Az algebrai kombinatorika a matematikának egy olyan ága , amely az általános algebra módszereit , különösen a csoportelméletet és a reprezentációelméletet használja különféle kombinatorikus összefüggésekben, és fordítva, kombinatorikus technikákat alkalmaz az algebrai problémákra .
Az 1990-es évek elején vagy közepén az algebrai kombinatorikában figyelembe vett tipikus kombinatorikus objektumok vagy nagyszámú általánosan elismert szimmetriával rendelkeztek ( relációs séma , erősen szabályos gráfok , részlegesen rendezett halmazok csoportos művelettel ), vagy gazdag algebrai szerkezettel rendelkeztek. , általában , aminek elméleti forrásai vannak ( szimmetrikus függvények , Young diagramok ). Ezt az időszakot tükrözi az 1991-ben javasolt AMS matematikai tantárgyosztályozás 05E szakasza, " Algebrai kombinatorika " .
Az algebrai kombinatorika a matematika olyan ágának tekinthető, ahol a kombinatorikus és algebrai módszerek kölcsönhatása különösen erős és lényeges. Az ilyen kombinatorikus témák lehetnek matroidokat , poliédereket , pózokat vagy véges geometriákat magában foglaló tulajdonságok vagy tartományok . Az algebra oldaláról a csoportelmélet és a reprezentációelmélet mellett gyakran használják a rácsokat és a kommutatív algebrát . A Springer-Verlag által kiadott Journal of Algebraic Combinatorics egy nemzetközi folyóirat, amely az e területről szóló cikkeket tartalmazza.
A szimmetrikus függvények gyűrűje egyfajta határértéke a szimmetrikus polinomok gyűrűinek nváltozóban, mivel n a végtelen felé hajlik . Ez a gyűrű olyan univerzális struktúraként szolgál, amelyben a szimmetrikus polinomok közötti kapcsolatok a változók számától függetlenül kifejezhetők (de a gyűrű elemei nem polinomok és nem függvények). Többek között ez a gyűrű fontos szerepet játszik a szimmetrikus csoportok reprezentációelméletében .
A kapcsolati séma bináris kapcsolatok halmaza,amelyek megfelelnek bizonyos kompatibilitási feltételeknek. A relációs sémák számos témában konzisztens megközelítést biztosítanak, mint például a kombinatorikus sémák és a kódoláselmélet [1] [2] . Az algebrában a relációs sémák a csoportokat , a relációs sémaelméleta csoportok lineáris reprezentációinak karakterelméletét [3] [4] [5] .
Az erősen szabályos gráfot a következőképpen definiáljuk. Legyen G = ( V , E ) v csúcsú és k fokos szabályos gráf . G - t erősen szabályosnak mondjuk, ha vannak olyan λ és μ egész számok , amelyek:
Az ilyen grafikonokat néha srg( v , k , λ, μ) jelöléssel látják el.
Egyes szerzők kizárják azokat a gráfokat, amelyek triviálisan kielégítik a definíciót, nevezetesen azokat a gráfokat, amelyek diszjunkt (egy vagy több) azonos teljes gráfok [6] [7] és azok komplementerei , Turan-gráfok uniója .
A Young diagramok az ábrázoláselméletben és a Schubert-számításban hasznos kombinatorikus objektumok . Kényelmes módot biztosítanak a szimmetrikus csoportok és a teljes lineáris csoportok reprezentációinak leírására, és lehetővé teszik ezen objektumok tulajdonságainak tanulmányozását. A diagramokat Alfred Jung , a Cambridge-i Egyetem matematikusa javasolta 1900-ban. 1903-ban Ferdinand Georg Frobenius alkalmazta a szimmetrikus csoportok tanulmányozására . Később elméletüket számos matematikus dolgozta ki, köztük Percy McMahon , W. W. D. Hodge , G. de B. Robinson , D.-K. Rota , Alena Lascu , M.-P. Schützenberger és Richard Stanley .
A matroid egy olyan szerkezet, amely átveszi és általánosítja a vektorterek lineáris függetlenségének fogalmát . A matroid meghatározásának sok egyenértékű módja létezik, és a legfontosabbak a független halmazok, bázisok, zárt halmazok vagy síkok, zárási operátorok és rangfüggvények szempontjából.
A matroidelmélet a lineáris algebra és a gráfelmélet terminológiáját nagymértékben kölcsönzi , főként azért, mert különféle központi fogalmak absztrakcióit használja ezekről a területekről, például a topológiából , a kombinatorikus optimalizálásból , a hálózatelméletből és a kódoláselméletből [8] [9] .
A véges geometria bármely olyan geometriai rendszer, amelynek csak véges számú pontja van . A szokásos euklideszi geometria nem véges, mivel az euklideszi egyenes végtelen sok pontot tartalmaz. A számítógépes képernyő grafikán alapuló geometria, ahol a pixeleket pontoknak tekintjük, véges geometriának tekinthető. Bár sok olyan rendszer létezik, amely véges geometriának tekinthető, a hangsúly a véges projektív és affin tereken van szabályosságuk és egyszerűségük miatt. A véges geometriák további jelentős típusai a véges Möbius-síkok vagy inverz síkok és a Laguerre-síkok , amelyek példái a Benz-síknak nevezett általánosabb objektumoknak és magasabb dimenziós megfelelőiknek, például a véges inverziós geometriáknak .
Véges geometriák szerkeszthetők lineáris algebra segítségével, véges mezők feletti vektorterekkel kezdve . Az így megszerkesztett affin és projektív síkokat Galois geometriának nevezzük . A véges geometriák tisztán axiomatikusan is meghatározhatók. A legelterjedtebb véges geometriák a Galois-geometriák, mivel bármely három vagy több dimenziójú véges projektív tér izomorf egy véges mező feletti projektív térrel. A második dimenzióban azonban vannak affin és projektív síkok, amelyek nem izomorfak a Galois-geometriákkal, nevezetesen nem Desargues-i síkok . Hasonló eredmények érvényesek más típusú véges geometriákra is.