Operátor ( késő latin operátor - munkás, előadó, operorból - dolgozom, cselekszem) - a halmazok közötti matematikai leképezés , amelyben mindegyiket valamilyen további struktúrával (rend, topológia, algebrai műveletek) ruházzák fel. Az operátor fogalmát a matematika különböző ágai használják, hogy megkülönböztessék más leképezésektől (főleg numerikus függvényektől ); a pontos jelentés a kontextustól függ, például a funkcionális elemzésben az operátorokon olyan leképezéseket értünk, amelyek függvényeket társítanak egy másik függvénnyel („operátor a függvények terén” a „függvényből származó függvény”) helyett.
Néhány típusú operátor:
Egy operátorról azt mondják, hogy halmazról halmazra cselekszik . Előfordulhat, hogy az operátor nem mindenhol definiálható a ; akkor annak definíciós tartományáról beszélünk . A vagy jelölő operátor alkalmazásának eredményéhez .
Ha az és vektorterek , akkor az összes operátor halmazában a -tól -ig kiemelhetjük a lineáris operátorok osztályát .
Ha és vektortopológiai terek , akkor a from operátorok halmazában a folytonos operátorok osztálya , valamint a lineáris korlátos operátorok osztálya és a lineáris kompakt operátorok osztálya (más néven teljesen folytonos) természetesen megkülönböztethető .
A függvényterekre ható operátor egy szabály, amely szerint az egyik függvény egy másikká alakul. Egy függvénynek a szabály szerinti átalakítása egy másik függvénnyel az alakja vagy egyszerűbben: .
Ilyen transzformáció például a szorzás egy számmal: és a differenciálás: . A megfelelő operátorokat számmal való szorzás, differenciálás, integrálás, differenciálegyenlet megoldásának stb.
A függvény argumentumát módosító operátorokat konverziós operátoroknak vagy transzformációknak nevezzük . A transzformáció lecseréli a koordinátatengelyeket, egy másik térben jeleníti meg a függvényt. Például Fourier transzformáció időről frekvenciatartományra:
A különbség az operátor és a függvények egyszerű szuperpozíciója között ebben az esetben az, hogy a függvény értéke általában minden pontban nem csak attól függ , hanem a függvény minden pontban lévő értékétől . Magyarázzuk meg a Fourier-transzformáció példáján. Ennek a transzformációnak (függvényspektrum) értéke egy pontban az eredeti függvény folyamatos változásával változik bármely pont közelében .
Az operátorok elmélete az operátorok általános tulajdonságainak tanulmányozásával és azok különböző problémák megoldására való alkalmazásával foglalkozik . Például kiderül, hogy a vektor-mátrix szorzás operátorának és egy súlyú függvény konvolúciós operátorának sok közös tulajdonsága van.
A gyakorlat alapja az úgynevezett lineáris operátorok osztálya . Ez is a legtöbbet kutatott. Példa a lineáris operátorra az a művelet, amikor egy -dimenziós vektort megszoroznak egy méretű mátrixszal . Ez az operátor a vektorok -dimenziós terét -dimenziós térre képezi le .
Egy operátort (amely vektortérből vektortérbe lép) lineáris homogénnek (vagy egyszerűen lineárisnak ) nevezzük, ha a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
A második tulajdonságból következik, hogy a tulajdonság igaz egy lineáris homogén operátorra .
Egy operátort lineáris inhomogénnek nevezünk, ha egy lineáris homogén operátorból áll, néhány rögzített elem hozzáadásával:
,ahol egy lineáris homogén operátor.
Diszkrét függvények (sorozatok, vektorok) lineáris transzformációja esetén a függvények új értékei a régi értékek lineáris függvényei :
.A folytonos függvények általánosabb esetében a kétdimenziós súlymátrix két változó függvénye , és a lineáris integráltranszformáció magjának nevezzük :
Az operandusfüggvényt ebben az esetben spektrális függvénynek nevezzük . A spektrum lehet diszkrét is, ebben az esetben vektorral helyettesítjük . Ebben az esetben a függvény véges vagy végtelen sorozatával ábrázolható:
Az operátor , amely minden vektorhoz nullvektort rendel , nyilvánvalóan lineáris; null operátornak nevezzük [1] .
Az operátor , amely az egyes vektorokat magához a vektorhoz társítja , nyilvánvalóan lineáris; identitásnak vagy identitás operátornak nevezzük.
Egy lineáris operátor speciális esete, amely az operandust változatlanul adja vissza:
vagyis hogyan határozza meg a mátrix operátort az egyenlőség
és integrál operátorként az egyenlőség által
.Az identitásmátrixot többnyire egy szimbólummal ( a Kronecker szimbólummal ) írják. Nálunk van: at és at .
Az egység kernel a ( delta függvény ) alakban van írva . mindenhol, kivéve , ahol a függvény végtelenné válik, és ráadásul olyanná, hogy
.A matematikában és a technológiában széles körben használják az írásoperátorok feltételes formáját, hasonlóan az algebrai szimbolikához. Az ilyen szimbolika számos esetben lehetővé teszi a bonyolult átalakítások elkerülését és a képletek egyszerű és kényelmes formában történő írását. Az operátor argumentumait operandusoknak , az operandusok számát pedig az operátor aritásának (pl. egyszeres, bináris) nevezzük. Az operátorok írása a következőképpen rendszerezhető:
Amint láthatja, az operátor jelölése gyakran a függvények hagyományos jelölésének rövidítését veszi fel. Előtag vagy utótag jelölés használatakor a zárójeleket a legtöbb esetben kihagyjuk, ha ismert az operátor aritása . Tehát egy függvény felett egy operátort általában a rövidség kedvéért írnak a ; A zárójelek az egyértelműség kedvéért használatosak, például a terméken végzett műveleteknél . , eljárva is meg van írva . Speciális karaktereket vezetünk be néhány operátor jelölésére, például unáris (tényezős "!", az operandustól jobbra), (negáció, balra) vagy kalligrafikus szimbólumokat, mint egy függvény Fourier-transzformációja esetében . A hatványozás felfogható két argumentum bináris operátorának, vagy egy argumentum hatványának vagy exponenciális függvényének.
A lineáris differenciáloperátor szimbóluma egy polinomot egy differenciáloperátorral társít, durván szólva a parciális deriváltak összetételét a hozzájuk társított változók szorzatával helyettesítve. Az operátorszimbólum (az operátor fő szimbóluma) magasabb monomiumai az ennek az operátornak megfelelő parciális differenciálegyenlet megoldásának minőségi viselkedését tükrözik. A lineáris elliptikus parciális differenciálegyenleteket az jellemzi, hogy fő szimbólumuk soha nem megy 0-ra.
Legyen és többindexű és . Aztán feltesszük
Legyen egy lineáris differenciálrendű operátor az euklideszi térben . Ekkor van egy polinom a deriváltban , többindexes jelölésben így lesz írva
A polinom definíció szerint egy teljes karakter :
Az operátor fő szimbóluma maximális fokozatú monomokból áll :
és a teljes operátorszimbólumnak az a része, amely a koordináták megváltoztatásakor tenzorként alakul át.