Általános Fibonacci-számok

A Fibonacci-számok egy rekurzió által meghatározott sorozatot alkotnak

F_{0}=0,

F_{1}=1,

{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

egész számra .

n>1

Vagyis két kezdőértékből kiindulva mindegyik szám egyenlő az előző két érték összegével.

A Fibonacci-sorozatot alaposan tanulmányozták és sokféleképpen általánosították, például a sorozatot 0-tól vagy 1-től eltérő számokkal kezdik, vagy kettőnél több megelőző számot hozzáadva a következő számhoz. Ez a cikk a Fibonacci-számok különféle kiterjesztéseit és általánosításait ismerteti.

Kiterjesztés negatív számokra

Ha rekurziót használ , a Fibonacci-számokat negatív számokra is kiterjesztheti. Kapunk: ${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1))$

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

általános kifejezési képlettel . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Lásd még Negafibonacci számokat .

Kiterjesztés valós és komplex számokra

Számos általánosítás lehetséges, amelyek kiterjesztik a Fibonacci-számokat a valós számokra (és néha a komplex számokra ). A φ aranymetszetet használják , és Binet képletén alapulnak

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.

Analitikus funkció

\operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy páros egész számok esetén n [1] . Hasonlóképpen az analitikus funkcióhoz is $\operatorname {Fe} (n)=F_{n}$

\operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

minden n páratlan egész számra érvényes . $\operatorname {Fo} (n)=F_{n}$

Mindezt összeadva megkapjuk az analitikus függvényt

\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}},

amelyre teljesül minden n egész számra [2] . ${\displaystyle \operatorname {Fib} (n)=F_{n))$

Mivel minden z komplex számra ez a függvény a Fibonacci-sorozat kiterjesztését is megadja a teljes komplex síkra. Így kiszámíthatjuk az általánosított Fibonacci-függvényt egy komplex változóra, pl. $\operátornév {Fib} (z+2)=\operátornév {Fib} (z+1)+\operátornév {Fib} (z)$

\operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248{,}5-14195{,}9i.

Vektor tér

A Fibonacci-sorozat kifejezés bármely g függvényre alkalmazható, amely egy egész változót képez le valamilyen mezőre, amelyre . Ezek a függvények pontosan az alak függvényei , tehát a Fibonacci-sorozatok egy vektorteret alkotnak, melynek alapja az és függvények . $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$ $g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)$ $F(n)$ $F(n-1)$

Bármely Abel-csoport (ezt Z - modulnak tekintjük ) a g függvény tartományának tekinthető . Ekkor a Fibonacci sorozatok egy 2-dimenziós Z - modult alkotnak.

Hasonló egész sorozatok

Egész számú Fibonacci sorozatok

A Fibonacci-egészek sorozatainak 2-dimenziós Z -modulja az összes olyan egész sorozatból áll, amely kielégíti a relációt . Az első két kezdőértékkel kifejezve azt kapjuk $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$

g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{ -n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}} ,

ahol φ az aranymetszés.

Két egymást követő elem aránya az aranymetszethez konvergál, kivéve a nullákból álló sorozatot és olyan sorozatot, amelyben az első két tag aránya egyenlő . ${\displaystyle (-\varphi )^{-1))$

A sorozat így írható fel

a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},

amelyben akkor és csak akkor . Ebben a formában a legegyszerűbb, nem triviális példa, és ez a sorozat Lucas-számokból áll : $a=0$ $b=0$ $a=b=1$

L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.

Van és . Teljesített: $L_{1}=1$ $L_{2}=3$

{\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}={\frac { L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{igazított}}

Fibonacci egész számok nem triviális sorozata (esetleg véges számú pozíció eltolása után) a Wythoff-tábla egyik sora . Maga a Fibonacci sorozat az első sor, az eltolt Lucas sorozat pedig a második sor [3] .

Lásd még : Fibonacci-számok modulo n sorozatai .

Luke sorozatok

A Fibonacci-szekvenciák másik általánosítása a Lucas-szekvenciák , amelyeket a következőképpen határozunk meg:

U(0)=0

U(1)=1

U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)

ahol a szokásos Fibonacci-sorozat egy speciális eset a és -vel . Egy másik Luke szekvencia , -vel kezdődik . Az ilyen sorozatokat a számelméletben és a primalitástesztben alkalmazzák . $P=1$ $Q=-1$ $V(0)=2$ $V(1)=P$

Abban az esetben, ha , ezt a sorozatot P -Fibonacci sorozatnak nevezzük . Például a Pell -szekvenciát Fibonacci 2-szekvenciának is nevezik . $Q=-1$

3-Fibonacci sorozat

3 _ _ _

4-Fibonacci sorozat

3 _ _ _

5-Fibonacci szekvencia

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001 , 71351280 .

6-Fibonacci szekvencia

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 29215094764 , O. szekvencia

Az n -Fibonacci-állandó az az érték, amelyre az n - Fibonacci sorozatszomszédos számainak arányaAz értékes fém n -edik arányának is nevezikés ez az egyenlet egyetlen pozitív gyöke. Például abban az esetben, haa konstans, vagy az aranymetszet , és abban az esetben, haa konstans 1 + √ 2 , vagy az ezüstmetszet . Általános esetben az n - konstans. $x^{2}-nx-1=0$ $n=1$ ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $n=2$ ${\tfrac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

Általános esetben nevezhetjük - Fibonacci szekvenciának , vagy Lucas -sorozatnak . $ENSZ)$ ${\megjelenítési stílus (P,-Q)}$ $V(n)$ ${\megjelenítési stílus (P,-Q)}$

(1,2)-Fibonacci szekvencia

0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691 87381 174763 349525 A szekvencia

(1,3)-Fibonacci szekvencia

A006130 sorozat az OEIS -ben

(2,2)-Fibonacci szekvencia

3 _ _ _

(3,3)-Fibonacci szekvencia

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27666363, 104879772, 397629405 , 1507527531, 5715470808 , …

Magas rendű Fibonacci számok

Az n rendű Fibonacci sorozat egész számok sorozata, amelyben minden elem az előző n elem összege (a sorozat első n elemének kivételével). A közönséges Fibonacci-számok 2-es sorrendűek. Az eseteket gondosan kivizsgálják. A nem negatív egész számok n-et meg nem haladó részekre való faktorizálásának száma az n rendű Fibonacci sorozat . A legfeljebb n egymást követő nullát tartalmazó 0 és 1 m hosszúságú karakterláncok utódja szintén egy n rendű Fibonacci sorozat . $n=3$ $n=4$

Ezeket a sorozatokat, azok távkapcsolati korlátait és tagkapcsolati határait Mark Barr tanulmányozta 1913-ban [4] .

Tribonacci számok

A Tribonacci-számok hasonlóak a Fibonacci-számokhoz, de két előre meghatározott szám helyett a sorozat három számmal kezdődik, és minden következő tag az előző három összege:

2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Tribonacci állandó

{\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33))))+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33)) }}}{3}}\kb 1,839286755214161,

A058265 szekvencia az OEIS -ben

az az érték, amelyre két szomszédos tribonacci-szám aránya hajlik. A szám a polinom gyöke, és egyben kielégíti az egyenletet is . A tribonacci állandó fontos a snub- kocka tanulmányozásában . $x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-3}=2$

A tribonacci állandó reciprokát arányban kifejezve a következőképpen írhatjuk fel: $\xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1$

\xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33))))-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33 }}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3} ]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\kb 0,543689012.

A Tribonacci-számokat az [5] képlet is megadja

T(n)=\left\lfloor 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right) ^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil

ahol ⌊ • ⌉ jelenti a legközelebbi egész számot és

{\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33))))\\b&={\sqrt[{3}] {586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}

. Tetranacci számok

A tetranacci számok négy előre meghatározott taggal kezdődnek, és minden következő tag a sorozat előző négy tagjának összegeként kerül kiszámításra. Az első néhány tetranacci szám:

0,0,0,1,1,2,4,8,15,29,56,108,208,401,773,1490,2872,5536,10671,20569,39648,76424,147312,283953,147312,283953 , _ _57_3_7 , _ _ _ _ ( A000078 sorozat az OEIS -ben )

A tetranacci-állandó az az érték, amelyre a tetranacci-szekvencia szomszédos tagjainak aránya hajlik. Ez az állandó a polinom gyöke, és megközelítőleg egyenlő 1,927561975482925 A086088 értékkel , és kielégíti az egyenletet . $x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-4}=2$

A tetranacci állandót gyökökben fejezzük ki [6]

\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\sqrt {\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right) ^{2}-{\frac {2\lambda _{1}}{p_{1}}}\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\frac { 7}{24p_{1}}}}+{\tfrac {1}{6}}}}

ahol

{\begin{aligned}p_{1}&={\sqrt {\lambda _{1}+{\tfrac {11}{48))))\\\lambda _{1}&={\ frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}-65}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}+65}}}{12{\ sqrt[{3}]{2}}}}.\end{aligned}}

Magasabb megrendelések

Kiszámoltuk a pentanaccusok (5. rendű), hexanaccusok (6. rendű) és heptanaccusok (7. rendű) számát.

Pentacci számok (5. rend):

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, ... OEIS sorozat A001591

Hexanacci számok (6. rend):

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, ... OEIS sorozat A001592

Heptanacci számok (7. rend):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, ... OEIS891 szekvencia

Octacci-számok (8. rend):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... sorozat A079262 az OEIS -ben

Nonacci számok (9. sorrend):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272,. .szekvencia A104144 az OEIS -ben

Egy n -nacci sorozat egymást követő tagjainak arányának határa az ( A103814 , A118427 , A118428 ) egyenlet gyökeréhez nyúlik. $x+x^{-n}=2$

Alternatív rekurzív képlet két egymást követő n -nacci szám r arányának határára

{\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k))

Speciális eset a hagyományos Fibonacci sorozat és az aranymetszés adja meg . $n=2$ $\varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}$

A fenti arányképletek tetszőleges számokból előállított n -nacci sorozatokra érvényesek. Ennek az aránynak a határa 2, mivel n a végtelen felé hajlik. A "végtelenül-nacci" számsorozatnak, ha megpróbálja leírni, végtelen számú nullával kell kezdődnie, ami után egy sorozatnak kell lennie.

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,

vagyis egyszerűen kettő hatványai.

Bármelyik sorozat korlátja az r karakterisztikus egyenlet pozitív gyöke [6] $n>0$

x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.

Az r gyök az intervallumban van . A karakterisztikus egyenlet negatív gyöke a (−1, 0) intervallumban van, ha n páros. Ennek a gyöknek és a karakterisztikus egyenlet minden összetett gyökének modulusa van [6] . $2(1-2^{-n})<r<2$ $3^{-n}<\vert r\vert <1$

Egy pozitív r gyök szekvenciája bármely [6] $n>0$

2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{ 2^{(n+1)i}}}.

A karakterisztikus egyenletnek nincs megoldása gyökök szempontjából, ha [6] . $5\leqslant n\leqslant 11$

az n -nacci sorozat k -edik elemét a képlet adja meg

F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n))\right\rceil ,

ahol ⌊ • ⌉ jelenti a legközelebbi egész számot és r az n -nacci állandót, amely a 2-hez legközelebb eső gyök [7] . $x+x^{-n}=2$

Az érmefeldobási probléma az n -nacci sorozathoz kapcsolódik. Annak a valószínűsége, hogy egy ideális érme m dobásában a farok nem jön fel n alkalommal egymás után , [8] . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)))$

A Fibonacci szó

A numerikus analóghoz hasonlóan a Fibonacci szót a következőképpen határozzuk meg

F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\ \F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{esetek}}

ahol a + két karakterlánc összefűzését jelenti. A Fibonacci karakterlánc sorozat ezzel kezdődik

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … OEIS sorozat A106750

Minden Fibonacci karakterlánc hossza megegyezik a Fibonacci számmal, és minden Fibonacci számhoz tartozik egy Fibonacci karakterlánc.

Egyes algoritmusok esetében a Fibonacci karakterláncok a legrosszabb eset bemenetei .

Ha "a" és "b" két különböző anyagot vagy atomi kötéshosszt jelöl, a Fibonacci húrnak megfelelő szerkezet egy Fibonacci kvázikristály , egy nem periodikus kvázikristály szerkezet, szokatlan spektrális tulajdonságokkal.

Hajtogatott Fibonacci sorozatok

A hajtogatott Fibonacci-szekvenciát úgy kapjuk meg, hogy egyszer vagy többször alkalmazzuk a hajtási műveletet a Fibonacci-szekvenciára. Határozza meg [9] :

F_{n}^{(0)}=F_{n}

és

{\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{ni}^{(r)))

Az első néhány sorozat

r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, ... A001629 . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, ... A001628 . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, ... A001872 .

A sorozatok a rekurzív képlet segítségével számíthatók ki

F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n} ^{(r)}

Az r -edik konvolúció generáló függvénye az

s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac { x}{1-xx^{2}}}\jobbra)^{r}.

A sorozatokat a Fibonacci-polinomok sorozatához a reláció kapcsolja

F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)

ahol az r -edik származéka . Ezzel egyenértékű együttható , ha hatványainak összegeként bővítjük . $F_{n}^{(r)}(x)$ $F_{n}(x)$ ${\displaystyle F_{n}^{(r)))$ ${\megjelenítési stílus (x-1)^{r))$ $F_{n}(x)$ $(x-1)$

Az első konvolúció Fibonacci és Lucas számokkal írható fel ${\displaystyle F_{n}^{(1)))$

F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}

és kielégíti az ismétlődési relációt

F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1 )}-F_{n-3}^{(1)}.

Hasonló kifejezés található r > 1 esetén is, az r növekedésével egyre bonyolultabb . A számok a Hosoya-háromszög sorainak összegei . ${\displaystyle F_{n}{(1)))$

A Fibonacci-számokhoz hasonlóan ezeknek a sorozatoknak is van néhány kombinatorikus értelmezése. Például az, hogy hány módot írhatunk fel n − 2 -t a 0, 1 és 2 számok rendezett összegeként, ahol a 0-t pontosan egyszer használjuk. Konkrétan a 4 - 2 = 2 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . [tíz] ${\displaystyle F_{n}^{(1)))$ $F_{4}^{(1)}=5$

Egyéb általánosítások

A Fibonacci-polinomok a Fibonacci-számok másik általánosítása.

A Padovan sorozatot az ismétlődési reláció alkotja . $P(n)=P(n-2)+P(n-3)$

A véletlenszerű Fibonacci-szekvencia úgy definiálható, mint egy érme feldobása a sorozat minden egyes n pozíciójához , és választása fejek és afarok esetében. Furstenberg és Kesten munkája szerint ez a sorozat szinte biztosan állandó ütemben exponenciálisan növekszik. A növekedési sebességi állandót 1999-ben Diwakar Viswanath számolta ki, és „ Viswanath állandó ” néven ismert. $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ $F(n)=F(n-1)-F(n-2)$

A Repfigit vagy Keith-szám egy egész szám, amely a Fibonacci-sorozatból származik, amely a szám számjegyeinek sorozatát reprezentáló számsorozattal kezdődik. Például a 47-es szám esetében a Fibonacci-sorozat 4-gyel és 7-tel kezdődik, és hatodik tagként a 47-et tartalmazza ( (4, 7, 11, 18, 29, 47) ). A bálnaszámot megkaphatjuk tribonacci sorozatként, ha 3 számjegyet tartalmaz, tetranacci sorozatként, ha a szám 4 számjegyet tartalmaz stb. A bálna első néhány száma:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, ... OEIS szekvencia A007629

Mivel az összefüggést kielégítő sorozatok halmaza elemenkénti összeadás és konstans szorzás esetén zárva van, vektortérnek tekinthető . Bármely ilyen sorozatot egyértelműen meghatároz két elem választása, tehát a vektortér kétdimenziós. Ha egy ilyen sorozatot (a sorozat első két tagjával) jelölünk, akkor a Fibonacci-számok és az eltolt Fibonacci -számok lesznek ennek a térnek a kanonikus alapja. $S(n)=S(n-1)+S(n-2)$ ${\megjelenítési stílus (S(0),S(1))}$ $F(n)=(0,1)$ $F(n-1)=(1,0)$

S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)

minden ilyen sorozatra S. Például, ha S a Lucas sorozat 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , akkor

L(n)=2F(n-1)+F(n)

N által generált Fibonacci szekvencia

Definiálhatunk egy N - generált Fibonacci sorozatot (ahol N egy pozitív racionális szám).

Ha egy

N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{ 5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot ...\cdot P_{r}^{a_{r}},

ahol P r az r -edik prím, definiáljuk

F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n- 3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...

Ha , feltételezzük , és abban az esetben feltételezzük . $n=r-1$ $F_{N}(n)=1$ $n<r-1$ $F_{N}(n)=0$

Utóbbi	N	OEIS sorozat
Fibonacci sorozat	6	A000045
Pell szekvencia	12	A000129
Jacobsthal sorozat	tizennyolc	A001045
Tribonacci sorozat	harminc	A000073
Tetranacci szekvencia	210	A000288
Padovan sorozat	tizenöt	A000931

Félig Fibonacci sorozat

A félfibbonaci szekvenciát ( A030067 ) ugyanaz a rekurzív képlet határozza meg a páratlan és indexű kifejezések esetén , de páros indexeknél , . A megkülönböztetett páratlan kifejezések ( A030068 ) kielégítik az egyenletet , és szigorúan növekszenek. Nagyon sok félfibonacci számot adnak $a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)$ $a(1)=1$ $a(2n)=a(n)$ $n\geqslant 1$ $s(n)=a(2n-1)$ $s(n+1)=s(n)+a(n)$

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... sorozat A030068 az OEIS -ben _

amelyre igaz a képlet . $s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...$

Jegyzetek

↑ Mi az a Fibonacci-szám?
↑ Pravin Chandra, Eric W. Weisstein . Fibonacci szám (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Morrison, 1980 , p. 134–136.
↑ Gardner, 1961 , p. 101.
↑ Simon Plouffe, 1993 . Letöltve: 2022. július 20. Az eredetiből archiválva : 2022. július 11. (határozatlan)
↑ 1 2 3 4 5 Wolfram, 1998 .
↑ Du, Zhao Hui, 2008
↑ Eric W. Weisstein Érmefeldobás a Wolfram MathWorldnél .
↑ Hoggatt, Bicknell-Johnson, 1977 , p. 117-122.
↑ Sloane's A001629 archiválva : 2017. október 12. a Wayback Machine -nál . Integer Sequences On - Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Alapítvány.

Irodalom

Morrison DR A Stolarsky array of Wythoff pairs // A Fibonacci-szekvenciához kapcsolódó kéziratok gyűjteménye . - Santa Clara, CA: The Fibonacci Association, 1980. - S. 134-136. Archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nál
Martin Gardner. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, Vol. II. - Simon és Schuster, 1961. - 101. o.
Wolfram DA Az általánosított Fibonacci ismétlődések megoldása // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , no. 2 .
Hoggatt VE Jr., Bicknell-Johnson M. Fibonacci konvolúciós szekvenciák // Fib. Kvart. - 1977. - T. 15 .

Linkek

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Tribonacci-szám , Mathematics Encyclopedia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

fibonacci
Könyvek	Az abakusz könyve (1202) Négyzetek könyve (1225)
elméletek	Fibonacci számok Mohó algoritmus egyiptomi törtekhez
Kapcsolódó témák	Fibonacci-számok a kultúrában Fibonacciról elnevezett objektumok listája A Fibonacci-számok általánosítása Fibonacci Egyesület Quarterly