Spektrális módszer

A spektrális módszerek az alkalmazott matematikában bizonyos differenciálegyenletek numerikus megoldására használt technikák egy csoportját jelentik , néha a gyors Fourier-transzformáció használatával . Az ötlet az, hogy a differenciálegyenletek megoldását néhány „ bázisfüggvény ” összegeként ábrázoljuk (mint például a Fourier-sorok a szinuszosok összege ), majd az összegből kiválasztjuk azokat az együtthatókat, amelyek a legjobban kielégítik az adott egyenleteket.

A spektrális módszerek és a végeselemes módszerek szorosan összefüggenek, és ugyanazokra a gondolatokra épülnek. A fő különbség az, hogy a spektrális módszerek nullától eltérő bázisfüggvényeket használnak a teljes definíciós tartományban, míg a végeselemes módszerek csak kis altartományokban használnak nullától eltérő bázisfüggvényeket. Más szóval, a spektrális módszerek globális megközelítést alkalmaznak , míg a végeselemes módszerek lokális megközelítést alkalmaznak . Részben emiatt a spektrális módszerek kiváló úgynevezett "exponenciális konvergencia" tulajdonságokkal rendelkeznek, ami a lehető leggyorsabb, ha a megoldás sima . Azonban nem ismert háromdimenziós egydoménes spektrális módszer az átmenő számláláshoz (a lökéshullám nem egyenletes) [1] . A végeselemes módszert, amelyben az elem teljesítménye nagyon magas, vagy a h rácsparaméter csökkenésével nő, néha spektrális elem módszernek is nevezik .

A spektrális módszerek használhatók közönséges differenciálegyenletek (ODE), parciális differenciálegyenletek és differenciálegyenletekkel kapcsolatos sajátérték - problémák megoldására. Ha spektrális módszereket alkalmazunk időfüggő parciális differenciálegyenletekre, a megoldást általában időfüggő együtthatókkal rendelkező bázisfüggvények összegeként írjuk fel. Ha egy ilyen összeget behelyettesítünk egy parciális differenciálegyenletbe, akkor az együtthatók közönséges differenciálegyenlet-rendszerét kapjuk, amely bárkivel megoldható. közönséges differenciálegyenletek numerikus módszere . A közönséges differenciálegyenletek sajátértékeinek megtalálásának problémája hasonlóképpen csökken a mátrix sajátértékeinek megtalálásának problémájává.

A spektrális módszereket Steven Orsaga dolgozta ki. 1969 óta fejlesztették ki ezeket Fourier-módszerekre periodikus geometriai problémákra, polinomiális spektrális módszerekre véges és korlátlan geometriai problémákra, pszeudospektrális módszerekre erősen nemlineáris problémákra, spektrális iteratív módszerekre állandósult állapotú problémák megoldására és egyéb problémákra. A spektrális módszer megvalósítása általában kollokációval vagy a Galerkin módszerrel vagy a Tau megközelítéssel zárul[ pontosítás ] .

A spektrális módszerek számításilag olcsóbbak, mint a végeselemes módszerek, de kevésbé pontosak az összetett geometriákkal és nem folytonos együtthatókkal kapcsolatos problémák esetén. A hiba növekedése ennek következménye. Gibbs-jelenségek

Példák spektrális módszerekre

Lineáris példa

Itt feltételezzük az alapvető többváltozós számítások és a Fourier-sorok megértését . Ha g(x,y) két valós változó ismert komplex függvénye, és g periodikus x-ben és y-ban (g(x,y)=g(x+2π,y)=g(x,y+2π)) , akkor olyan f(x,y) függvényt keresünk, amelyre

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\ jobb)f(x,y)=g(x,y)

minden x,y

ahol a bal oldali kifejezés f második parciális deriváltja x és y vonatkozásában. Ez a Poisson-egyenlet , és fizikailag értelmezhető valamilyen hőátadási problémaként vagy potenciálelméleti problémaként, többek között.

Ha f-et és g-t Fourier-sorként írjuk fel

{\displaystyle f=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)))

{\displaystyle g=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)))

És behelyettesítjük a differenciálegyenletbe, megkapjuk az egyenletet:

\sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx +ky)}

A részleges differenciálást összegzéssel cseréltük fel, ami törvényes, ha például feltételezzük, hogy f -nek folytonos második deriváltja van. A Fourier-bővítésre vonatkozó egyediségtétel szerint ekkor elemenként kell egyenlővé tenni a Fourier-együtthatókat, ami

(*)

a_{j,k}=-{\frac {b_{j,k}}{j^{2}+k^{2}}}

amely egy explicit képlet az a j , k Fourier együtthatókra .

Periodikus peremfeltételek mellett a Poisson-egyenletnek csak akkor van megoldása, ha b 0 , 0 = 0 . Így szabadon választhatunk egy 0 , 0 . Ez megfelel az integrációs állandó kiválasztásának.

Ennek algoritmussá alakításához csak véges számú frekvencia kerül kiszámításra. Ez olyan hibát ad, amely kimutatható, hogy arányos , ahol és a legmagasabb feldolgozott frekvencia. ${\displaystyle h^{n))$ $h:=1/n$ $n$

Algoritmus

Számítsa ki a g függvény Fourier transzformációját ( b j,k ) .
Kiszámítjuk az f függvény Fourier-transzformációját ( a j,k ) a (*) képlettel.
Számítsuk ki f -et az ( a j,k ) inverz Fourier transzformációjával .

Mivel minket egy véges ( mondjuk n méretű) frekvenciaablak érdekel, ezt a Fast Fourier Transform algoritmussal megtehetjük . Ezért globálisan az algoritmus O ( n log n ) idő alatt fut.

Nemlineáris példa

A nemlineáris Burgers tranziens egyenletet speciális megközelítéssel kívánjuk megoldani.

Ha a periodikus tartományban adjuk meg , akkor azt találjuk , hogy $u(x,0)$ $x\in \left[0,2\pi \right)$ $u\in {\mathcal {U}}$

\partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right), \forall t>0

ahol ρ a viszkozitási együttható . Ez átalakul

\left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle =\left\langle \partial _{x}\left(-{\frac {1}{2}}u^{2} +\rho \partial _{x}u\right),v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V)),\forall t> 0

ahol a skalárszorzatnak felel meg . A részenkénti integráció és a periodicitás használata ad $\langle f,g\rangle :=\int _{0}^{2\pi }f(x){\overline {g(x)))\,dx$

\langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _ {x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V)),\forall t>0.

A Fourier -Galerkin módszer alkalmazását választjuk

{\mathcal {U}}^{N}:=\left\{u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\ kalap {u}}_{k}(t)e^{ikx}\right\}

és

{\mathcal {V}}^{N}:={\text{ span}}\left\{e^{ikx}:k\in -N/2,\dots ,N/2-1\ jobb\}

ahol . Ez a problémát a megtalálásáig redukálja , így ${\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle$ $u\in {\mathcal {U}}^{N}$

\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u ,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\jobbra\},\forall t>0.

Az ortogonalitási reláció segítségével , ahol a Kronecker-delta , egyszerűsítjük a fenti három elemet mindegyikre ${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk))$ ${\displaystyle \delta _{lk))$ $k$

{\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \partial _{t}\sum _{l}{\ kalap {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =\left\langle \sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{ l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ ikx}\right\rangle &=\left\langle \sum _{l}{\hat {f))_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi {\ hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\ részleges _{x}e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle {\frac {1}{2}}\left(\sum _{p}{\hat {u}}_{p} e^{ipx}\right)\left(\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}\right)-\rho \partial _{x}\sum _{l }{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {1}{2} }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x} ,ike^{ikx}\right\rangle -\left\langle \rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}\right\ rangle \\&=-{\frac {ik}{2}}\left\langle \sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}} _{q}e^{i\left(p+q\right)x},  e^{ikx}\right\rangle -\rho k\left\langle \sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle \\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k ^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}

Mindegyikhez három kifejezést gyűjtünk, és megkapjuk $k$

2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p} {\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k} \quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.

Oszd meg, és végül kap $2\pi$

\partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_ {p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k \in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.

A Fourier-transzformáció kezdeti feltételeivel és a definiálásával ez a pár közönséges differenciálegyenlet idővel integrálható (például a Runge-Kutta technikával ), hogy megoldást találjunk. A nemlineáris tag egy konvolúció , és számos transzformációs alapú technika létezik a hatékony kiszámítására. ${\hat {u}}_{k}(0)$ ${\hat {f}}_{k}(t)$

Kapcsolat a spektrális elem módszerrel

Megmutatható, hogy ha végtelenül differenciálható, akkor a gyors Fourier-transzformációt használó numerikus algoritmus gyorsabban konvergál, mint bármely polinom egy h méretű rácson. Vagyis bármely n>0 esetén létezik , így a hiba minden kellően kis érték esetén kisebb . Azt mondjuk, hogy a spektrális módszernek bármely n>0-ra van sorrendje. $g$ $C_{n}<\infty$ $C_{n}h^{n}$ $h$ $n$

Mivel a spektrális elem módszer egy nagyon magas rendű végeselemes módszer , hasonlóság van a konvergencia tulajdonságokban. A spektrális módszer azonban egy adott határérték-probléma sajátérték-kiterjesztésén alapul, míg a végeselemes módszer nem használja fel ezt az információt, és tetszőleges elliptikus határérték-problémák esetén működik .

Lásd még

Végeselem módszer
Gauss-háló
Pszeudospektrális módszer
Galerkin módszer
Elhelyezési módszer

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Jegyzetek

↑ Canuto, Hussaini, Quarteroni, Zang, 2007 , p. 285.

Irodalom

Claudio Canuto, M. Yousuff Hussaini, Alfio Quarteroni, Thomas A. Zang. Spektrális módszerek: evolúció bonyolult geometriákká és alkalmazások a folyadékdinamikában . - Springer, 2007. - (Tudományos számítás). — ISBN 978-3-540-30727-3 .
Bengt Fornberg. Gyakorlati útmutató a pszeudospektrális módszerekhez. - Cambridge, Egyesült Királyság: Cambridge University Press, 1996. - (Cambridge-i monográfiák az alkalmazott és számítási matematikáról). — ISBN 0-521-49582-2 .
John P. Boyd. Csebisev és Fourier spektrális módszerek . - Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 2000.
Canuto C., Hussaini MY, Quarteroni A., Zang TA Spectral Methods. Egyetlen tartományok alapjai. - Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. - (Tudományos számítás). — ISBN 3-540-30725-7 .
Javier de Frutos, Julia Novo. Spektrális elem módszer a Navier-Stokes egyenletekhez fokozott pontossággal // Alkalmazott numerikus matematika. - 2000. - T. 33 , sz. 1 . — S. 217-223 . - doi : 10.1016/S0168-9274(99)00086-0 .
Daniele Funaro. Differenciálegyenletek polinomiális közelítése . - Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. - V. 8. - (Fizikai előadásjegyzetek). — ISBN 3-540-55230-8 .
D. Gottlieb, S. Orzag. Spektrális módszerek numerikus elemzése: elmélet és alkalmazások. – Philadelphia, PA: SIAM, 1977.
J. Hesthaven, S. Gottlieb, D. Gottlieb. Spektrális módszerek időfüggő problémákra. - Cambridge, Egyesült Királyság: Cambridge University Press, 2007. - (Cambridge-i monográfiák az alkalmazott és számítási matematikáról). — ISBN 0-521-79211-8 .
Steven A. Orszag. Numerikus módszerek a turbulencia szimulációjához // Phys. Fluids Supp. II. - 1969. - Kiadás. 12 . - S. 250-257 .
Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP, 20.7. szakasz. Spektrális módszerek // Numerikus receptek: A tudományos számítástechnika művészete. — 3. - New York: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-88068-8 .
Lloyd N. Trefethen. Spektrális módszerek a MATLAB-ban. – Philadelphia, PA: SIAM, 2000.