Hiba funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. május 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A hibafüggvény (más néven Gauss-féle hibafüggvény) egy nem elemi függvény , amely a valószínűségszámításban , a statisztikában és a parciális differenciálegyenletek elméletében fordul elő . Úgy van meghatározva

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{2}}} \,{\mathrm d}t

Egy további hibafüggvény , amelyet jelölnek (néha a jelölést használják ), a hibafüggvényen keresztül van meghatározva: $\operátornév {erfc}\,x$ $\operátornév {Erf}\,x$

\operátornév {erfc}\,x=1-\operátornév {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi ))))\int \limits _{x}^{{\infty }}e^{{-t^{2}}}\,{\mathrm d}t

A komplex hibafüggvényt , jelöléssel , a hibafüggvényen keresztül is meghatározzuk: $w(x)$

w(x)=e^{{-x^{2}}}\operátornév {erfc}\,(-ix)

Tulajdonságok

A hibafüggvény furcsa :

\operátornév {erf}\,(-x)=-\operátornév {erf}\,x.

Bármilyen komplexhez $x$

\operátornév {erf}\,{\bar {x}}=\overline {\operatorname {erf}\,x}

ahol az oszlop a szám összetett ragozását jelöli .

x

A hibafüggvényt nem lehet elemi függvényekkel ábrázolni , de az integrálható kifejezést Taylor-sorozattá bővítve és tagonkénti integrálással sorozatként kaphatjuk meg:

\operátornév {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n}x^{{2n+1}}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\left(x-{\frac { x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9} }{216}}-\ \cdots \right)

Ez az egyenlőség a d'Alembert-teszt szerint érvényes (és a sorozat konvergál) bármely valós síkra és a teljes komplex síkra is . A nevezők sorozata az A007680 sorozatot alkotja az OEIS -ben .

x

Egy sorozat elemeinek iteratív kiszámításához célszerű alternatív formában bemutatni:

\operátornév {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }\left(x\prod _{{ i=1}}^{n}{{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}\right)={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{{i=1}}^{n}{\ frac {-x^{2}}{i}}

mivel egy olyan tényező, amely a sorozat -edik tagját a -edik tagjává változtatja , figyelembe véve az első tagot .

{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)))

én

(i+1)

x

A végtelenben lévő hibafüggvény egyenlő eggyel; ez azonban csak akkor igaz, ha a valós tengely mentén közeledik a végtelenhez, mivel:

Ha figyelembe vesszük a hibafüggvényt a komplex síkban, a pont lényegében szinguláris lesz számára. $z=\infty$

A hibafüggvény deriváltja közvetlenül a függvénydefinícióból származik:

{\frac {d}{dx}}\,\operátornév {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\,e^{{-x^{2} }}.

A hibafüggvény antideriváltja , amelyet a részenkénti integráció módszerével kapunk :

F(x)=x\operátornév {erf} (x)+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.

Az inverz hibafüggvény egy sorozat

\operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\ frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},

ahol c 0 = 1 és

c_{k}=\sum _{{m=0}}^{{k-1}}{\frac {c_{m}c_{{k-1-m}}}{(m+1)(2 p +1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.

Ezért a sorozat a következő formában ábrázolható (megjegyzendő, hogy a törtek rövidítve vannak):

\operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3} }{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+ {\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\pontok \jobbra).

[egy] A redukció utáni számláló- és nevezőszekvenciák: A092676 és A132467 az OEIS-ben; a számlálók sorrendje a rövidítés előtt az OEIS-ben A002067 .

Alkalmazás

Ha a valószínűségi változók egy halmaza normál eloszlást követ szórással , akkor annak a valószínűsége, hogy az érték nem tér el nagyobb mértékben az átlagtól , egyenlő . $\sigma$ $a$ $\operátornév {erf}\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2))))$

A hibafüggvény és a kiegészítő hibafüggvény néhány differenciálegyenlet megoldásában fordul elő, például a Heaviside-függvény által leírt kezdeti feltételekkel rendelkező hőegyenlet („lépés”).

A digitális optikai kommunikációs rendszerekben a bithiba valószínűségét a hibafüggvényt használó képlet is kifejezi.

Aszimptotikus expanzió

Nagy értékek esetén hasznos a kiegészítő hibafüggvény aszimptotikus kiterjesztése : $x$

\operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n= 1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n))}\jobbra ]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.

Bár ez a sorozat bármely véges szám esetén divergál, a gyakorlatban az első néhány tag elég a jó pontossághoz, míg a Taylor-sor nagyon lassan konvergál. $x$ $\operátornév {erfc}\,x$

Egy másik közelítést a képlet ad meg

(\operátornév {erf}\,x)^{2}\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{ 2}}}\jobbra)

ahol

a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.

Kapcsolódó függvények

A skálázásig és az eltolásig a hibafüggvény egybeesik a normál kumulatív eloszlással , amelyet jelölünk $\Phi (x)$

\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operátornév {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.

A k inverz függvényét , amelyet normál kvantilis függvényként ismerünk, néha a normál hibafüggvényben jelölik és fejezik ki: $\Phi$ $\operátornév {probit}$

\operátornév {probit}\,p=\Phi ^{{-1}}(p)={\sqrt {2}}\,\operátornév {erf}^{{-1}}(2p-1).

A normál kumulatív eloszlást inkább a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában használják, míg a hibafüggvényt a matematika más területein.

A hibafüggvény a Mittag-Leffler függvény speciális esete , és degenerált hipergeometrikus függvényként is ábrázolható ( Kummer függvény ):

\operátornév {erf}\,x={\frac {2x}{{\sqrt {\pi }}}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}, {\frac {3}{2}},-x^{2}\jobbra).

A hibafüggvényt a Fresnel integrál is kifejezi . A P regularizált nem teljes gammafüggvény és a nem teljes gammafüggvény tekintetében

\operatorname {erf}\,x=\operatorname {sign}\,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sign}\ ,x \over {\sqrt {\pi ))}\gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\jobbra).

Általános hibafüggvények

Egyes szerzők általánosabb jellemzőket tárgyalnak

E_{n}(x)={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{n}}} \,{\mathrm d}t={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{p=0}}^{\infty }(-1)^{p} {\frac {x^{{np+1}}}{(np+1)p!}}\,.

Figyelemre méltó speciális esetek a következők:

$E_{0}(x)$ a koordináták origóján áthaladó egyenes: $E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi ))))$
$E_{2}(x)$ a hibafüggvény . $\operátornév {erf}\,x$

Miután elosztotta az összes páratlan megjelenésű hasonlót (de nem azonost), ugyanez elmondható a páros elemről . Minden általánosított hibafüggvény hasonló a féltengelyekhez . $n!$ $E_{n}$ $n$ $E_{n}$ $n$ $n>0$ $x>0$

A féltengelyen az összes általánosított függvény gammafüggvénnyel fejezhető ki : $x>0$

E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n))\right)-\Gamma \left({\frac {1} {n)),x^{n}\jobbra)\jobbra)}{{\sqrt \pi }}},\quad \quad x>0

Ezért a hibafüggvényt a gammafüggvény segítségével fejezhetjük ki:

\operátornév {erf}\,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\jobbra)}({\sqrt \pi ))}

A kiegészítő hibafüggvény iterált integráljai

A komplementer hibafüggvény iterált integráljait a következőképpen definiáljuk: [1] $\operátornév {I^{n}erfc}$

\operátornév {I^{0}erfc} \,z=\operátornév {erfc} \,z

\operátornév {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operátornév {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\ zéta,

számára .

n>0

Sorba rendezhetők:

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{nj}j !\,\Gamma \left(1+{\frac {nj}{2}}\right)}}\,,

ahonnan a szimmetriatulajdonságok következnek

\operátornév {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operátornév {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac { z^{2q}}{2^{2(mq)-1}(2q)!(mq)!}}

és

\operátornév {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operátornév {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{ \frac {z^{2q+1}}{2^{2(mq)-1}(2q+1)!(mq)!}}\,.

Megvalósítások

A C nyelvi szabvány (ISO/IEC 9899:1999 7.12.8. szakasz) hibafunkciót és további hibafüggvényt biztosít . A függvényeket fejlécfájlokban deklarálják ( C esetén ) vagy ( C++ esetén ). A , és , függvénypárok is itt vannak deklarálva . Az első pár típusú értékeket kap és ad vissza , a második pár pedig típusú értékeket ad vissza . A megfelelő funkciókat a Boost projektkönyvtár is tartalmazza . $\operátornév {erf}$ $\operátornév {erfc}$ math.h cmatherff()erfcf()erfl()erfcl()floatlong doubleMath

A Java nyelvben a matematikai függvények szabványos könyvtára java.lang.Mathnem tartalmaz [2] hibafüggvényt. Az osztály az [3] Apache Software FoundationErf által biztosított org.apache.commons.math.specialnem szabványos könyvtárcsomagban található .

A Maple [2] , a Matlab [3] , a Mathematica és a Maxima [4] számítógépes algebra rendszerek közönséges és kiegészítő hibafüggvényeket, valamint azokkal fordított függvényeket tartalmaznak.

Pythonban a hibafüggvény a 2.7-es verzió óta elérhető [4] a szabványos könyvtárból . A SciPy projektmodul [5]math definiálja a hibafunkciót, a kiegészítő hibafunkciót és sok más speciális funkciót is . Special

Erlang nyelven a hibafunkció és a kiegészítő hibafunkció elérhető a standard modulból math[5] .

Az Excelben a hibafüggvényt FOS és FOS.EXC [6] formában ábrázoljuk.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2. kiadás), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 , 484.
↑ Matek (Java Platform SE 6) . Hozzáférés dátuma: 2008. március 28. Az eredetiből archiválva : 2009. augusztus 29. (határozatlan)
↑ Archivált másolat (a hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2008. március 28. Az eredetiből archiválva : 2008. április 9.. (határozatlan)
↑ 9.2. matematika - Matematikai függvények - Python 2.7.10rc0 dokumentáció
↑ Az Erlang nyelv . Leírás Archiválva : 2012. június 20. a Wayback Machine of Standard Module functions webhelyen math.
↑ FOS funkció . support.microsoft.com . Letöltve: 2021. november 15. Az eredetiből archiválva : 2021. november 15. (határozatlan)

Irodalom

Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), 6.2. szakasz. Hiányos gamma- és hibafüggvény , Numerikus receptek: The Art of Scientific Computing (3. kiadás), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz és Irene A. Stegun, szerk. Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal . - New York: Dover, 1972. - T. 7.
Nikolai G. Lehtinen. Hibafunkciók (2010. április). Hozzáférés időpontja: 2019. május 25. (határozatlan)

Linkek

Szótárak és enciklopédiák	Nagy Szovjet (1 kiadás)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4156112-0 NDL : 00562553