Kísérleti matematika

A kísérleti matematika a matematikának  egy olyan ága , amely különbözik a különféle technikák használatától, beleértve a helyettesítést, az eltolást, az ellenkezőjét, beleértve az elektronikus számítástechnikai eszközök használatát a matematikában a régi tények ( tételek ) ellenőrzésére, megerősítésére és új megszerzésére. . A kísérleti matematikában kapott összes eredmény a matematika szigorúan bizonyított állítása. Szigorúan véve minden bizonyítás , számítás, számítás, stb. kísérletek új törvények (tételek) megszerzésére. A kísérleti matematikában azonban a modern számítógépes technológiát használják a kísérletek elvégzésére , ami lehetővé teszi olyan kísérletek elvégzését, amelyek kézi számlálással nem érhetők el. A kísérleti matematika fő módszere a bizonyítási számítás , amely során a számítások eredményeit a matematikai tények szigorú bizonyítására használják fel .

Paul Richard Halmos ezt írta: „A matematika nem deduktív tudomány  , hanem egy klisé. Ha egy tételt próbálunk bizonyítani, akkor nem elég, ha felsoroljuk a premisszákat , és csak azután kezdünk érvelni. Amit csinálsz, az a próba és hiba , a kísérletezés és a találgatás. Ki kell derítened, mi a tény, és amit csinálsz, az olyan, mint egy kísérletező munkája a laboratóriumban" [1] .

Történelem

A matematikusok mindig is kísérleti matematikát gyakoroltak. Vannak olyan korai matematikusok feljegyzései, mint például Babilonból , amelyek általában egy algebrai azonosságot illusztráló numerikus példák listájából állnak. A modern matematikusok azonban a 17. század óta hagyományt alakítottak ki az eredmények végleges, formális ábrázolásában történő nyomtatásában. Nem publikáltak olyan numerikus példákat, amelyek elvezethetnék a matematikát a tétel megfogalmazásához, és általában feledésbe merültek.

A kísérleti matematika, mint önálló tudományterület a huszadik században éledt újjá, amikor az elektronikus számítógépek feltalálása nagymértékben megnövelte a kivitelezhető számítások területét olyan gyorsasággal és pontossággal, amely a matematikusok korábbi generációi számára elérhetetlen volt. A kísérleti matematika jelentős mérföldköve és vívmánya volt, hogy 1995-ben felfedezték a Bailey-Borwain-Pluff képletet a π szám kettes számjegyeire. A képletet nem formai okokból fedezték fel, hanem számítógépes keresés után. Csak ezután találtak szigorú bizonyítékot [2] .

Célok és felhasználások

A kísérleti matematika célja "a fogalmak lényegének megértése és betekintése, hipotézisek megerősítése vagy megcáfolása, a matematika kézzelfoghatóbbá, szemléletesebbé és érdekesebbé tétele mind a hivatásos matematikusok, mind az amatőrök számára" [3] .

Kísérleti matematika felhasználásával [4] :

  1. Behatolás a téma lényegébe és érzésébe.
  2. Új modellek és kapcsolatok felfedezése.
  3. Grafikus kijelzők segítségével próbálja kitalálni a mögöttes elveket.
  4. Hipotézisek tesztelése és cáfolata.
  5. A lehetséges eredmények vizsgálata annak felmérésére, hogy érdemes-e formális bizonyítékként szolgálni.
  6. Megközelítési javaslat a formális bizonyításhoz.
  7. A hosszú kézi vezetékek cseréje számítógépes vezetékekre.
  8. A kapott analitikai eredmények megerősítése.

Berendezés és technológia

A kísérleti matematika számítási módszereket használ az integrálok közelítő értékeinek és a végtelen sorozatok összegének kiszámításához. A számításokhoz gyakran tetszőleges pontosságú aritmetikát használnak,  általában 100 vagy több jelentős számjegyből áll. Az egész számarány algoritmust ezután az értékek és a matematikai állandók közötti kapcsolatok keresésére használják. A nagy pontosságú munka csökkenti annak a lehetőségét, hogy matematikailag összetévesztjük az igazi kapcsolatot. Ezután formális bizonyítékot keres az állítólagos kapcsolatra – gyakran könnyebb bizonyítékot találni, ha ismert a feltételezett kapcsolat.

Ha ellenpéldát keresünk, vagy olyan bizonyítást kell készíteni, amely nagy mennyiségű felsorolást igényel, akkor egy elosztott számítástechnika használható a számítások számítógépek közötti elosztására.

Gyakran használnak olyan általános számítógépes algebrai rendszereket , mint a Mathematica , bár a tartományspecifikus programokat is a nagy hatékonyságot igénylő problémák támadására írják. A kísérleti matematikai szoftverek jellemzően hibaészlelési és -javító mechanizmusokat , integritás-ellenőrzést és redundáns számításokat tartalmaznak, hogy minimálisra csökkentsék a szoftverhibákból vagy processzorösszeomlásokból eredő hibás eredmények lehetőségét.

Alkalmazások és példák

Hihető, de helytelen példák

Egyes hihető kapcsolatok nagy pontossággal készülnek, de továbbra is hibásak. Egy ilyen példa:

Ennek a kifejezésnek mindkét oldala csak a 42. jelben tér el [8] .

Egy másik példa, hogy az összes x n − 1 tényező maximális magassága (az együtthatók maximális abszolút értéke) megegyezik az n- edik fokú körpolinom magasságával . Számítógépes számítások kimutatták, hogy ez igaz n < 10000 esetén, és azt várták, hogy minden n -re igaz . Átfogóbb keresés azonban azt mutatta, hogy az egyenlőség nem igaz n = 14235-re, amikor az n-edik fokú körpolinom magassága 2 , és az x n − 1 tényező maximális magassága 3 [9] .

Felfedezők

A következő matematikusok és informatikusok jelentős mértékben hozzájárultak a kísérleti matematika területéhez:

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Halmos, 1985 , p. 321.
  2. ↑ The Quest for Pi archiválva : 2011. szeptember 27. a Wayback Machine -nél, David G. Bailey , Jonathan Borwein , Peter J. Borwein és Simon Plouff .
  3. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , p. VII .
  4. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , p. 2.
  5. ↑ Lam, 1991 , p. 305–318.
  6. ↑ Bailey, 1997 .
  7. ↑ Mumford, sorozat, Wright, 2002 , p. VIII.
  8. ↑ Bailey, Borwein, 2005 .
  9. ↑ Φ 4745 magassága 3 és 14235 = 3 x 4745. Lásd az A137979 és A160338 Sloan sorozatokat .

Irodalom

Linkek