogalmának alkalmazása

Az impedancia bevezetése lehetővé teszi egy kétvégű, reaktív tulajdonságokkal rendelkező hálózat viselkedésének leírását harmonikus jel hatására. Ezen túlmenően, nem harmonikus jel esetén az impedancia is ugyanolyan sikeresen kerül alkalmazásra. Ehhez a Laplace-transzformációt alkalmazzuk, vagy a jelet spektrális komponensekre bontjuk egy Fourier-sor (vagy Fourier-transzformáció ) segítségével, és figyelembe veszik az egyes spektrális komponensek hatását. A kétterminális hálózat linearitása miatt a spektrális komponensekre adott válaszok összege megegyezik az eredeti nem-harmonikus jelre adott válaszokkal.

Lásd még

Jegyzetek

↑ GOST 19880-74 Elektrotechnika. Alapfogalmak. Kifejezések és meghatározások . docs.cntd.ru. Letöltve: 2018. november 7. (határozatlan)
↑ GOST R 52002-2003 Elektrotechnika. Az alapfogalmak fogalmai és meghatározásai . docs.cntd.ru. Hozzáférés időpontja: 2020. szeptember 21. (határozatlan)
↑ Tudomány , p. 1888. 18
↑ Oliver Heaviside. A villanyszerelők. 212. o.; 1886. július 23. újranyomva Electrical Papers , 64. o., AMS Bookstore, ISBN 0-8218-3465-7
↑ Az elektrotechnikában és az elektronikában a képzeletbeli egységet általában szimbólummal jelölik, hogy elkerüljük az összetéveszthetőséget az áramerősséget hagyományosan használt szimbólummal. $j,$ $én,$
↑ 1 2 George Lewis Jr. Költséghatékony szélessávú elektromos impedancia spektroszkópiai mérőáramkör és jelelemzés piezoanyagokhoz és ultrahang átalakítókhoz // Méréstudomány és technológia : folyóirat. - 2008. - augusztus ( 19. évf. , 10. sz.). — P. 105102 . - doi : 10.1088/0957-0233/19/10/105102 . - . — PMID 19081773 .

Irodalom

Bessonov L. A. Az elektrotechnika elméleti alapjai. - 9. kiadás - M . : Felsőiskola, 1996.
Grafov BM, Ukshe EA Váltakozó áramú elektrokémiai áramkörök. - M .: Nauka, 1983.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online) Treccani Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4128475-6 J9U : 987007541087005171 LCCN : sh85064610 NDL : 00564146