A spektrális módszerek az alkalmazott matematikában bizonyos differenciálegyenletek numerikus megoldására használt technikák egy csoportját jelentik , néha a gyors Fourier-transzformáció használatával . Az ötlet az, hogy a differenciálegyenletek megoldását néhány „ bázisfüggvény ” összegeként ábrázoljuk (mint például a Fourier-sorok a szinuszosok összege ), majd az összegből kiválasztjuk azokat az együtthatókat, amelyek a legjobban kielégítik az adott egyenleteket.
A spektrális módszerek és a végeselemes módszerek szorosan összefüggenek, és ugyanazokra a gondolatokra épülnek. A fő különbség az, hogy a spektrális módszerek nullától eltérő bázisfüggvényeket használnak a teljes definíciós tartományban, míg a végeselemes módszerek csak kis altartományokban használnak nullától eltérő bázisfüggvényeket. Más szóval, a spektrális módszerek globális megközelítést alkalmaznak , míg a végeselemes módszerek lokális megközelítést alkalmaznak . Részben emiatt a spektrális módszerek kiváló úgynevezett "exponenciális konvergencia" tulajdonságokkal rendelkeznek, ami a lehető leggyorsabb, ha a megoldás sima . Azonban nem ismert háromdimenziós egydoménes spektrális módszer az átmenő számláláshoz (a lökéshullám nem egyenletes) [1] . A végeselemes módszert, amelyben az elem teljesítménye nagyon magas, vagy a h rácsparaméter csökkenésével nő, néha spektrális elem módszernek is nevezik .
A spektrális módszerek használhatók közönséges differenciálegyenletek (ODE), parciális differenciálegyenletek és differenciálegyenletekkel kapcsolatos sajátérték - problémák megoldására. Ha spektrális módszereket alkalmazunk időfüggő parciális differenciálegyenletekre, a megoldást általában időfüggő együtthatókkal rendelkező bázisfüggvények összegeként írjuk fel. Ha egy ilyen összeget behelyettesítünk egy parciális differenciálegyenletbe, akkor az együtthatók közönséges differenciálegyenlet-rendszerét kapjuk, amely bárkivel megoldható. közönséges differenciálegyenletek numerikus módszere . A közönséges differenciálegyenletek sajátértékeinek megtalálásának problémája hasonlóképpen csökken a mátrix sajátértékeinek megtalálásának problémájává.
A spektrális módszereket Steven Orsaga dolgozta ki. 1969 óta fejlesztették ki ezeket Fourier-módszerekre periodikus geometriai problémákra, polinomiális spektrális módszerekre véges és korlátlan geometriai problémákra, pszeudospektrális módszerekre erősen nemlineáris problémákra, spektrális iteratív módszerekre állandósult állapotú problémák megoldására és egyéb problémákra. A spektrális módszer megvalósítása általában kollokációval vagy a Galerkin módszerrel vagy a Tau megközelítéssel zárul[ pontosítás ] .
A spektrális módszerek számításilag olcsóbbak, mint a végeselemes módszerek, de kevésbé pontosak az összetett geometriákkal és nem folytonos együtthatókkal kapcsolatos problémák esetén. A hiba növekedése ennek következménye. Gibbs-jelenségek
Itt feltételezzük az alapvető többváltozós számítások és a Fourier-sorok megértését . Ha g(x,y) két valós változó ismert komplex függvénye, és g periodikus x-ben és y-ban (g(x,y)=g(x+2π,y)=g(x,y+2π)) , akkor olyan f(x,y) függvényt keresünk, amelyre
minden x,yahol a bal oldali kifejezés f második parciális deriváltja x és y vonatkozásában. Ez a Poisson-egyenlet , és fizikailag értelmezhető valamilyen hőátadási problémaként vagy potenciálelméleti problémaként, többek között.
Ha f-et és g-t Fourier-sorként írjuk fel
És behelyettesítjük a differenciálegyenletbe, megkapjuk az egyenletet:
A részleges differenciálást összegzéssel cseréltük fel, ami törvényes, ha például feltételezzük, hogy f -nek folytonos második deriváltja van. A Fourier-bővítésre vonatkozó egyediségtétel szerint ekkor elemenként kell egyenlővé tenni a Fourier-együtthatókat, ami
(*)amely egy explicit képlet az a j , k Fourier együtthatókra .
Periodikus peremfeltételek mellett a Poisson-egyenletnek csak akkor van megoldása, ha b 0 , 0 = 0 . Így szabadon választhatunk egy 0 , 0 . Ez megfelel az integrációs állandó kiválasztásának.
Ennek algoritmussá alakításához csak véges számú frekvencia kerül kiszámításra. Ez olyan hibát ad, amely kimutatható, hogy arányos , ahol és a legmagasabb feldolgozott frekvencia.
AlgoritmusMivel minket egy véges ( mondjuk n méretű) frekvenciaablak érdekel, ezt a Fast Fourier Transform algoritmussal megtehetjük . Ezért globálisan az algoritmus O ( n log n ) idő alatt fut.
A nemlineáris Burgers tranziens egyenletet speciális megközelítéssel kívánjuk megoldani.
Ha a periodikus tartományban adjuk meg , akkor azt találjuk , hogy
ahol ρ a viszkozitási együttható . Ez átalakul
ahol a skalárszorzatnak felel meg . A részenkénti integráció és a periodicitás használata ad
A Fourier -Galerkin módszer alkalmazását választjuk
és
ahol . Ez a problémát a megtalálásáig redukálja , így
Az ortogonalitási reláció segítségével , ahol a Kronecker-delta , egyszerűsítjük a fenti három elemet mindegyikre
Mindegyikhez három kifejezést gyűjtünk, és megkapjuk
Oszd meg, és végül kap
A Fourier-transzformáció kezdeti feltételeivel és a definiálásával ez a pár közönséges differenciálegyenlet idővel integrálható (például a Runge-Kutta technikával ), hogy megoldást találjunk. A nemlineáris tag egy konvolúció , és számos transzformációs alapú technika létezik a hatékony kiszámítására.
Megmutatható, hogy ha végtelenül differenciálható, akkor a gyors Fourier-transzformációt használó numerikus algoritmus gyorsabban konvergál, mint bármely polinom egy h méretű rácson. Vagyis bármely n>0 esetén létezik , így a hiba minden kellően kis érték esetén kisebb . Azt mondjuk, hogy a spektrális módszernek bármely n>0-ra van sorrendje.
Mivel a spektrális elem módszer egy nagyon magas rendű végeselemes módszer , hasonlóság van a konvergencia tulajdonságokban. A spektrális módszer azonban egy adott határérték-probléma sajátérték-kiterjesztésén alapul, míg a végeselemes módszer nem használja fel ezt az információt, és tetszőleges elliptikus határérték-problémák esetén működik .
Differenciálegyenletek megoldási módszerei | |||||
---|---|---|---|---|---|
Rács módszerek |
| ||||
Nem rácsos módszerek |