Elliptikus szűrő

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. október 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Az elliptikus szűrő ( Cauer - szűrő , vagy Zolotarev - szűrő , vagy Zolotarev-Cauer-szűrő ) egy elektronikus szűrő , amelynek jellemzője az amplitúdó-frekvencia-karakterisztika hullámzása mind az áteresztősávban , mind az elnyomási sávban . A pulzációk nagysága az egyes sávokban független egymástól. Egy ilyen szűrő másik megkülönböztető jellemzője az amplitúdó karakterisztika nagyon meredek gördülése, így ezzel a szűrővel hatékonyabb frekvenciaelválasztást érhet el, mint más lineáris szűrőkkel.

Ha az elnyomási sávban a hullámosság nulla, akkor az elliptikus szűrő az első típusú Csebisev-szűrővé válik . Ha a hullámosság nulla az áteresztősávban, akkor a szűrő egy második típusú Csebisev szűrővé válik. Ha nincs hullámosság a teljes amplitúdókarakterisztikában, akkor a szűrő Butterworth-szűrővé válik .

Egy elliptikus aluláteresztő szűrő frekvenciaválasza az ω körfrekvencia függvénye , és a következő képlet adja meg:

G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0))))) }

ahol R n egy n és rendű racionális elliptikus függvény

\omega_0

- vágási frekvencia

\epsilon

— hullámossági tényező _

\xi

- szelektivitási tényező _

A hullámossági index értéke határozza meg az áteresztősávban lévő hullámzást, míg az elutasítási sávban lévő hullámosság a hullámossági indextől és a szelektivitási indextől egyaránt függ.

Tulajdonságok

Az áteresztősávban az elliptikus függvény az értékeket nulláról egyre változtatja. Ezért az áteresztősávban a frekvenciamenet egységenként változik . $1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$

Az elnyomási sávban az elliptikus függvény az értékeket végtelenről az értékre változtatja , amelyet a következőképpen definiálunk: $L_{n}$

L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )

Az elnyomási sáv frekvenciaválasza így nulláról értékre változtatja az értékeket .

1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2))}

A határeset az elliptikus függvényt Csebisev-polinommá alakítja , és így az elliptikus szűrő az első típusú Csebisev-szűrővé válik, ε hullámzási kitevőjével. $\xi \rightarrow \infty$
Mivel a Butterworth szűrő a Csebisev szűrő limitáló esete , akkor a feltételek mellett az elliptikus szűrő Butterworth szűrővé válik. $\xi \rightarrow \infty$ $\omega _{0}\jobbra 0$ $\epszilon \jobbra nyíl 0$ $\epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1$
A határeset , és így az elliptikus szűrőt egy második típusú , frekvenciamenetes Csebisev szűrővé változtatja $\xi \rightarrow \infty$ $\epszilon \jobbra nyíl 0$ $\omega _{0}\jobbra 0$ $\xi \omega _{0}=1$ $\epsilon L_{n}=\alpha$

G(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega ))))) }}.

Pólusok és nullák

A frekvenciaválasz modul nullái egybeesnek a tört-racionális elliptikus függvény pólusaival .

Az elliptikus szűrő pólusai ugyanúgy meghatározhatók, mint az első típusú Csebisev-szűrő pólusai. Az egyszerűség kedvéért a vágási frekvenciát egységgel egyenlőnek vesszük. Az elliptikus szűrő pólusai az amplitúdójellemző nevezőjének nullái lesznek. A komplex frekvencia használatával kapjuk: $(\omega_{pm})$ $s=\sigma +j\omega ,$

1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0

Legyen , ahol cd a Jacobi elliptikus koszinuszfüggvény . Ekkor egy elliptikus tört racionális függvény definíciójával a következőt kapjuk: $-js={\mathrm {cd}}(w,1/\xi )$

1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n)){K)),{\frac {1}{L_{n))} \right)=0

hol és . Megoldása w $K=K(1/\xi )$ $K_{n}=K(1/L_{n})$

w={\frac {K}{nK_{n}}}{\mathrm {cd}}^{{-1}}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }}),{\frac { 1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}},

ahol az inverz cd függvény értékeit egy m egész index használatával tesszük explicitté .

Az elliptikus függvény pólusai ebben az esetben:

s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi ).

Akárcsak a Csebisev-polinomok esetében, ez is kifejezhető egy explicit komplex formában [1]

s_{{pm}}={\frac {a+jb}{c}},

a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2))}{\sqrt {1-x_{m}^{2))}{\sqrt {1-x_ {m}^{2}/\xi ^{2}}},

b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}),

c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2},

ahol a és és az és az elliptikus függvény nullái. A függvény a Jacobi-elliptikus függvény értelmében minden n -re van definiálva. Az 1-es és 2-es rendelésre van $\zeta _{n}$ $n,\,\epsilon$ $\xi$ $x_{m}$ $\zeta _{n}$

\zeta _{1}={\frac {1}{{\sqrt {1+\epsilon ^{2))))},

\zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}},

ahol

t={\frac {1}{{\sqrt {1-1/\xi ^{2))))}.

Az elliptikus függvények rekurzív tulajdonságai felhasználhatók magasabb rendű kifejezések létrehozására : $\zeta _{n}$

\zeta _{{m\cdot n}}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt ({\frac {1}{\zeta _{n}^{ 2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\jobbra),

ahol $L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi ).$

Elliptikus szűrők minimális Q tényezővel

Lásd [2] Az elliptikus szűrőket általában az áteresztősávban, az elutasítási sávban és az amplitúdó-válasz meredekségének megadásával határozzák meg. Ezek a jellemzők meghatározóak a szűrő minimális sorrendjének beállításához. Az elliptikus szűrő tervezésének másik megközelítése az analóg szűrő amplitúdóválaszának érzékenységének meghatározása az elektronikus komponensek értékeire. Ez az érzékenység fordítottan arányos a szűrő átviteli függvényének pólusainak speciális kitevőjével ( Q tényező ). Az oszlop minőségi tényezője a következőképpen definiálható:

Q=-{\frac {|s_{{pm}}|}{2{\mathrm {Re}}(s_{{pm}})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg (s_{{pm}})))}}

és egy adott pólusnak a teljes amplitúdójellemzőre gyakorolt hatásának mértéke. Adott sorrendű elliptikus szűrő esetén kapcsolat van a hullámossági index és a szelektivitási tényező között, ami minimalizálja az átviteli függvény összes pólusának minőségi tényezőjét:

\epsilon _{{Qmin}}={\frac {1}{{\sqrt {L_{n}(\xi )))}}

Ez egy olyan szűrő létezéséhez vezet, amely a legkevésbé érzékeny a szűrőkomponensek paramétereinek változásaira, azonban ezzel a tervezési módszerrel elveszik az a képesség, hogy önállóan hozzárendelje a hullámzás mértékét az áteresztősávban és az elnyomási sávban. Az ilyen szűrőknél a sorrend növekedésével a hullámosság mind a stop-, mind az áteresztősávban csökken, és a karakterisztika lejtési frekvencia körüli meredeksége nő. Minimális minőségi tényezővel rendelkező szűrő kiszámításakor figyelembe kell venni, hogy egy ilyen szűrő sorrendje nagyobb lesz, mint a szokásos számítási módszernél. Az amplitúdókarakterisztika modul grafikonja szinte ugyanúgy fog kinézni, mint korábban, azonban a pólusok nem ellipszisben, hanem körben helyezkednek el, és ellentétben a Butterworth-szűrővel , amelynek pólusai szintén körben helyezkednek el, a a köztük lévő távolság nem lesz azonos, de a képzeletbeli tengelyen nullák lesznek elhelyezve.

Összehasonlítás más lineáris szűrőkkel

Az alábbiakban grafikonok láthatók néhány leggyakoribb lineáris elektronikus szűrő amplitúdó-frekvencia jellemzőiről, azonos számú együtthatóval:

A grafikonon látható, hogy az elliptikus szűrőnek van a legnagyobb meredeksége, de jelentős hullámzása van mind az áteresztősávban, mind a leállítósávban.

Lásd még

Bibliográfia

V.A. Lucas. Az automatikus vezérlés elmélete. - M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky . Útmutató a rádióelektronika elméleti alapjairól. - M . : Energia, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Szűrőtervezés jelfeldolgozáshoz MATLAB© és Mathematica© segítségével. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Közelítési módszerek az elektronikus szűrőtervezéshez. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Tudományos és mérnöki útmutató a digitális jelfeldolgozáshoz . - Második kiadás. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Közelítési módszerek az elektronikus szűrőtervezéshez. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Adaptív jelfeldolgozás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Adaptív szűrőelmélet. - 4. kiadás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Adaptív szűrők – struktúrák, algoritmusok és alkalmazások . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J. D. Markel, A. H. Gray, Jr. A beszéd lineáris előrejelzése. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L. R. Rabiner , R. W. Schafer. Beszédjelek digitális feldolgozása. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digitális jelfeldolgozás VLSI-ben. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Digitális jelfeldolgozás . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. A digitális jelfeldolgozás elmélete és alkalmazása. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Bevezetés a digitális jelfeldolgozásba. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .