Konstruktív matematika
A konstruktív matematika a konstruktív gondolkodási folyamatok absztrakt tudománya, az ezek végrehajtására való emberi képesség és azok eredményei - konstruktív matematikai objektumok. A matematikai konstruktív irányzat - matematikai világnézet - kialakulásának eredménye, amely a halmazelméleti iránnyal ellentétben a konstruktív folyamatok és a konstruktív objektumok tanulmányozását tekinti a matematika fő feladatának. [egy]
David Hilbert tekinthető a konstruktív irány megalapítójának, miután kudarcot vallott a halmazelméleti matematika konstruktív matematika alapján történő alátámasztására. A tulajdonképpeni konstruktív matematika egyik megalapítója Andrej Markov szovjet tudós .
A konstruktív matematika absztrakciói
A konstruktív matematika absztraktsága két fő zavaró tényező szisztematikus alkalmazásában nyilvánul meg: az azonosítás absztrakciójában és a lehetséges megvalósíthatóság vagy potenciális végtelenség elvonatkoztatásában.
Az azonosítás absztrakcióját akkor használjuk, ha két azonos tárgyról olyan vagy másik értelemben beszélünk, mint egy és ugyanarról a tárgyról.
A lehetséges megvalósíthatóság absztrakcióját (potenciális végtelen) akkor használják, amikor a tervezést elvonatkoztatják a térben, időben és anyagban fennálló gyakorlati korlátoktól. Ennek az absztrakciónak a megengedettsége különbözteti meg a konstruktivizmust az ultrafinitizmustól .
A konstruktív matematika elutasítja a tényleges végtelen halmazelméleti matematikában használt absztrakcióját , amely a véget nem érő folyamatok végtelenségig folytatódónak és így mintegy befejezettnek való tekintetével jár. [egy]
Fő szempontok
A konstruktív folyamat és a konstruktív tárgy fogalmának nincs közös definíciója. A konstruktív matematika különféle elméletei foglalkozhatnak különféle konkrét típusú konstruktív objektumokkal (egész mátrixok, racionális együtthatós polinomok stb.). Azonban többféle konstrukció is megadható, amelyek bármilyen más ismert konstrukciót képesek modellezni (és így bizonyos értelemben általános konstrukcióknak tekinthetők). Ilyenek különösen a különféle ábécé szavak.
A konstruktív matematika logikájának jellemzői
A konstruktív tárgyak jellegzetessége, hogy nem léteznek örökké. Egyes konstruktív folyamatok beindítása következtében születnek, majd eltűnnek (különböző okok miatt). A táblára krétával írt algebrai kifejezés nem mindig volt ezen a táblán – és egészen addig a pillanatig fog rajta létezni, amíg le nem törlik. A személyi számítógép merevlemezén tárolt tábla szintén nyilvánvalóan nem létezett a lemez elkészítése előtt - és előbb-utóbb megsemmisül (akár újraformázás, akár lemezhiba következtében).
Az elmondottakkal kapcsolatban a konstruktív matematikában a konstruktív objektum „létezésén” a lehetséges megvalósíthatóságot értjük – vagyis egy olyan módszer meglétét, amely lehetővé teszi, hogy ezt az objektumot tetszőleges számú alkalommal reprodukáljuk. . Ez a felfogás élesen eltér egy objektum létezésének a halmazelméleti matematikában elfogadott megértésétől. A halmazelméletben a konstruktív objektumok állandó születésének és eltűnésének ténye nem talál kifejeződést: a mozgó valóságos tárgyak az ő nézőpontjából csak „árnyékai” a statikus „ideális tárgyaknak”, amelyek örökké léteznek valamilyen fantáziavilágban (és csak ezeket az „ideális tárgyakat” kell állítólag figyelembe venni a matematikában).
Egy objektum létezésének, mint lehetséges megvalósíthatóságnak a megértése oda vezet, hogy a konstruktív matematikában működő logikai törvények eltérnek a klasszikustól. Különösen a kizárt közép törvénye veszíti el egyetemes alkalmazhatóságát . Valójában a képlet, ha konstruktívan értjük, kifejezi a tételt
"a képletek között és potenciálisan megvalósítható igaz" ,
a diszjunkció klasszikus levezetése azonban nem ad módot a helyes tagjának megalkotására. Hasonlóképpen, annak a feltevésnek a logikai cáfolata, miszerint bármely ilyen típusú konstruktív objektum rendelkezik valamilyen tulajdonsággal – amelyet a halmazelméleti matematika elégséges oknak tekint egy adott tulajdonsággal rendelkező tárgy „ létezőként” történő felismerésére – önmagában nem szolgálhat oka annak, hogy az ingatlannal rendelkező tárgyat potenciálisan realizálhatónak ismerjék el. Meg kell azonban jegyezni, hogy az ilyen logikai cáfolatok mögött egy bizonyos heurisztikus érték még mindig felismerhető (hiszen bár nem adnak módot a kívánt objektum megalkotására, mégis jelzik az ilyen konstrukciós kísérletek értelmességét). Azokat a nem konstruktív objektumokat, amelyek „létezését” a klasszikus logika keretein belül lehetett bizonyítani, általában kvázi megvalósíthatónak nevezik .
A potenciálisan megvalósítható és a kvázi-megvalósítható konstrukció fogalmainak megkülönböztetése különösen fontossá válik az általános létezési állítások mérlegelésekor. Valóban, ítélet
"A vizsgált típusú bármely konstruktív objektumhoz potenciálisan megvalósíthatunk egy olyan konstruktív objektumot , amely az objektumhoz kapcsolódik "
azt jelenti, hogy egyetlen általános módszer ( algoritmus ) áll rendelkezésünkre egy objektumnak megfelelő objektummá való feldolgozására . Ezért egy ilyen ítélet akkor is lehet szándékosan téves, ha az ítélet helyes.
„A vizsgált típusú bármely konstruktív objektum esetében az objektumhoz viszonyított konstruktív objektum kvázi megvalósítható ” .A konstruktív matematika néhány konkrét elmélete
A konstruktív matematika fogalmai keretein belül kidolgozott konkrét matematikai elméletek számos lényeges eltérést mutatnak a megfelelő halmazelméleti elméletektől.
Például a matematikai elemzés fő fogalmát - a valós szám fogalmát - az elmélet hagyományos változata egy halmaz általános elképzelése alapján vezeti be . A konstruktív matematika esetében, amely megköveteli, hogy a mérlegelést konstruktív objektumokra korlátozzák, a valós szám fogalmának ez a meghatározása elfogadhatatlan. Ebben a valós számok általában olyan algoritmusok rekordjai, amelyek bármely természetes számot valamilyen racionális számmá dolgoznak fel, és teljesítik a feltételt.
Az ilyen rekordok konstruktív objektumok, és megengedettek a konstruktív matematikában. Szokás szerint két valós szám és egyenlőnek számítanak, ha a feltétel
Meg kell jegyezni, hogy a két tetszőleges valós szám egyenlőségének felismerésének problémája algoritmikusan megoldhatatlan , ezért a matematikai ítéletek konstruktív megértésével az állítás
"bármely két valós szám egyenlő vagy nem egyenlő"hamisnak bizonyul. Ennek megfelelően a kontinuum atomitásának halmazelméleti elképzelése (az egymástól egyértelműen elválasztott pontokból származó tulajdonsága - valójában végtelen objektumok valójában végtelen halmaza) nem kerül át a konstruktív matematikába.
A halmazelméleti elemzés számos állítását a konstruktív elemzésben példák cáfolják. Ilyen különösen a monoton korlátos sorozat konvergenciájáról szóló tétel és a borítás kiválasztására vonatkozó Heine-Borel lemma . A halmazelméleti elemzés számos más állítása csak akkor ültethető át a konstruktív matematikába, ha a kívánt objektum „létét” kvázi megvalósíthatóságként (nem pedig potenciális megvalósíthatóságként) értelmezzük. Ilyen a valós számok szisztematikus törtekkel való ábrázolásáról szóló tétel és az előjel-változós folytonos függvény nullára vonatkozó tétele.
Másrészt a konstruktív elemzés számos olyan állítást bizonyít, amelyeknek nincs halmazelméleti analógja. Az egyik legszembetűnőbb példa erre G. S. Tseitin tétele a szétválasztható metrikus térből a metrikus térbe történő bármilyen leképezés folytonosságáról. Ebből a tételből különösen az következik, hogy a metrikus terek bármilyen leképezése Heine folytonos. Meg kell jegyezni, hogy vannak példák nem elválasztható terekből származó leképezésekre, amelyek nem Cauchy folytonosak . Így a konstruktív matematikában a Cauchy és Heine szerinti leképezés folytonosságának egyenértékűségére vonatkozó állítás, amelyet az erős halmazelméleti eszközök (különösen a választási axióma ) felhasználásán alapuló klasszikus elemzés bizonyít. , példákkal megcáfolható.
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ 1 2 Matematikai enciklopédikus szótár . - M . : "Baglyok. enciklopédia" , 1988. - S. 847 .
Irodalom
- Markov A. A. Válogatott művek. —M.: MTSNMO Kiadó, 2003. — T. II. Algoritmusok elmélete és konstruktív matematika, matematikai logika, számítástechnika és kapcsolódó kérdések. — 626 p. —ISBN 5-94057-113-1.
- Markov A. A. , Nagorny N. M. Algoritmusok elmélete. - 2. kiadás - M . : FAZIS, 1996.
- Nagorny N. M. A tényleges végtelen absztrakciója, Az azonosítás absztrakciója, A lehetséges megvalósíthatóság absztrakciója // Mathematical Encyclopedia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977. - T. 1: A - G. - S. 43, 44. - 1152 stb. : ill. — 150.000 példány.
- Kushner B. A. Előadások a konstruktív matematikai elemzésről. —M.: Nauka, 1973. — 447 p.
- Kushner B. A. Konstruktív matematika, Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1979. - T. 2. - 1042 p.
- Kondakov N. I. Logikai szótár-referenciakönyv. — M .: Nauka, 1975. — 259 p.
- Ruzavin G. I. A matematikai tudás természetéről. - M . : Gondolat, 1968. - 302 p.
- Akimov O. E. Diszkrét matematika: logika, csoportok, grafikonok. - 2. kiadás - M . : "Alapismeretek Laboratóriuma", 2003. - 376 p.
- HH Nepeyvoda . Konstruktív irány // Új filozófiai enciklopédia : 4 kötetben / előz. tudományos-szerk. V. S. Stepin tanácsa. — 2. kiadás, javítva. és további - M . : Gondolat , 2010. - 2816 p.
 Szótárak és enciklopédiák | |
|---|---|
| Bibliográfiai katalógusokban |
| Logikák | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Filozófia • Szemantika • Szintaxis • Történelem | |||||||||
| Logikai csoportok |
| ||||||||
| Alkatrészek |
| ||||||||
| Logikai szimbólumok listája | |||||||||