Mértékegység (algebra)

Az egység a gyűrűelméletben a szorzási művelet kétoldali semleges eleme . Az egyet tartalmazó gyűrűt egyes gyűrűnek nevezzük . Az egységet általában az "1" szám jelöli (ami az azonos nevű szám ilyen tulajdonságait tükrözi ), vagy néha (például a mátrixalgebrában ) a latin I vagy E betű.

Az algebrai objektumok különböző definíciói vagy megkövetelhetik egy egység jelenlétét, vagy elhagyhatják azt opcionális elemként. Az egyoldalú semleges elemet nem nevezzük egységnek. Az egység egyedülálló a kétoldali semleges elem általános tulajdonságával.

Néha a gyűrű egységei megfordítható elemei , ami zavaró lehet.

Egy, nulla és kategóriaelmélet

Az algebrai szerkezettől és annak pontos definíciójától függően az 1 = 0 egyenlőség lehet tiltott és megengedett is, azonban ahol ilyen egyenlőség történik, az objektum triviális . Egy mezőnek definíció szerint egysége van, és 1 ≠ 0 szükséges , tehát minden mező legalább két különálló elemet tartalmaz. Az egységgyűrűk Ring kategóriájában a triviális gyűrű egy terminális objektum .

Az egység a gyűrű egyetlen eleme, idempotens és megfordítható.

Megfordíthatóság

Az egységnyi gyűrű bármely u elemét , amely az egység kétoldali osztója , megfordíthatónak nevezzük , azaz:

\exists v_{1}:v_{1}\,u=1

\exists v_{2}:u\,v_{2}=1

A szorzás asszociativitásából az következik, hogy ebben az esetben v 1 = v 2 , ami ismét azt jelenti, hogy a választás egyedi.

A megfordítható elemeket néha algebrai egységeknek is nevezik ( angol unity , francia unité ), de ez a fogalom tágabb, mint egy konkrét semleges elem 1 . Például egy mezőben a nullától eltérő bármely elem megfordítható.

Idempotencia

Ha egy idempotens egy gyűrűben, és az ideálok és egybeesnek, akkor e az identitás ott (az algyűrűben). $e\in R$ $eR$ $Re$

Egység hozzáadása

A kommutatív gyűrűn lévő bármely algebra , még ha nem is feltétlenül asszociatív, kiterjeszthető egy dimenzióra az 1 elem hozzáadásával és a szorzás meghatározásával lineáris kombinációkon :

{\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{ 2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} ))

miközben megőrzi az olyan tulajdonságokat, mint a szorzás asszociativitása és kommutativitása . Az 1. elem a kiterjesztett algebra egysége lesz. Ha az algebrának már volt egysége, akkor a bővítés után visszafordíthatatlan idempotenssé válik.

Ezt megtehetjük például gyűrűvel is, mert minden gyűrű asszociatív algebra over . $\mathbb {Z}$

A fokozatos algebrákban

A fokozatos algebrában egy egységnek (ha létezik) 0 fokosnak kell lennie.

Példák

1 (szám) : egész számokban , racionális számokban , valós számokban és egyéb számokban
Identitásmátrix : lásd mátrixszorzás
Identitás operátor operátoralgebrákban
1. polinom (nulla fok) a polinomok gyűrűjében