Logikai gyűrű

A Boole-gyűrű egy idempotens szorzású gyűrű , azaz olyan gyűrű , amelyben minden [1] [2] [3] . $(R, +, \cdot)$ $x^{2}=x$ $x \ in R$

Kapcsolat a Boole-algebrával

A Boole-gyűrű leghíresebb példája a Boole-algebrából származik az összeadás és szorzás bevezetésével a következőképpen: $(B,\land ,\lor ,\lnot )$

$x+y=(x\land \lnot y)\lor (\lnem x\land y)$ ,
$x\cdot y=x\land y$ .

Egyes halmazok logikai értéke egy logikai gyűrűt alkot a szimmetrikus különbség és a részhalmazok metszéspontja tekintetében . Ezzel az alappéldával kapcsolatban, amikor a Boole-algebráknál az összeadást „ kizárólagos vagy ” néven vezetjük be Boole-gyűrűben, és a szorzást kötőszóként , a szimbólumot néha összeadásra használják a logikai gyűrűkben , szorzáskor pedig a rácsinfimum ( , , ). $x$ $\oplus$ $\föld$ $\sapka$ $\sqcap$

Bármely Boole-algebrából így kapott Boole-gyűrűnek van egy egysége , amely egybeesik az eredeti Boole-algebra egységével. Ezenkívül minden azonossággal rendelkező Boole-gyűrű egyedileg meghatároz egy Boole-algebrát a műveletek alábbi definícióival: $(R,+,\cdot ,1)$

$x\land y=x\cdot y$ ,
$x\vagy y=x+y+xy$ ,
$\lnem x=1+x$ .

Tulajdonságok

Minden egyes logikai gyűrűben a szorzás idempotenciája következtében: $(R, +, \cdot)$ $x+x=0$

x+x=(x+x)^{2}=x+x+x+x

és mivel a gyűrű egy Abel-csoport , lehetséges, hogy ennek az egyenletnek mindkét oldaláról kivonjunk egy komponenst. $(R+)$ $x+x$

Minden logikai gyűrű kommutatív , ami szintén a szorzás idempotenciájának a következménye:

x+y=(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+y+xy+yx

ami ad , ami viszont azt jelenti . $xy+yx=0$ $xy=yx$

Bármely nem triviális véges Boole-gyűrű a modulo 2 ( ) maradék mezők közvetlen összege, és van egy egysége . ${\mathbb {Z}}_{2}$

Bármely Boole-gyűrű hányadosgyűrűje egy tetszőleges ideál alapján szintén logikai gyűrű. Ugyanígy néhány Boole-gyűrű bármely algyűrűje logikai gyűrű. Egy Boole-gyűrűben minden prímideál maximális : a hányadosgyűrű egy integritási tartomány , valamint egy Boole-gyűrű, tehát izomorf egy olyan mezővel , amely maximalitást mutat . Mivel a maximális ideálok mindig elsődlegesek, a primer és a maximális ideál fogalma ugyanaz a Boole-gyűrűk esetében. $R/I$ $én$ $P$ $R$ $R/P$ $\mathbb {F} _{2}$ $P$

A logikai gyűrűk teljesen laposak , vagyis a felettük lévő bármely modul lapos .

A Boole-gyűrű minden véges generált ideálja princípium .

Jegyzetek

↑ Frehley, 1976 , p. 200.
↑ Gerstein, 1964 , p. 91.
↑ McCoy, 1968 , p. 46.

Irodalom

M. Atiyah , I. G. Macdonald . Bevezetés a kommutatív algebrába. - Westview Press, 1969. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
John B. Fraleigh. Az absztrakt algebra első kurzusa. — 2. - Olvasás: Addison-Wesley , 1976. - ISBN 0-201-01984-1 .
A Hersteinben. Témák az algebrában. - Waltham: Blaisdell Publishing, 1964. - ISBN 978-1114541016 .
Neal H. McCoy. Bevezetés a modern algebrába . — átdolgozva. – Boston: Allyn és Bacon, 1968.