Gyenge konvergencia

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. július 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A funkcionális elemzés gyenge konvergenciája egyfajta konvergencia a topológiai vektorterekben .

Definíció

Legyen egy topológiai mező , egy topológiai vektortér a mező felett , és legyen a kettős tere , amely az összes folytonos lineáris függvényből áll . Ekkor egy tér gyenge topológiája a leggyengébb azon topológiák közül, amelyekben a tér eredeti topológiájában folytonos lineáris funkcionálisok folytonosak. $K$ $x$ $K$ $X^{*}$ $x$ $x$

A gyenge topológia előbázisát a halmazok alkotják

{\displaystyle V_{x,f,\varepsilon }=\{\,y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon \,\))

mindenkinek , , és . $x\X-ben$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Más szavakkal, egy elemsorozat gyengén konvergál egy elemhez , ha bármely folytonos lineáris funkcionál esetén a számsorozat a -hez konvergál . $x_{n}\in X$ $x_{\infty }\in X$ $f\in X^{*}$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{\infty })$

A gyenge* topológia az a topológia, amelynek előbázisát a halmazok alkotják $X^{*}$

{\displaystyle V_{f,x,\varepsilon }^{*}=\{\,g\in X^{*}:|g(x)-f(x)|<\varepsilon \,\))

mindenkinek , , és . $x\X-ben$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Más szóval, egy függvénysorozat gyengén* konvergál egy függvényhez , ha bármelyik esetén a számsorozat a -hoz konvergál . $f_{n}\in X^{*}$ $f_{\infty }\in X^{*}$ $x\X-ben$ $f_{n}(x)$ $f_{\infty }(x)$

Jegyzetek

Az eredeti topológiája által meghatározott térbeli konvergencia erősnek mondható . $x$

Tulajdonságok

Ha egy sorozat valamely elemhez erősen konvergál, akkor ehhez az elemhez is gyengén konvergál.
Egy véges -dimenziós euklideszi térben az erős és gyenge konvergencia fogalma egybeesik.
Abban az esetben, ha egy normált vektortér, a következő állítások érvényesek. Egy gyengén konvergens elemsorozat korlátos, azaz valamilyen pozitív számra . Egy elemsorozat gyengén konvergál egy elemhez , ha korlátos, és minden folytonos lineáris funkcionálhoz konvergál a tér valamely részhalmazából, amelynek lineáris fesztávja mindenhol sűrű -ben . $x$ $\{x_{n}\}\subset X$ $\|x_{n}\|\leq C$ $C$ $\{x_{n}\}\subset X$ $x_{0}\X-ben$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{0})$ $X^{*}$ $X^{*}$
Banach-Alaoglu-Bourbaki tétel . A tér zárt egységgömbjekompakt a gyenge* tér topológiában. $X^{*}$ $X^{*}$
Eberlein-Shmuli tétel. A Banach-tér egy részhalmaza akkor és csak akkor gyengén kompakt, ha gyengén szekvenciálisan kompakt. $A$ $x$

Példa

Legyen a folytonos függvények tere egy egyenletes konvergenciával (erős konvergenciával) meghatározott normával. Egy függvénysorozat gyengén konvergál egy függvényhez akkor és csak akkor, ha két feltétel teljesül: 1) egyenletesen korlátos, azaz mindegyikre valamilyen pozitív szám esetén, és 2) pontszerűen konvergál , vagyis a numerikus sorozat bármely . $X=C[a,b]$ $[a,b]$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $|x_{n}(t)|\leq C$ $t\in [a,b]$ $C$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $\{x_{n}(t)\}$ $x_{0}(t)$ $t\in [a,b]$

Irodalom

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, - M .: Nauka, 1965.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, - Bármelyik kiadás.
Rudin U. Funkcionális elemzés, - M .: Mir, 1975.