Funkcionális integrál
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .A funkcionális integrál (útintegrál, útintegrál, Feynman-útintegrál, Feynman-integrál) a funkcionális integráció (útintegráció) rekordja vagy eredménye. Legnagyobb alkalmazását a kvantumfizikában ( kvantumtérelmélet , húrelmélet stb.) és a statisztikai fizikában találja, valamint általában a sztochasztikus folyamatok számos osztályának tanulmányozásában.
A funkcionális integráció formálisan valamilyen Ф függvény integráljának kiszámítását jelenti az x ( t ) függvények vagy egy ilyen tér valamely részhalmaza [1] területén:
![{\displaystyle \int Dx\,\Phi [x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ecf4c074f46d7e99b3f422b9df83a4d016a2470)
amelyet a (véges dimenziós) integrál határértékeként határozunk meg az x ( t ) függvények bizonyos véges dimenziós közelítéseinek terében, mivel ezeknek a közelítéseknek a dimenziója a végtelenbe hajlik; a szokásos és legegyszerűbb módja, hogy az x függvényt egy véges ponthalmazon tekintjük , majd a legegyszerűbb egységes partíció esetén meghatározzuk a funkcionális integrált, amely korlátozható, mint pl.
![{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int \int \dots \int dx_{1}\,dx_{2}\dots dx_{N}\,\Phi [x_{1},x_{2 },\pontok ,x_{N}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a1a501a77b8dcf41b9dc80e7f457621f2cf959)
ahol az Ф[ x ] funkcionális megfelelő közelítését jelenti , míg az integrációt külön át tól -ig (fix és felettük való esetén nem szükséges integrálni).
![{\displaystyle \Phi [x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690da5b7697a4d9fc38bf0864ce2b369f052962a)
Ennek a definíciónak a helyessége már abban az értelemben kérdéses, hogy még a fizikai érdeklődésre számot tartó esetek nagy részében is, nem is beszélve a kérdés általánosabb megfogalmazásáról, maga a korlát léte (különösen annak azonossága a választáskor). különböző típusú partíciók) nem bizonyított, sőt számos példában a különböző típusok eltérő eredményeket adnak), és sok esetben nem lehet egyértelmű kritériumokat megadni a „helyes” particionálási típus kiválasztásához, amely pontosan vezet a kívánt eredményre, ami azt jelenti, hogy az integráció mértékének meghatározásának helyessége még sok olyan eset esetében sem bizonyított, amelyek – legalábbis a szokásos értelemben – fizikailag érdekesek.
Emellett komoly nehézséget jelent az ilyen integrálok pontos kiszámítása (a Gauss-eset kivételével).
Ennek ellenére már az a tény is sokat ad a funkcionális integráció módszerének alkalmazásához, hogy legalább a Gauss típusú integrálokat pontosan számítjuk. Ez az eredmény konkrétan egy funkcionális integrál definíciójaként fogható fel erre az esetre, és bizonyítja, hogy így definiálva valóban rendelkezik az integrál tulajdonságaival: megengedi a részenkénti integrációt, a változók változását stb. [2]
A funkcionális integrál fizikai jelentése általában egy bizonyos mennyiség összegének (szuperpozíciójának) kiszámítására korlátozódik (ez a klasszikus statisztikai fizika esetében általában a valószínűség vagy a kvantummechanika esetében a valószínűségi amplitúdó) „összes” pályán (vagyis mindenen) elérhető klasszikus részecskék Brown-mozgás esetén és minden elképzelhető kvantummechanika esetében).
Fő alkalmazás
Modellek
Egy közönséges véletlenszerű séta újrafogalmazva létrehozhat egy útvonalat egy bizonyos művelettel. Ez egyszerű esetekben általában viszonylag nyilvánvaló.
Megmutatták, hogy egy hasonló útintegrál generálása a szokásos művelettel kétdimenziós esetben is működik - egy karakterláncra (kétdimenziós objektumra, figyelembe véve az idődimenziót) műveletet kapunk.
Fizikai analógiák
A pontrészecske útintegráljának analógiája a polimer szál megosztási függvénye (statisztikai súlya) [3] .
Számítás
Pontos számítás
Mint fentebb említettük, az űrlap funkcionális integráljának pontos kiszámítása
![{\displaystyle \int Dx\,e^{kS[x]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9bd06c28e8148ca0424fed22934e98f2ab74a5)
ahol k kvantumesetben tisztán képzeletbeli vagy klasszikus diffúzió esetén valós lehet, csak akkor, ha Gauss típusú, vagyis ha S hatása másodfokú x -ben ( a Lagrange másodfokú x -ben és származékaiban, vagy talán , akár néhány hasonló esetben is: a lényeg, hogy S másodfokú alak legyen, a valós esetben negatív határozott).
A módszer a cikk elején található definíció szerint egy diszkrét változat megírásában rejlik. A képletbe belépő (közönséges) integrálokat ezután pontosan ( Gauss -féleként ) veszik, és ekkor már el lehet menni a határértékig.
Hozzávetőleges számítás
Numerikus módszerek
Az útvonalintegrálok értékeinek számítógépes megkereséséhez kapcsolódó számítási módszerek, beleértve a kvadratúra képleteket , például a Simpson -képleteket és más módszereket, 2010-re meglehetősen kiterjedten fejlődtek, bár ezeket elsősorban csak szűk szakemberek és a legtöbben használják. része nem ismert a fizikusok előtt.
Történelem
Az útvonalintegrálok első megjelenése nyilvánvalóan Einstein és Smoluchowski munkáira utal[ pontosítás ] a Brown - mozgás elméletéről .
Az ilyen integrálok matematikai elméletének alapjai Wiener 1920-as évekbeli munkájához kapcsolódnak . Szigorú és kellően teljes matematikai elméletük azonban továbbra is jelentős nehézségekbe ütközik (a függvényterekre vonatkozó mérték helyes bevezetésének kérdésével, a partíció típusára vonatkozó korlát függetlenségének bizonyításával összefüggésben egy meglehetősen általános megközelítésben). ügy).
1933- ban ("Lagrange in Quantum Mechanics" című munkájában) Dirac felvetette az útintegrál kvantummechanikában való alkalmazásának ötletét.
Feynman ezt a programot az 1940 -es évek végén valósította meg az útintegrál formalizmus kifejlesztésével, amely rendkívül gyümölcsözőnek bizonyult az elméleti fizikában. Ez egy technikailag újszerű (a tisztán műszakiak mellett számos intuitív előnnyel is járt) kvantumelméletek megalkotási módszerének megjelenését jelentette, amely később talán a legnépszerűbb lett a teoretikusok körében. Maga Feynman az útintegrál formalizmusa alapján megépítette a kvantumtérelmélet olyan alapvető technikáját, mint a Feynman-diagramok .
Az útintegrál használatával olyan alapvető eredményeket kaptunk, mint például a Yang-Mills elmélet ( Faddeev és Popov ) renormálhatóságának bizonyítása.
Lásd még
- Fogalmazás útintegrálokkal
- Gauss kontinuum eloszlás
- Wick-tétel a funkcionális integrálra
- Kvantumtér-perturbáció elmélet a statisztikai fizikában
Jegyzetek
- ↑ A függvényterek integrációs tartományának legtipikusabb példája egy adott tér összes olyan függvényének halmaza, amely teljesíti azt a feltételt, hogy értékeiket két ponton (egy szakasz végén) rögzítsék.
- ↑ Cikk a Physical Encyclopedia archív példányában , 2012. február 29-én a Wayback Machine -nél (A. A. Slavnov).
- ↑ Poljakov, 1999 .
Irodalom
- Simon B. Funkcionális integráció és kvantumfizika. – Akadémiai Kiadó, 1979.
- Berezin F. A. Második kvantálási módszer. — M .: Nauka , 1986. — 320 p.
- Zinn-Justin J. Kontinuumintegrál a kvantummechanikában. — M .: Fizmatlit , 2010. — 360 p.
- Lobanov Yu. Yu. Hozzávetőleges funkcionális integrációs módszerek kvantumfizikai modellek numerikus vizsgálatához (a fizika-matematikai tudományok doktori fokozatához értekezés). - M. , 2009.
- Polyakov A. M. Mérőmezők és húrok. - Izhevsk: RHD, 1999. - 316 p.
- Popov VN Continuum integrálok a kvantumtérelméletben és a statisztikai mechanikában. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 p.
- Slavnov AA, Faddeev LD Bevezetés a mérőmezők kvantumelméletébe. — M .: Nauka , 1988. — 272 p.
- Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Continuum integrálok. — M .: Nauka , 1990. — 150 p.
- Feynman R., Hibs A. Kvantummechanika és útintegrálok. — M .: Mir , 1968. — 384 p.
- Shestakova TP Útintegrál módszere a kvantumtérelméletben. - Izsevszk: IKI, 2005. - 228 p.