Tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Tétel - ( ógörög Θεώρημα , más görögből Θεώρηώ - érvelek [2] ) matematikai állítás, melynek igazságát bizonyítás állapítja meg . A tételek bizonyítása korábban bizonyított tételeken és általánosan elfogadott állításokon ( axiómák ) alapul [3] .

A tétel az axiómák logikai következménye . A matematikai tétel bizonyítása logikus érv a formális rendszer szabályai szerint adott tétel állítása mellett . A tétel bizonyítását gyakran a tétel állítása igazságának igazolásaként értelmezik. A tételek bizonyítására vonatkozó követelmény fényében a tétel fogalma alapvetően deduktív , szemben a tudományos törvény fogalmával , amely kísérleti jellegű [4] .

Sok matematikai tétel feltételes állítás. Ebben az esetben a bizonyítás hipotéziseknek vagy premisszáknak nevezett feltételekből von le következtetést . A bizonyítékoknak az igazság igazolásaként való értelmezésének fényében a következtetést gyakran a hipotézisek szükségszerű következményének tekintik , nevezetesen, hogy a következtetés igaz, ha a hipotézisek igazak, minden további feltevések nélkül. A feltételek azonban egyes deduktív rendszerekben eltérően értelmezhetők a következtetési szabályokhoz és a feltételszimbólumhoz rendelt jelentésektől függően.

Míg a tételek teljesen szimbolikus formában írhatók, például propozíciószámítással , gyakran természetes nyelven (angol, orosz, francia stb.) fejezik ki őket. Ugyanez vonatkozik a bizonyításokra is, amelyeket gyakran informális érvek logikusan szervezett és jól megfogalmazott láncolataként fejeznek ki, amelyek célja, hogy az olvasókat meggyőzzék a tétel kijelentésének igazságáról, amelyből elvileg formális szimbolikus bizonyítást lehet építeni. Az ilyen érveket általában könnyebb tesztelni, mint a tisztán szimbolikusakat, és valójában sok matematikus olyan bizonyítást részesít előnyben, amely nemcsak a tétel érvényességét bizonyítja, hanem valamilyen módon meg is magyarázza, miért nyilvánvalóan igaz. Egyes esetekben egy kép is elegendő a tétel bizonyításához.

Mivel a tételek a matematika középpontjában állnak, esztétikájában is központi szerepet játszanak. A tételeket gyakran "triviálisnak", "keménynek", "mélynek" vagy akár "gyönyörűnek" írják le. Ezek a szubjektív ítéletek nemcsak személyenként változnak, hanem idővel is: például, ha egy bizonyítást leegyszerűsítenek vagy jobban megértenek, egy egykor nehéz tétel triviálissá válhat. Másrészt egy mély tétel egyszerűen megfogalmazható, de bizonyítása meglepő és finom összefüggéseket rejthet magában a matematika különböző területei között. Egy ilyen tétel különösen híres példája Fermat utolsó tétele .

Tételek informális megállapítása

A logika szempontjából sok tétel egy konvenció formáját ölti: ha A, akkor B. Egy ilyen tétel nem állítja B igazságát , hanem csak azt, hogy B szükségszerű következménye A - nak. Ebben az esetben A a tétel logikai hipotézisének , B  pedig a következtetésnek nevezzük (formálisan A -t és B -t az előző és a következő állításoknak nevezzük ). Hangsúlyozni kell, hogy a logikai hipotézis és a matematikai hipotézis  különböző fogalmak. Tehát a „Ha n  páros természetes szám, akkor n / 2 természetes szám” egy példa egy olyan tételre, amelyben a hipotézis az „ n  páros természetes szám”, és az „ n / n / a 2 is természetes szám” – a következtetés.

A tétel bizonyításához pontos formális állításként kell kifejezni. Az olvasó kényelme érdekében azonban a tételeket általában nem teljesen szimbolikus formában, hanem természetes nyelven fejezik ki. Az olvasó önállóan alakítja át az informális nyilatkozatot formálissá.

A matematikában gyakori, hogy több hipotézist választanak ki, és olyan elméletet hoznak létre , amely a hipotézisekből logikusan következő összes állításból áll. Az elmélet alapját képező hipotéziseket axiómáknak vagy posztulátumoknak nevezzük . A matematikának a formális nyelveket, axiómákat és a bizonyítások szerkezetét vizsgáló területét bizonyításelméletnek nevezzük .

Egyes tételek „ triviálisak ” abban az értelemben, hogy nyilvánvaló módon definíciókból, axiómákból és más tételekből következnek, és nem tartalmaznak meglepő gondolatokat. Másrészt egyes tételek "mélynek" nevezhetők, mert bizonyításuk hosszú és nehéz lehet, a matematika olyan területeit érinti, amelyek felületesen eltérnek magától a tétel kijelentésétől, vagy meglepő összefüggéseket mutatnak a matematika különböző területei között. Egy tétel lehet egyszerű előadásmódban és ugyanakkor mély. A mély tétel kiváló példája Fermat utolsó tétele . A számelméletben és a kombinatorikában , valamint a matematika más területein számos példa van egyszerű, de mély tételekre.

Másrészt vannak olyan tételek, amelyeknek van olyan bizonyítása, amely nem írható le egyszerű formában. Az ilyen tételek legszembetűnőbb példái a négy szín tétele és a Kepler-hipotézis . Mindkét tételről ismert, hogy egy bizonyos algoritmusra redukálódnak, amelyet aztán egy számítógépes program ellenőriz. Kezdetben sok matematikus nem fogadta el ezt a bizonyítási formát, de mára ez engedélyezett. Doron Zeilberger matematikus még azzal is érvel, hogy talán ezek az egyetlen nem triviális eredmények, amelyeket a matematikusok valaha is bebizonyítottak [5] . Számos matematikai tétel egyszerűbb számításokra redukálható, beleértve a polinomiális azonosságokat, a trigonometrikus azonosságokat és a hipergeometrikus azonosságokat [6] .

A biztonság és a tétel

Egy matematikai állítás tételként való felállításához bizonyításra van szükség, vagyis a rendszerben lévő axiómáktól (és más már megállapított tételektől) az adott állításig egy gondolatmenetet kell bemutatni. A bizonyítást azonban általában a tétel kijelentésétől elkülönítve tekintjük. Míg egy tételre több bizonyíték is ismert, csak egy bizonyításra van szükség ahhoz, hogy egy állítás tételként megállapítható legyen. A legtöbb különböző bizonyítással rendelkező tétel nevére a Pitagorasz -tétel és a másodfokú reciprocitás törvénye pályázik.

Kapcsolat a tudományos elméletekkel

A matematikai tételek és a természettudományi elméletek ismeretelméletükben alapvetően különböznek egymástól . Egy tudományos elméletet nem lehet bizonyítani; fő tulajdonsága, hogy hamisítható , azaz kísérletileg tesztelhető előrejelzéseket ad a természeti világról . Bármilyen eltérés az előrejelzés és a kísérlet között azt mutatja, hogy a tudományos elmélet téves, vagy legalábbis korlátozza annak pontosságát vagy hatókörét. A matematikai tételek ezzel szemben pusztán absztrakt formális állítások: a tétel bizonyítása nem tartalmazhat kísérleteket vagy más empirikus bizonyítékokat ugyanúgy, ahogy ezeket a bizonyításokat tudományos elméletek alátámasztására használják.

A matematikai tételek felfedezésében azonban van egy bizonyos fokú empirizmus és adatgyűjtés. Egy modell felállításával, esetenként egy nagy teljesítményű számítógép használatával a matematikusoknak fogalmuk lehet arról, hogy mit kell bizonyítanunk, és bizonyos esetekben még azt is, hogyan kell eljárni a bizonyítással. Például a Collatz-sejtést körülbelül 2,88 × 10 18 kezdeti értékekre tesztelték . A Riemann-hipotézist a zéta-függvény első 10 billió nullájára tesztelték . Ezen állítások egyike sem tekinthető bizonyítottnak.

Az ilyen bizonyítékok nem bizonyítékok. Például a Mertens-sejtés  egy hamis állítás a természetes számokról, de egy kifejezett ellenpélda nem ismert. Csak azt tudjuk, hogy a legkisebb ellenpélda nem kisebb, mint 10 14 és nem több, mint 10 4,3 × 10 39 . Kimerítő kereséssel lehetetlen egyértelmű ellenpéldát találni , de ismert, hogy létezik.

Az "elmélet" szó a matematikában is létezik, hogy matematikai axiómák, definíciók és tételek halmazára utaljon, például a csoportelméletre . A tudományban, különösen a fizikában és a mérnöki tudományban is vannak "tételek", de gyakran vannak olyan állítások, bizonyítások, amelyekben a fizikai feltevések és az intuíció fontos szerepet játszanak; a fizikai axiómák, amelyeken az ilyen "tételek" alapulnak, maguk is meghamisíthatók.

Terminológia

Számos különböző kifejezés létezik a matematikai állításokra; ezek a kifejezések azt a szerepet jelzik, amelyet az állítások játszanak egy adott témában. A különböző kifejezések közötti ellentmondás néha meglehetősen önkényes, és az idő múlásával egyes kifejezések gyakrabban használtak, mint mások.

• Az axióma vagy posztulátum  olyan állítás, amelyet bizonyítékok nélkül fogadnak el, és amelyet az alany szempontjából alapvetőnek tekintenek. Történelmileg az axiómákat magától értetődőnek tekintették, de újabban olyan feltevéseknek tekintik, amelyek a vizsgálat tárgyát jellemzik. A klasszikus geometriában az axiómák általános állítások, a posztulátumok pedig a geometriai objektumok tulajdonságaira vonatkozó állítások [7] . Egy definíciót bizonyítás nélkül is elfogadunk, mivel egyszerűen csak megadja egy szó vagy kifejezés jelentését az ismert fogalmak szempontjából.

• Az igaznak vélt ellenőrizetlen állítást hipotézisnek nevezzük . Ahhoz, hogy az állítást sejtésnek lehessen tekinteni, általában nyilvánosan kell felkínálni, ekkor a kezdeményező nevét csatolni lehet a sejtéshez, mint a Goldbach-sejtés esetében . További figyelemre méltó példák a sejtésekre a Collatz-sejtés és a Riemann-hipotézis . Másrészt Fermat utolsó tételét mindig is ezen a néven ismerték, még azelőtt, hogy bebizonyosodott volna; soha nem nevezték "Fermat hipotézisének".
• A tétel  egy kisebb jelentőségű tétel. A kifejezés néha egyszerű bizonyítással rendelkező állítást jelent, míg a tétel kifejezést általában a legfontosabb eredményekre, vagy hosszú vagy nehéz bizonyítással rendelkező eredményekre tartják fenn. Egyes szerzők soha nem használják a „tétel” kifejezést, mások pedig csak az alapvető eredményekre használják a „tétel” kifejezést. A klasszikus geometriában a kifejezést többféleképpen használták: Euklidész Elemeiben (Kr. e. 300 körül) minden tételt és geometriai konstrukciót „ítéletnek” neveztek, függetlenül azok fontosságától.
• A lemma  egy "kiegészítő tétel", egy kevéssé alkalmazható tétel, amely azonban egy nagyobb tétel bizonyításának része. Egyes esetekben, amikor a különféle tételek relatív fontossága világosabbá válik, az egykor lemmának tekintett tétel mára tételnek minősül, bár a „lemma” szó megmaradt nevében. Például Gauss lemma, Zorn ésalapvető lemma
• A következmény egy olyan állítás, amely kevés bizonyítékkal következik egy másik tételből vagy definícióból [8] . Ennek következménye lehet egy korlátozottabb speciális esetre újrafogalmazott tétel is . Például annak a tételnek, hogy egy téglalap minden szöge derékszög , azzal a következménnyel jár, hogy egy négyzet minden szöge (téglalap speciális esete ) derékszög .
• A tétel megfordítása a tételben megadott és a bizonyítandó megváltoztatásával alkotott állítás. Például az egyenlő szárú háromszög tétel kimondja, hogy ha egy háromszög két oldala egyenlő, akkor két szög egyenlő. Ha felcseréljük a megadottat (két oldal egyenlő) és a bizonyítandót (két szög egyenlő), akkor a fordított állítást kapjuk: ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor két oldala egyenlő. Ebben a példában az ellenkezőjét be lehetne bizonyítani egy másik tételként, de gyakran nem az. Például annak a tételnek az inverz állítása, hogy két derékszög egyenlő, az az állítás, hogy két egyenlő szögnek derékszögnek kell lennie, de ez nyilvánvalóan nem mindig van így [9] .
• Az általánosítás olyan tétel, amely speciális esetként , tehát következményként tartalmaz egy korábban bizonyított tételt.

Vannak más, ritkábban használt kifejezések is, amelyeket általában bizonyított állításokhoz kapcsolnak, így egyes tételeket történelmi vagy konvencionális elnevezésekkel illetnek. Például:

• Az azonosság  egy tétel a két matematikai kifejezés közötti egyenlőségről, amely mindig igaz, függetlenül attól, hogy milyen értékeket használunk a kifejezésekben megjelenő változókhoz vagy paraméterekhez . Ilyen például az Euler-képlet és a Vandermonde-azonosság .
• A szabály  egy tétel, amely egy hasznos képletet állít fel. Például Bayes szabálya és Cramer szabálya .
• A törvény vagy elv  olyan tétel, amely a körülmények széles körében érvényes. Ilyen például a nagy számok törvénye , a koszinusztétel , a Kolmogorov-féle nulla-egyes törvény , a Harnack-elv, a legkisebb felső korlátos tulajdonság a Dirichlet-elv 10 .

Több közismert tételnek még különösebb neve van. Az osztási algoritmus (lásd osztás maradékkal ) egy olyan tétel, amely a természetes számokkal és általánosabb gyűrűkkel való osztás eredményét fejezi ki. Bezout aránya  egy olyan tétel, amely szerint két szám legnagyobb közös osztója felírható e számok lineáris kombinációjaként. A Banach-Tarski-paradoxon  a mértékelmélet tétele , amely paradox abban az értelemben, hogy ellentmond a háromdimenziós tér térfogatával kapcsolatos általános elképzeléseknek.

A tétel elrendezése

A tételt és bizonyítását általában a következőképpen fogalmazzák meg:

A tétel és a bizonyító személy neve, valamint a felfedezés, bizonyítás vagy közzététel éve. Egy tétel kijelentése (néha propozíciónak is nevezik ). Bizonyíték A bizonyítás leírása. Vége.

A bizonyítás végét jelezhetik a QED ( quod erat demonstrandum ) betűk, vagy a Halmos Pál által a folyóiratcikkekben való felhasználásuk után bevezetett „□” vagy „∎”, azaz „Bizonyítás vége” sírkövek .

A pontos stílus a szerzőtől vagy a kiadványtól függ. Számos kiadvány tartalmaz utasításokat vagy makrókat a stílus útmutatókba való beíráshoz .

Általában a tételt megelőzik a tételben használt kifejezések pontos jelentését leíró definíciók . Ezenkívül a tétel kijelentése megelőz egy sor állítást vagy lemmát, amelyeket azután a bizonyításban használunk. A tételbizonyításban azonban néha lemmák is szerepelnek, akár beágyazott bizonyítással, akár a tétel bizonyítása után bemutatott bizonyításaikkal.

A tétel következményei vagy a tétel és a bizonyítás között, vagy közvetlenül a bizonyítás után kerülnek bemutatásra. Néha a következményeknek megvannak a saját bizonyításaik, amelyek megmagyarázzák, miért következnek a tételből.

Érdekes tények

Becslések szerint évente több mint negyedmillió tétel bizonyítására kerül sor [11] .

A jól ismert „ a matematikus a kávé tételekké alakító gépe ” aforizmát gyakran a kiváló matematikusnak , Erdős Pálnak tulajdonítják , aki arról volt híres, hogy sok tételt bizonyított, az Erdős -szám a lehetséges munkatársai számát jellemzi, ill. a hatalmas mennyiségű kávét, amit megivott [12] . Ez az állítás azonban Erdős egyik kollégájához, Renyi Alfrédhoz tartozik (bár Renyi, aki ezt a kifejezést kimondta, valószínűleg Erdősre gondolt).

Egyes matematikusok az egyszerű véges csoportok osztályozását tekintik a tétel leghosszabb bizonyításának. Körülbelül 100 szerző készítette 500 folyóiratcikkben, amelyek összesen több tízezer oldalt ölelnek fel. Ezek a publikációk együttesen teljes bizonyítást adnak, és sok matematikus reméli, hogy lerövidíti és leegyszerűsíti ezt a bizonyítást [13] . Egy másik ilyen típusú tétel a négy szín probléma, amelynek számítógépes bizonyítása túl hosszú ahhoz, hogy az ember elolvassa. Ez messze a leghosszabb ismert bizonyítéka a tételnek, és az állítást a laikusok is könnyen megértik.

Lásd még

• Elmélet
• Tézis
• Következtetés
• Ellentétes tétel
• Inverz tétel

Jegyzetek

1. ↑ Elisha Scott Loomis. A Pitagorasz-propozíció: elemzett és osztályozott demonstrációi, valamint a négyféle bizonyítási adatforrások bibliográfiája . Oktatási Információs Központ . Az Egyesült Államok Oktatási Minisztériumának Oktatástudományi Intézete (IES) . Letöltve: 2010. szeptember 26. (határozatlan)
2. ↑ Idegen szavak rövid szótára. - 7. kiadás - M . : Orosz nyelv , 1984. - S. 250. - 312 p.
3. ↑ Tétel // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4. - S. 334-335. — 1216 p.
4. ↑ Azonban mind a tételek, mind a tudományos törvények vizsgálatok eredménye. Lásd Heath, 1897 Introduction, The terminology of Archimedes , p. clxxxii: "tétel (θεώρημα) a θεωρεῖν-ből, hogy vizsgálja meg"
5. ↑ Doron Zeilberger. 51. vélemény . Letöltve: 2019. április 25. Az eredetiből archiválva : 2016. június 10. (határozatlan)
6. ↑ Petkovsek et al. 1996.
7. ↑ Wentworth, G.; Smith, D.E. Art. 46, 47 // Síkgeometria  (határozatlan) . - Ginn & Co., 1913.
8. ↑ Wentworth & Smith Art. 51
9. ↑ Ezt követi a Wentworth & Smith Art. 79
10. ^ A törvény szó utalhat egy axiómára, egy következtetési szabályra , vagy a valószínűségelméletben egy valószínűségi eloszlásra is .
11. ↑ Hoffman 1998, p. 204.
12. ↑ Hoffman 1998, p. 7.
13. ↑ Hatalmas tétel: Véges egyszerű csoportok osztályozása Archiválva : 2009. február 2., a Wayback Machine , Richard Elwes, Plus Magazine, 2006. december 41. szám.

Irodalom

• Heath, Sir Thomas Little. Archimedes művei  (angol) . – Dover, 1897.
• Hoffman, P. Az ember, aki csak a számokat szerette: Erdős Pál története és a matematikai igazság keresése  . - Hyperion, New York, 1998.
• Hofstadter, Douglas. Gödel, Escher, Bach : Egy örök aranyfonat  (német) . – Alapkönyvek , 1979.
• Hunter, Geoffrey. Metalogic: Bevezetés a szabványos elsőrendű  logika metaelméletébe . – University of California Press , 1996.
• Társak, Benson. Elemi logika  . – Oxford University Press , 1972.
• Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert. A = B  (meghatározatlan) . – A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts, 1996.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán nagy kínai Nagy norvég Nagy orosz litván univerzális Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NDL : 00577594