A csoportos reprezentáció jellege

A csoportreprezentáció jellege egy olyan függvény a csoporton, amely az ábrázolás adott elemének megfelelő mátrix nyomát (az átlós elemek összegét) adja vissza [1] [2] .

Általában [3] betűvel jelölik .

A karakterek elmélete a karaktereiken keresztüli reprezentációk tanulmányozásával foglalkozik .

Definíció

Ha a csoport véges dimenziós reprezentációja , akkor ennek az ábrázolásnak a jellege a komplex számok halmazának függvénye, amelyet az elemnek megfelelő lineáris transzformáció nyoma ad meg . Általánosságban elmondható, hogy a nyom nem homomorfizmus, és a nyomok halmaza nem alkot csoportot.

Tulajdonságok

• Az ekvivalens ábrázolások karakterei egybeesnek [2] .
• Az izomorf ábrázolások azonos karakterekkel rendelkeznek [4] .
• Egy véges csoport irreducibilis, nem izomorf reprezentációinak karakterei ortonormális függvényrendszert alkotnak [2] [5] .
• Egy irreducibilis ábrázolás karakterének skaláris négyzete eggyel egyenlő [2] .
• Egy redukálható reprezentáció karaktere egyenlő a benne előforduló összes irreducibilis reprezentáció karaktereinek összegével [2] [4] .
• Két azonos karakterű ábrázolás egyenértékű [2] [6] .
• Ha az ábrázolás redukálható, akkor karakterének skalárnégyzete nagyobb, mint egy [7] .
• A kölcsönösen konjugált elemek csoportjai és karakterei egyenlők [7] .
• Az összes irreducibilis reprezentáció karakterkészlete teljes a konjugált elemek osztályain definiált függvények lineáris terében [7] .
• A csoport bármely elemére [8] .
• Ahhoz, hogy egy reprezentáció irreducibilis legyen, szükséges és elegendő, hogy a karakterének skalárnégyzete egyenlő legyen [9] -vel .

Jegyzetek

1. ↑ Van der Waerden, 2004 , p. 62.
2. ↑ 1 2 3 4 5 6 Lyubarsky, 1958 , p. 56.
3. ↑ Golovina, 1975 , p. 366.
4. ↑ 1 2 Golovina, 1975 , p. 367.
5. ↑ Golovina, 1975 , p. 369.
6. ↑ Van der Waerden, 2004 , p. 64.
7. ↑ 1 2 3 Lyubarsky, 1958 , p. 57.
8. ↑ Golovina, 1975 , p. 368.
9. ↑ Golovina, 1975 , p. 372.

Irodalom

• Lyubarsky G. Ya. Csoportelmélet és alkalmazása a fizikában. — M .: Nauka, 1958. — 354 p.
• Van der Waerden BL Csoportelmélet módszere a kvantummechanikában. — M. : Szerkesztői URSS, 2004. — 200 p.
• Golovina L. I. A lineáris algebra és néhány alkalmazása. — M .: Nauka, 1975. — 407 p.