Torzió (algebra)

Az általános algebrában a torzió kifejezés egy csoport véges rendű elemeire vonatkozik, vagy egy modul elemeire, amelyeket a gyűrű szabályos eleme semmisít meg.

Definíció

A G csoport egy g elemét torziós elemnek nevezzük , ha véges rendű , azaz létezik olyan n természetes szám , amelyre g n = e , ahol e a csoport semleges elemét jelöli . Egy csoportot periodikusnak (vagy torziós csoportnak ) nevezünk, ha minden eleme torziós elem, és torziómentes csoportnak , ha az egyetlen torziós elem semleges. Ismeretes, hogy bármely Abel-csoport egy modul az egész számok gyűrűje felett ; konkrétan a torziós elem definícióját a következőképpen lehet újrafogalmazni: van egy nem nulla egész szám, így az ezzel a számmal való szorzás ezt az elemet nullára adja. Ez motiválja a következő meghatározást:

Az M modul R gyűrű feletti m elemét torziós elemnek nevezzük , ha létezik az R gyűrűnek egy nullától eltérő r szabályos eleme ( vagyis olyan elem, amely nem bal vagy jobb nullaosztó ), amely megsemmisíti m -t , azaz olyan, hogy rm = 0. Ha integrálgyűrűvel foglalkozunk , a szabályosság feltételezése elvehető. A torziós modulus és a csavarásmentes modulus hasonlóképpen definiálva van . Abban az esetben, ha az R gyűrű kommutatív , akkor az M modul összes torziós elemének halmaza egy torziós almodulnak nevezett almodult képez (különösen a Z feletti modul esetében ezt torziós alcsoportnak nevezzük ).

Általánosabban fogalmazva, legyen M egy R feletti modul, S pedig a gyűrű többszörösen zárt rendszere . Az M modul egy m elemét S-torziós elemnek nevezzük, ha a multiplikatív rendszernek létezik olyan eleme, amely megsemmisíti m -t . Különösen a gyűrű szabályos elemeinek halmaza a legnagyobb multiplikatív rendszer.

Példák

Legyen M szabad modul egy R gyűrű felett , a definícióból azonnal következik, hogy M csavarásmentes modul. Különösen a vektorterek torziómentesek.
Egy moduláris csoportban bármely nem triviális torziós elem vagy 2-es rendű és konjugált S -hez , vagy 3-as rendű és ST -hez konjugált . A torziós elemek itt nem alkotnak alcsoportot: például S · ST = T , és T végtelen sorrendű.
Az Abel-csoport (amely egy körnek a kör kerületével arányos szögben történő elforgatásának csoportjaként fogható fel) egy torziós csoport. Ez a példa a következőképpen általánosítható: ha R egy kommutatív gyűrű és Q a hányadosmezője , akkor Q/R egy torziós csoport. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
Adjunk meg egy V vektorteret egy F mező felett lineáris operátorral . Ha ezt a teret természetesen F(x) -modulnak tekintjük, akkor ez a modul torziós modul (a Hamilton-Cayley tétel alapján, vagy egyszerűen azért, mert a tér véges dimenziós).

A főideálok tartományának esete

Legyen R egy fő ideális tartomány , M pedig egy véges generált R - modul. A megfelelő szerkezeti tétel szerint ez a modul direkt összegre bontható

M\simeq F\oplus T(M),

ahol F egy szabad R - modul és T ( M ) az M torziós részmodulja . A nem végesen generált modulok esetében általában nem létezik ilyen dekompozíció: még egy Abeli-csoport torziós részcsoportja sem feltétlenül közvetlen összegző.

Torzió és lokalizáció

Legyen R integritástartomány Q törtek mezőjével , M pedig R - modul. Ekkor tekinthetünk egy Q -modult (vagyis egy vektorteret)

M_{Q}=M\otimes _{R}Q.

Létezik egy természetes homomorfizmus egy M Abel-csoporttól egy M Q Abel -csoportig , és ennek a homomorfizmusnak a magja pontosan a torziós részmodul. Hasonlóképpen az R gyűrű lokalizációjához az S multiplikatív rendszerhez képest $a\mapsto a\otimes 1$

M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},

a természetes homomorfizmus magja pontosan az S - torzió elemei. Így a torziós almodul a lokalizáció során azonosított elemek halmazaként fogható fel.

Torzió a homológiai algebrában

A torzió fogalma fontos szerepet játszik a homológiai algebrában . Ha M és N modulok egy R kommutatív gyűrűn , akkor a Tor függvény egy Tor i ( M , N ) R -modul családot eredményez . Ezenkívül az M modul S -torziós modulja természetesen izomorf a Tor 1 -el ( M , R S / R ). Ebből különösen az következik, hogy a lapos modulok csavarodásmentes modulok. A Tor név az angol torzió (torsion) rövidítése.

Irodalom

Ernst Kunz , Bevezetés a kommutatív algebrába és az algebrai geometriába, Birkhauser 1985 - ISBN 0-8176-3065-1
Irving Kaplansky , Végtelen Abel-csoportok, Michigani Egyetem, 1954.
Michiel Hazewinkel (2001), Torziós almodul , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4