Ljapunov-fraktál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Ljapunov - fraktálok (más néven Markus-Ljapunov-fraktálok ) a logisztikai térkép kiterjesztése által generált bifurkációs fraktálok , amelyekben a népességnövekedési ráta r periodikusan A -ról B - re változik , és fordítva.

A Ljapunov-fraktálokat a Ljapunov-kitevővel ( en ) mért stabil és kaotikus viselkedésű területek feltérképezésével állítják elő az a - b síkban az a és b adott periodikus sorozatára . Az ábrákon a sárga a stabilitásnak ( ), a kék a káosznak ( ) felel meg. $\lambda$ $\lambda < 0$ $\lambda>0$

Tulajdonságok

A Lyapunov-fraktálokat általában az intervallum A és B értékére szerkesztik . Nagyobb értékek esetén az intervallum már nem stabil, és a sorozat nagy valószínűséggel a végtelenbe hajlik, bár egyes paramétereknél még mindig vannak véges értékek konvergens ciklusai. Minden iteratív sorozatnál az a = b átló megegyezik az egyparaméteres szabványos logisztikai függvényével. $[0,4]$ $[0,1]$

A sorozat általában 0,5-nél kezdődik, ami az iteratív függvény kritikus pontja . Egy teljes ciklus iteratív függvényének többi (általában komplex értékű ) kritikus pontja azok, amelyek az első ciklusban átmennek a 0,5 értéken. Egy konvergens ciklusnak tartalmaznia kell legalább egy kritikus pontot, így az összes konvergens ciklus elérhetõ az iteratív sorozat eltolásával, miközben a kezdeti 0,5 értéket megtartjuk. A gyakorlatban ennek a sorozatnak az eltolása változásokat eredményez a fraktálban , mivel egyes ágak átfedik egymást. Például vegye figyelembe, hogy az AB iterációs sorozat Ljapunov-fraktálja nem tökéletesen szimmetrikus a és b körül .

Algoritmus Ljapunov-fraktálok generálására

Válasszon ki egy karakterláncot az A és B karakterek közül bármilyen nem triviális hosszúságú (például AABAB).
Készítsen sorozatot egy karakterlánc egymást követő karaktereiből, megismételve a szükséges számú alkalommal. $S$
Válasszon pontot . ${\megjelenítési stílus (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$
Határozzon meg egy függvényt . $r_{n}={\begin{cases}a,&S_{n}=A\\b,&S_{n}=B\end{cases))$
Elfogadás és iteráció . $x_{0}=0,5$ $x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})$
Számítsa ki a Ljapunov-kitevőt (angol) : $\lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n} (1-2x_{n})|$
Színezd ki a pontot a kapott értéknek megfelelően . $(a,b)$ $\lambda$
Ismételje meg a 3-7. lépéseket a képsík minden pontjára.

A gyakorlatban a kellően nagy méretű . Ez az algoritmus alkalmas olyan nyelvekre , mint a Mathematica , de nem az alacsony szintű nyelvekre . $\lambda$ $N$

További méretek

A Ljapunov-fraktálok több mint két dimenzióban számíthatók. Egy n-dimenziós fraktál iteratív sorozata n betűs ábécéből épül fel. Például egy 3D-s fraktál "ABBBCA" sorozata, amely akár 3D-s objektumként, akár animációként renderelhető, amelynek minden egyes képkockája egy "szeletet" mutat C irányban, mint a cikkben szereplő példában. .

Linkek

EFG fraktáljai és káosz - Ljapunov-kitevői
Elert, Glenn Ljapunov Űr . A káosz hipertankönyv . Letöltve: 2017. február 23. Az eredetiből archiválva : 2012. március 30. (határozatlan) (Angol)

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon