Zariski érintőtere

A Zariski érintőtér egy olyan konstrukció az algebrai geometriában , amely lehetővé teszi érintőtér megalkotását egy algebrai változat egy pontjában . Ez a konstrukció nem a differenciálgeometria módszereit használja , hanem csak az általános , és konkrétabb esetekben a lineáris algebra módszereit .

Motiváció

Tekintsünk a polinomegyenlet által adott sík algebrai görbét

F(x,y)=0.

Írjuk le ennek a görbének az érintőterét az origónál. Kivesszük az egyenletből az elsőnél nagyobb rendű tagokat, az egyenlet megmarad

ax+by=0.

Két eset lehetséges: vagy , ebben az esetben az érintőteret a teljes affin síkként határozzuk meg (minden pontja kielégíti a fenti egyenletet), amely esetben az origó a görbe szinguláris pontja . Egyébként az érintőtér egy egydimenziós affin térként kezelt egyenes. (Pontosabban az eredeti affin síkban nincs origó. A p pontban lévő érintőtér meghatározásakor azonban természetes, hogy ezen a ponton választjuk ki az origót.) $a=b=0$

Definíció

A maximális ideális m - es lokális gyűrű kotangens terét a következőképpen definiáljuk $R$

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

ahol m 2 az ideálok szorzata . A kotangens tér a maradékmező feletti vektortér . A vele duális vektorteret R érintőtérnek nevezzük [1] . $k=R/{\mathfrak {m))$

Ez a meghatározás általánosítja a fenti példát magasabb dimenziókra. Nagyjából a függvénycsírák gyűrűje a p pontban . Ez a gyűrű lokális, és maximális ideálja a p -beli nullával egyenlő függvénycsírák (a lokális gyűrű maximális ideálja pontosan irreverzibilis elemekből áll). Mivel a p pont a sokasághoz tartozik, ezért csak az m elemekre vagyunk kíváncsiak, az m 2 -vel való faktorizálás a nagy hatványok kiiktatásának felel meg. Mivel egy függvénygyűrűvel kezdtük, az érintőtéren a "lineáris funkcionáloknak" felel meg, vagyis a tangenssel kettős térnek. $R$ ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

Az X séma érintőtere és kotangenstere a P pontban a lokális gyűrű (ko)tangens tere . A Spec funkcionalitása miatt a természetes faktorizációs térkép homomorfizmust indukál , ahol X =Spec( R ), P az Y =Spec( R/I ) pontja. Ezt a homomorfizmust gyakran használják a [2]-be való beágyazáshoz ( például egy affin térbe ágyazott sokaság érintőtere természetesen beágyazódik egy affin tér érintőterébe). Mivel a mezőmorfizmusok injektívek , a g - vel indukált maradék mezők szurjektálása izomorfizmus . Így g k érintőtér morfizmusát indukálja , mivel $T_{P}(X)$ $T_{P}^{*}(X)$ ${\mathcal {O}}_{X,P}$ $f:R\rightarrow R/I$ $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ $T_{P}(Y)$ $T_{f^{-1}P}(X)$

{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2} +I)/I)

\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm { Ker}(k).

Mivel k szürjektív (faktorizációs homomorfizmus), a kettős lineáris leképezés injektív (beágyazás). $k^{*}:T_{P}(Y)\jobbra nyíl T_{f^{-1}P}(X)$

Elemző eset

Ha V egy n - dimenziós vektortér részsokasága , amelyet az I ideális (ezen a sokaságon a nullával egyenlő függvények ideálja) határoz meg, akkor az R gyűrű az F n / I gyűrűnek felel meg , ahol F n a csírák gyűrűje. sima/analitikus/holomorf függvények vektortéren, én függvénycsírái az ideálistól. Ekkor a Zariski érintőtér az x pontban

{\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),

ahol a megfelelő típusú függvények ideálja, egyenlő nullával az x pontban . ${\mathfrak {m}}_{x}$

Az algebrai görbe példájában , és $I=(f)$ $(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2})=(ax+by+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}).$

Tulajdonságok

Ha R egy Noether-féle lokális gyűrű, akkor az érintőtér mérete nem kisebb, mint az R dimenziója :

\mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.

R szabályos gyűrűnek nevezzük , ha az egyenlőség fennáll. Ha egy V fajta lokális gyűrűje szabályos egy x pontban , akkor x -et a fajta szabályos pontjának nevezzük. Egyébként x -et szinguláris pontnak nevezzük .

Az érintőtérnek a kettős számok gyűrűjébe történő homomorfizmusok segítségével történő értelmezése van.A sémák nyelvén a Spec k[t]/t 2 morfizmusok egy X sémába a k fölött megfelelnek egy x ∈ X racionális pont kiválasztásának. (k) (pontok a k mező koordinátáival ) és egy elem érintő tér az x pontban [3] . Ezért van értelme ezeket a morfizmusokat érintővektoroknak nevezni . $k[t]/(t^{2}).$

Jegyzetek

↑ Eisenbud, 1998 , I.2.2, p. 26.
↑ Smoothness and the Zariski Tangent Space , James McKernan, 18.726 2011. tavasz Archiválva : 2018. február 19. a Wayback Machine 5. előadásában
↑ Hartshorne, 1977 , II. gyakorlat 2.8.

Irodalom

Hartshorne R. Algebrai geometria. — M.: Mir, 1981.
David Eisenbud; Joe Harris (1998). A sémák geometriája. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5 .
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

Linkek

Zariski érintő tér . VI Danilov , Matematikai enciklopédia.