Kvantumgáz

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 22 szerkesztést igényelnek .

A kvantumgáz részecskékből vagy kvázirészecskékből álló gáz , amely megfelel a kvantumstatisztikának.

A kvantumgáz tulajdonságai a degeneráltság mértékétől függenek , amelyet a degenerációs hőmérséklet jellemez. A degenerációs hőmérséklet a gáz sűrűségétől függ, a részecskekoncentráció , a részecske tömege, a Boltzmann-állandó . Feltéve, hogy a gáz nem degenerált, és a részecskék energiaeloszlását a Boltzmann-eloszlás írja le . Ebben az esetben a gáz a kvantumdegeneráció tartományába esik, és a részecskestatisztikától függően vagy degenerált Fermi-gáz ( Fermi–Dirac statisztika ), vagy Bose gáz ( Bose–Einstein statisztika ). $T_{0}$ $T_0 \sim \frac{N^{(2/3)}}{mk}$ $N$ $m$ $k$ $T \gg T_0$ $T \ll T_0$

A kvantumgáz modellt széles körben használják a szilárdtestfizika (fémekben lévő elektrongáz), az asztrofizika (a fehér törpék és a neutroncsillagok tulajdonságai), a kondenzált anyag fizika ( szuperfolyékonyság ) problémák megoldására.

Tegyen különbséget az ideális és a valós kvantumgáz között.

Egy ideális kvantumgáz

A kvantumgáz ideálisságának feltétele az a feltétele, hogy a részecskék között, amelyekből áll, nincs kölcsönhatás. A kölcsönhatás hiánya miatt feltételezhetjük, hogy a rendszer egyik vagy másik kvantumállapotának kitöltése nem befolyásolja más állapotok kitöltését. Általános esetben, ha például Coulomb-kölcsönhatás van a részecskék között , akkor ahhoz, hogy az ideális gázközelítés jó eredményt adjon, azt gyengének kell tekinteni. Ez a ritkaság állapotához vezet , ahol a részecskeszórási hossz, vagy ami megegyezik, . Ezért feltételezzük, hogy ahol van a degenerációs hőmérséklet, a kvantumgáz tulajdonságai nagymértékben függetlenek az alkotó részecskéinek statisztikáitól, és leírhatók a Maxwell-Boltzmann statisztikával . Továbbá, mivel nincs mód a rendszerben lévő részecskék számának pontos szabályozására, érdemes a nagy kanonikus együttest alkalmazni . $Na^3 \ll 1$ $a$ $kT \ll \frac{\hbar^2}{ma^2}$ $T \gg T_0$ $T_{0}$

Ekkor az állapotok függetlensége miatt egy ideális Bose - Fermi gáz megosztási függvényét a képlet adja meg $\Sigma =\prod _{\alpha} \Sigma _{\alpha},$ $\Sigma_{\alpha} =(1 \pm e^{-(\varepszilon _{\alpha }-\mu)/(kT)})^{\mp 1}$ $\varepsilon _{\alpha}$ $\mu$

Egy ideális kvantumgáz nagy termodinamikai potenciálja ennek a megosztási függvénynek megfelelően:

$\Omega =-kT\ln(\Sigma)=-AV\int \frac{d\varepsilon \quad \varepsilon ^{3/2}}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}\ délután 1},\qquad A=\frac {2^{7/2}\pi m^{3/2}g}{3h^3}$ ,

ahol a rendszer térfogata, a Planck -állandó és a spin - degeneráció . $V$ $h$ $g=2s+1$

A részecskék átlagos száma szintenként: . $<N_{\alpha}>=\frac{1}{e^{(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)}\pm 1}$

Még jobban egységesíthetjük a termodinamikai potenciál kifejezését, ha észrevesszük, hogy a Fermi- és Bose-gázok integránsa csak előjelben tér el. Ezután minden méretparamétert ki kell venni az integrál alól. Ekkor a termodinamikai potenciált így írjuk le:

$\Omega =-\overline AV(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}),\qquad \overline A=A\Gamma (5/ 2).$ ,

ahol a funkciót bevezették , ${G}_{k}(x) = \begin{cases} {F_{k}(x)}, Fermi-Dirac \\ \zeta _{k+1}(e^x), Bose-Einstein \end {cases}$

Megnevezésekkel:

Fermi gáz esetén a Fermi-Dirac függvény: . $F_k(\eta )=\frac 1{\Gamma (k+1)}\int_0^{\infty }\frac {dx\quad x^k}{e^{x-\eta }+1}$
Bose gáz esetén az általánosított - Riemann függvény : . $\zeta$ $\zeta _k(a)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a^n}{n^k}=\frac 1{\Gamma (k)}\int _0^{\infty }\frac {dx\quad x^{k-1}}{e^x/a-1}$

Ekkor egy egyszerű összefüggés és a Maxwell-féle termodinamikai összefüggések felhasználásával különféle termodinamikai jellemzőket kaphatunk általános formában: $\partial_{\eta}G_k(\eta)=G_{k-1}(\eta)$

Koncentráció	$n=-\frac{1}{V}\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial \mu}\Biggl )_{T,V}$	$\overline A(kT)^{3/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})$	Entrópia	$S(T,V,\mu )=-\Biggr (\frac {\partial \Omega}{\partial T}\Biggl )_{V,\mu }$	$\overline AVk^{5/2}\Bigg\{\frac 52T^{3/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac {\mu } kT^{1/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})\Bigg\}.$
Nyomás	$p=-\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial V}\Biggl )_{T,\mu }$	$\overline A(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})$	Hőkapacitás	$C_{V,N}=T\Biggr (\frac {\partial S }{\partial T}\Biggl )_{V,N}$	$\overline AVk^{5/2}T^{3/2}\Bigg\{\frac{15}4{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac 94\frac {{G}^{2}_{1/2}({\mu}/{(kT)})}{{G}_{-1/2}({\mu}/{(kT) )})}\Bigg\}.$

Ezek a formulák továbbra is működnek alacsony és magas hőmérsékleten is. [ tiszta ]

Degenerált gáz

A degenerált gáz olyan gáz , amelynek tulajdonságait a részecskéinek azonosságából adódó kvantummechanikai hatások jelentősen befolyásolják . A részecskék azonosságának befolyása akkor válik jelentőssé, ha a köztük lévő átlagos távolságok a részecske de Broglie hullámhosszával arányos távolságra csökkennek , azaz teljesül a feltétel:

N^{-1/3}\sim r\sim \lambda

hol a részecskék térfogatkoncentrációja ,

N

{\displaystyle \lambda =h/{\left(mv\right)))

sebességgel mozgó tömegű részecskék de Broglie hullámhossza .

m

v

A degenerációs feltételek kellően alacsony hőmérsékleten ( ideális gázhoz ) és magas részecskekoncentráció mellett teljesülnek . $T$ $v\sim {\sqrt {T}}$ $N$

Fermi és Bose gázok degenerációja

A Bose- és Fermi-gázok tulajdonságai alapvetően különböznek egymástól: egy kvantumállapotban tetszőlegesen sok bozon lehet, míg egy kvantumállapotban legfeljebb egy fermion lehet.

A degeneráció típusa attól a statisztikától függ, amelynek a részecskék engedelmeskednek. Ha egy Fermi-gáz esetében a Pauli-elv hatására egy degenerált gáz nyomása nagyobb, mint egy ideális gáz nyomása azonos körülmények között, akkor egy degenerált Bose-gáz esetében a nyomás alacsonyabb, mint a ideális gáz a Bose-Einstein kondenzáció miatt .

Egy Fermi-gázban teljes degenerációval (at ) az összes alacsonyabb energiaszint egy bizonyos maximumig fel van töltve, amit Fermi-szintnek neveznek , és az összes utána üres marad. A hőmérséklet emelkedése csak kismértékben változtatja meg a fémelektronok eloszlását a szintek között: a Fermi-szinthez közeli szinteken elhelyezkedő elektronok kis része nagyobb energiájú üres szintekre kerül, így felszabadul a Fermi-szint alatti szintek, ahonnan az átmenet megtörtént. . $T=0K$

Amikor a bozonok gáza nullától eltérő tömegű részecskékből degenerálódik (ilyen bozonok lehetnek atomok és molekulák ), a rendszer részecskéinek egy bizonyos hányadának nulla lendületű állapotba kell kerülnie; ezt a jelenséget Bose-Einstein kondenzációnak nevezik . Minél közelebb van a hőmérséklet az abszolút nullához, annál több részecskének kell ebben az állapotban lennie. Az ilyen részecskékből álló rendszerek azonban, amikor a hőmérséklet nagyon alacsony értékekre esik, szilárd vagy folyékony ( hélium esetén ) halmazállapotba mennek át, amelyre az ideális gáz közelítés nem alkalmazható.

Nulla tömegű bozonokból álló gáz esetén , amelyek fotonokat is tartalmaznak , a degenerációs hőmérséklet végtelen; ezért a fotongáz mindig degenerált, és a klasszikus statisztika nem alkalmazható rá. A fotongáz az egyetlen stabil részecskékből álló degenerált ideális Bose-gáz. Bose-Einstein kondenzáció azonban nem fordul elő benne, mivel nincsenek nulla impulzusú fotonok (a fotonok mindig fénysebességgel mozognak ).

A kellően alacsony hőmérsékletű Fermi-gáz egyik fontos példája a fémekben lévő elektrongáz . Ennél a gáznál a degenerációs hőmérséklet 10 000 K nagyságrendűnek bizonyul, ezért a degenerált elektrongáz közelítés jól működik a fémekben szobahőmérsékleten. Meg kell jegyezni, hogy a félvezetők esetében ez a modell a Maxwell-Boltzmann modellbe kerül, a Fermi-szintnek a sávközön belüli elhelyezkedése miatt.

A Fermi-gázok degenerálódásának jelensége fontos szerepet játszik a csillagok evolúciójában : például az elektronok degenerált gázának nyomása egyensúlyba hozza a gravitációt a fehér törpékben , a neutron degenerált gáz nyomása pedig a neutroncsillagok gravitációját .

Az alábbiakban a degeneráció mindkét esetére vonatkozó fő képletek találhatók.

Degenerált Fermi gáz

A függvény képletében az integrandus elveszti folytonosságát. A függvény ugrása a - Fermi energiával egyenlő energiánál történik . Ha a hőmérséklet közel van, de különbözik a nullától, akkor az integrandus sorozattá bővíthető (a paraméter szempontjából ), és az integrál a következő alakot veszi fel: $T=0$ ${G}_{k}$ $\mu(T)|_{T=0}$ $kT$

\int _{0}^{\infty}\frac {d\varepsilon \phi (\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}+1}=\int _{0} ^{\mu }d\varepsilon \phi (\varepsilon)+ (kT)^{2}\frac{\pi^2}{6}\phi '(\mu)+ O((kT)^{4} ).

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az állapotegyenletekbe és a termodinamikai jellemzők kifejezéseibe, megkapjuk ( ): $\alpha={\pi^2 \over 6}$

Koncentráció	$n\approx A\Bigg(\mu ^{3/2}+\frac 34\alpha \frac{(kT)^{2}}{\sqrt{\mu }}\Bigg)$	Entrópia	$S(T,V,\mu)\kb 3\alpha \frac {AV}T\varepszilon_{F}^{1/2}(kT)^{2}$
Nyomás	$p\approx \varepsilon_{F}^{5/2}\Bigg(\frac25+2\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}\Bigg)$	Hőkapacitás	$C_{V,N}\kb. 3\alpha AV\varepsilon _{F}^{1/2}k^{2}T.$

Az első egyenletet iterációs módszerrel megoldva megtaláljuk a kémiai potenciál és a Fermi-energia kifejezését:

\mu=\varepsilon _{F}\Bigg[1-\frac 12\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}+O\Bigg(\frac{k ^{4}T^{4}}{\varepsilon_{F}^{4}}\Bigg)\Bigg],\qquad \varepsilon _{F}=\Bigg({3n \over 2A}\Bigg)^ {2/3}.

Így nullához közeli hőmérsékleten az ideális Fermi-gáz alapállapotban van, részecskéi -ig minden energiaszintet elfoglalnak, a fentiek mindegyike szabad. $\varepsilon _{F}$ $\varepsilon _{F}$

Megjegyzendő, hogy az ideális gáz közelítés sok fontos hatást nem ír le, mint például a szupravezetés jelensége, a szuperfolyékonyság stb.

Degenerált Bose gáz

A hőmérséklet csökkenésével vagy a Bose-gáz sűrűségének növekedésével a paraméter , tehát a kémiai potenciál és a relációval összefüggő véges értékeknél nullára fordul . Ebben az esetben a nulla szint populációja formálisan egyenlő a végtelennel, ezért a pontot Bose kondenzációs pontnak nevezzük. A Bose-kondenzáció jelensége nem írható le az ideális Bose-gáz közelítéssel, ezért korlátozzuk magunkat a Bose-gáz Bose kondenzációs pont közelében való viselkedésének leírására. $a=e^{\mu/(kT)} \jobbra nyíl 1$ $\mu \rightarrow 0$ $n_0, T_0$ $n_{0}(kT_{0})^{-3/2}/\overline A=\zeta _{3/2}(1)\kb. 2,6$ $(n_0, T_0)$

Az at függvény aszimptotikája is $\zeta_{3/2}(e^{\mu/(kT)})=\frac 1{\Gamma(3/2)}\int _{0}^{\infty }\frac {dx x^{ 1/2}}{e^{x-\mu/(kT)}-1}$ $\mu\to0, T\to T_0$

\zeta _{3/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \frac {n_{0}}{\overline A(kT_{0})^{3/2}}+\frac {\pi}{\Gamma(3/2)}\sqrt {\frac{|\mu |}{kT))+O(\frac {\mu }{kT}),

ahonnan következik a kémiai potenciál kifejezése: hol vannak a Bose kondenzációs ponttól való eltérések. $T=T_0$ $\mu \approx {\frac {\Gamma ^{{2}}(3/2)}{\pi ^{{2}}{\overline A}^{2}(kT_{{0}})^{ {2)))){\Bigg (}\delta n-3n_{{0)){\frac {\delta T}{2T_{{0)))){\Bigg )}^{{2)),$ $\delta n, \quad \delta T$

Az entrópia és a hőkapacitás kiszámításához szükségünk van a és függvények aszimptotikára is , amelyek az előzőhöz hasonlóan megkaphatók és a következő alakúak: $\zeta_{1/2}(e^{\mu/(kT)})$ $\zeta_{5/2}(e^{\mu/(kT)})$

\zeta _{5/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} + O(\frac{\mu }{kT}),\quad \zeta _{1/2 }(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} \sqrt {\frac {kT}{|\mu |}} +O(1)

Lásd még

Irodalom

Landau L.D., Lifshitz E.M. Statisztikai fizika.
Cooney F. M. Statisztikai fizika.
M. Komarova, M. Nalimov. kvantumgázok. - Szentpétervári Állami Egyetem, 2005.
Jean Letessier, Johann Rafelski, T. Ericson, PY Landshoff. Hadronok és kvark-gluon plazma. - Cambridge University Press , 2002. - 415 p. — ISBN 9780511037276 .

Az anyag termodinamikai állapotai

Fázis állapotok

Az összesítés állapota Fázis egyensúly Fázisszabály fázisdiagram Állapotegyenlet
Szilárd	kristályok Monokristály polikristály Kristály
mezofázis	Amorf testek üveges állapot folyékony kristály Nematikus Smectic koleszterikus Oszlopos fázis Mesogen Membrán
Folyékony	Ideális folyadék Metastabil állapot túlhevített folyadék túlhűtött folyadék kinyújtott folyadék Olvadás szuperkritikus folyadék
Gáz	Ideális gáz igazi gáz Gőz Telített gőz túlhevített gőz túltelített gőz
Vérplazma	elektromágneses Kvark-gluon plazma Glazma
Alacsony hőmérséklet	bose kondenzátum Fermion kondenzátum kvantumgáz bose gáz Fermi gáz degenerált gáz kvantumfolyadék bose folyadék Fermi folyadék szuperfolyékony szilárd Jelenségek Szupra folyékonyság Szupravezetés
Egyéb	furcsa ügy fotonikus molekula színes üveg kondenzátum

Fázisátmenetek

Első fajta

Második fajta

elektromos jelenségekben	ferroelektromos Antiferroelektromos
mágneses jelenségekben	ferromágnesek Paramágnesek Antiferromágnesek

kvantum

lambda pont

Diszpergált rendszerek

Gélek
- Airgel
Megoldások
kolloid rendszerek
- durva
- Szabadon diszpergált kolloid
Sol
Festékszóró
- Füst
- Por
- Köd
- köd
Felfüggesztés
Emulzió

Lásd még