Borwein integrál

A Borwein integrálok David és Jonathan Borwein által figyelembe vett integrálok, amelyek a sinc függvényt tartalmazzák [1] [2] .

Ezekben az integrálokban egy érdekes minta jelenik meg, amely a végén eltűnik:

{\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt] &\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx= \pi /2\\[10pt]&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{ x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}

Ez a minta addig tart

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2~.

De a következő lépésben elromlik [3] :

{\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x /3))\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15))\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{9356158494406409073105217)5=\pi\c)) pi } {igazított}}

Általában ezek az integrálokπ2, ha a 3, 5, 7 ... számokat pozitív számokra cseréljük úgy, hogy a reciprok összege kisebb egynél.

Példánkbanegy3+egy5+ … +egy13< 1 , deegy3+egy5+ … +egytizenöt> 1.

Példa egy hosszabb sorra:

\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x /3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2

\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x /3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2 ,

amint azt Schmid Hanspeter [4] cikke mutatja . Jelen esetben azért, mertegy3+egy5+ … +egy111< 2 deegy3+egy5+ … +egy113> 2 .

Jonathan Borwein tudta, hogy a minta megszakadt a nyolcadik elemnél, " hiba " jelentést nyújtott be a Maple szoftvercsomag támogatásával . Jacques Carette fejlesztőnek három napba telt, mire rájött, hogy ez nem hiba [5] [6] .

Jegyzetek

↑ Borwein, David & Borwein, Jonathan M. (2001), A sinc és a kapcsolódó integrálok néhány figyelemre méltó tulajdonsága , The Ramanujan Journal 5. kötet (1): 73–89, ISSN 1382-4090 , DOI 10.1023/A:1019341972
↑ Baillie, Robert (2011), Fun With Very Large Numbers, arΧiv : 1105.3943 [math.NT].
↑ Math I Like Archiválva : 2017. május 17. a Wayback Machine -nél Érdekes sorozat
↑ Schmid , Hanspeter ( 2014) , Két érdekes integrál és egy grafikus bizonyíték werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf > Archiválva 2020. március 5-én a Wayback Machine -nél
↑ [https://web.archive.org/web/20161128050647/https://habrahabr.ru/post/146140/ Archiválva : 2016. november 28. a Wayback Machinen https://habrahabr.ru/post/146140/ Archivált 2016. november 28-án kelt példány a Wayback Machine Habrahabr -nál ] Unalmas integrálok
↑ https://mathoverflow.net/questions/11517 . matematikai túlcsordulás. — Számítógépes algebrai hibák, Jacques Carette kommentárja. Letöltve: 2019. március 31. Az eredetiből archiválva : 2019. március 31. (határozatlan)